专题06 解析几何-学易金卷：高考数学一模试题分项汇编（上海专用）

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一模汇编
一、填空题
1.【嘉定3】直线与直线的夹角大小为 .
【答案】
2.【闵行3】双曲线的离心率为 .
【答案】 【提示】
3.【静安3】若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 .
【答案】
【提示】，即
4.【金山4】已知抛物线的焦点坐标为，则的值为 .
【答案】 【提示】抛物线的焦点坐标为，所以，则
5.【奉贤5】己知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，它的渐近线方程为，则它的离心率等于
.【答案】
【提示】，所以，故所以，故
6.【崇明6】已知方程组无解，则实数的值等于 .
【答案】
【提示】直线与直线平行
7.【普陀7】双曲线的两条渐近线的夹角大小为 .
【答案】 【解析】（仅适用特殊角）
【巧解】（此方法也适合一般角）
8.【浦东8】已知抛物线的焦点为，在上有一点满足，则点到轴的距离为 .
【答案】12
【解析】，
故点到轴的距离为12.
9.【杨浦8】若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 .
【答案】或
【提示】或，①若，令，则；
②若，令，则；综上，双曲线的离心率为或．
10.【普陀9】设R. 若直线：与曲线：仅有一个公共点，则 .【答案】
【解析】圆心，直线：与圆仅有一个公共点
与圆相切.
11.【闵行10】已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为 .【答案】
【解析】令，，，
则、，
由，得，
又因为，所以，

，
当时，上式取得最大值.
12.【松江10】已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】
【解析】因为是的角平分线，，
所以是等腰三角形，，为的中点，
又为的中点，所以是的中位线，
如图，由双曲线定义，得，
，
所以双曲线的渐近线方程为.
13.【宝山10】双曲线C的左、右焦点分别为、，点A在y轴上. 双曲线C与线段交于点P，与线段交于点Q，直线平行于双曲线C的渐近线，且，则双曲线C的离心率为
.
【答案】
【答案】如图，交轴于，根据双曲线的对称性，
知与轴平行，且.
设，则，，
所以.
双曲线渐近线方程为，，由已知直线斜率为，
则直线的方程为，.
因为，所以有，即，整理可得，
，所以.
14.【徐汇11】设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为 .
【答案】 【解析】根据题意，令，解得或，
不妨设，如图直线的斜率为，数形结合可知，要满足题意，；
且为方程，即的两根，
，故；
又为方程，即的两根
，故；
则在上严格减，
故.
15.【金山11】若集合，，且，则实数的取值范围是 .【答案】
【解析】因为，
所以集合是被两条平行直线夹在其中的区域，
如图所示，，
其中，由，解得或，
当时，B表示点或；当时，表示以为圆心，为半径的圆及其内部的点，其圆心在直线上，，圆应与阴影部分相切或者相交，
①当时，点在直线的上方，舍去；
②当时，点在直线上，满足题意；
③当时，
；
④当时，，无解；
综上，实数的取值范围足.
16..【黄浦12】已知曲线：与曲线：，长度为1的线段的两端点分别在曲线上沿顺时针方向运动，若点从点开始运动，点到达点时停止运动，则线段所扫过的区域的面积为 .【答案】
【解析】如图所示：


线段所扫过的区域的面积为
17.【长宁12】已知、为椭圆（）的左右焦点，为的上顶点，直线经过点且与交于、两点. 若垂直平分线段，则的周长是 .【答案】
【解析】如图，连接，因为l垂直平分线段，所以
所以的周长为
由题意得，则的中点为

，所以的周长为.
18.【虹口12】已知是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于A， B 两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为 .
（注意：不填或错填得分，漏填得分.）
① 双曲线的离心率为2； ② 双曲线的一条渐近线的斜率为；
③ 线段A B的长为6a； ④ △的面积为.
【答案】①④ 【解析】
，③ 错误；


，①正确； ②错误；
，
，④ 正确； 所以选①④
19.【徐汇12】已知正实数满足，则的最小值为 .
【答案】 【解析】设直线，点在直线上，且在第一象限，
设点，则，
如图所示，设点A关于直线对称的点设为，
则法一：由对称点公式，得，
法二：，解得，
（共同）所以，当且仅当共线时等号成立，
即的最小值为.
20.【崇明12】已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于 .【答案】
【解析】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为
设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，由题知
法一：设，，则，由①②得，
代入③整理得，，两边同时除以得，
即，即

法二：



【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.
二、选择题
21.【金山13】已知直线，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】C
22.【黄浦13】在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）.
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
23.【虹口13】设，已知直线l: y = m x+1与圆C: ，则 “m > 0” 是“直线l与圆C相交 ” 的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A 【提示】直线l与圆C相交，小推大，大不能推小
24.【徐汇14】已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
【答案】C 【分析】根据两圆相交圆心距验证各选项即可.
【提示】，即，仅有C满足，故选C.
25.【嘉定14】已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（ ）
①开口最为开阔； ②的开口比的更为开阔； ③和的开口的开阔程度相同.
A. 只有一个正确 B. 只有两个正确 C. 均正确 D. 均不正确
【答案】D 【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较.
【解析】，比较大小知：
可知：三个结论均为错误，故选D
26.【虹口15】已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】，则：，，则，所以选B
27.【崇明16】已知曲线C：，命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（ ）
A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题
C. p是假命题，q是真命题 D. p、q都是假命题
【答案】A 【解析】因为，当且仅当时，等号成立
所以，因此曲线C所围成的区域的在圆上或者内部，即
故曲线C上的点到原点的最大距离是2，因此命题q为真命题
曲线C：图像关于轴、轴、原点对称
当时，圆上及内部横坐标与纵坐标都是整数的点，其中点显然在曲线C上，但其它点均不在曲线上，故曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p为真命题. 综上，选A.
28.【宝山16】已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④，以上结论中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】B【答案】将点代入抛物线方程，可得抛物线C的准线为，故①错误；
抛物线C方程为，令，，抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，因此直线AB与抛物线C相切，故②正确；
由题可知，直线PQ斜率存在，所以设直线PQ方程为，交点，联立方程，整理可得，，且，
，故③正确；

而，所以，故④错误. 综上，选B.
29.【浦东16】已知平面直角坐标系中的直线、. 设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，到、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中. 则、公共点的个数不可能为（ ）
A. 0个 B. 4个 C. 8个 D. 12个
【答案】D
【解析】设曲线上任意点满足：
①当
②当
③当
④当
所以曲线为矩形，顶点分别为、
、、；
设曲线上任一点满足：

所以曲线是焦点在轴上的椭圆；
如图所示，、公共点的个数可能为0，4，8，不可能有12个交点，故选D.
30.【青浦16】在直角坐标平面中，已知两定点与，到直线的距离之差的绝
对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C 【解析】当不垂直于轴时，设直线
则
①当，即时，则
，即所围成的图形是以为对角线的正方形及其外部；
②当，即时，
则，

即上的点到直线的距离为，
即平行于直线的两条平行线间的距离为，是圆的两条平行切线，
当两条平行切线从逆时针旋转到垂直于轴，从顺时针旋转到垂直于轴时，
将正方形内、圆外的左右两处全扫到，说明这两处的点在直线上，
所以平面上不在任何一条直线上的点组成的图形是圆的内部及正方形内圆外的上下两部分，故面积为，故选D.
【错解】设直线的方程为，两定点与，
由于，到直线的距离之差的绝对值等于，
则.
①当时，即时，，
平方整理得，所以，如图：正方形上及外部的点均在直线上；
②当时，即时，有，
记为直线上一点，所以，
则，则在圆外部的点，包括圆亦在直线上； 综上，平面上不在任何一条直线上的点组成的图形为圆内部的所有点，故面积为. 选C.
三、解答题
31.【奉贤20】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题9分
已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标；
（3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1），所以椭圆标准方程为 4分
（2），设
则
或
（舍）或，得 5分
（3）设直线的方程为，则 1分
设直线的方程为，则 1分
2分
2分 1分
设，
则在上严格减 1分
1分
32.【黄浦20】（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于. 动直线、都过点，斜率分别为、，与椭圆交于点、，与椭圆交于点、，点、分别在第一、四象限且轴.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线与轴交于点，求证：；
（3）求直线的斜率的最小值，并求直线的斜率取最小值时的直线的方程.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），
【解析】（1）设椭圆的焦距为， 则由且 ……………2 分
（第20题图）
可得， 所以椭圆的方程为. ……………4 分
（2）设， 则 ……………6 分
可得 ，解得……………8 分
又所以……………10 分
(另法：根据 三点共线与纵坐标关系，用向量或中点坐标公式来证明)
（3）设，直线的方程分别为
由（2）知 ，又均大于0，可知 ……………11 分
由可得，所以，即
同理可得 ………13 分
直线的斜率为
(当且仅当时取等号). …………16 分
当时，，此时 在椭圆上， 所以
又，可得 ，所以直线的斜率的最小值为
且当直线的斜率取最小值时的直线的方程为. ……………18 分
33.【徐汇20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知曲线的方程为，直线：与曲线在第一象限交于点.
（1）若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值；
（2）若，时，直线与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程；
（3）是否存在不全相等，，满足，且使得成立. 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）或；
（3）存在不全相等，，满足，且使得成立，.
【分析】（1）根据椭圆离心率的公式以及椭圆中的关系即可求解；
（2）联立直线与曲线方程，由韦达定理以及弦长公式求解；
（3）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，根据假设，代入即可化简求解.
【解析】（1）由题得，曲线为：，又，，则，
又因为；
（2）设， 联立方程，
因为，，
则，所以，解得或.
因此，曲线的方程为：或；
（3）联立，又，得，
假设存在（不全相等），使得成立，
故，有，
分离常数，得，
化简，得，
由在第一象限，且，得 .
（i）若，则；
（ii）若，则，因为，所以
与已知矛盾．
综上所述：存在（不全相等），使得成立，此时．
【点睛】圆锥曲线中与直线相交的问题，一般采用联立方程，得韦达定理，常采用设而不求的思想，常用的做题思路为：
（1）设直线的方程为 ，设交点坐标为
（2）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，或者
（3）根据交点坐标计算相关量（例如斜率，弦长等），利用其满足的性质和题目中的条件求得参数值或者参数的关系.


34.【松江20】（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知椭圆：的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
（3）设，直线与椭圆另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点、和点三点共线，求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）2.
【解析】（1）由题意，得， ……1分
，则，……2分
所以椭圆的方程为； ……1分
（2）法一：关于的对称点为， 2分
代入，得，化简得，所以或，……2分
当时，与点重合，舍去，所以； ……2分
法二：设椭圆上点关于直线的对称点为
则，解得，则，
由在椭圆上，可得，整理得，解得或，
当时，与点重合，舍去，故；
（3）设，则，
又，所以可设，直线的方程为
由，消去，得，……2分
则则，则，
又，代入①式可得，所以，
则，同理可得， ……4分


由点、和点三点共线，可得
，
整理得，即直线的斜率值为2 ．……2分
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
35.【青浦20】(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，设中点分别为.
（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦的斜率均存在，求面积的最大值.
【答案】（1），离心率；（2）证明见解析，定点坐标为；（3）.
【分析】（1）直接根据椭圆方程写出右焦点的坐标及离心率；
（2）分斜率均存在和一条直线斜率不存在一条斜率为0两种情况讨论，斜率均存在，设，直线AB方程为，联立方程利用韦达定理求得，从而可求得点的坐标，再将换为，可得点的坐标，从而可求得直线的方程，即可得证；
（第20题图）
y

（3）由（2）可知直线MN过定点，则，化简整理结合函数的单调性即可得出答案.
【解析】（1）由椭圆方程，知，，所以，
右焦点坐标，该椭圆的离心率；
（2）证明：①若斜率均存，
设，直线AB方程为，则，联立

将上式中换为，可得，若直线MN斜率不存在，则
因为当不垂直于坐标轴时，定点在直线上，则此时直线MN过点，
下证动直线MN过定点，
若直线MN斜率存在，则，
得直线MN方程为，
令，得，所以此时直线MN也过定点；
②当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，
不妨设斜率不存在，斜率为0，此时，则直线的方程为，过点；
综上，动直线MN过定点；
（3）由（2）可知直线MN过定点，
（第20题图）
y

，
令，则，
则，
法1：因为在上严格增，且，所以在上严格减，
法2： 在上严格减，
（共同），此时.
【点睛】本题考查了椭圆中直线过定点及椭圆中三角形的面积问题，计算量较大，考查了了分类讨论思想及数据分析和计算能力，属于难题.

36.【杨浦20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第，3小题满分6分）
已知曲线的左右焦点为、，P是曲线上一动点．
（1）求的周长；
（2）过的直线与曲线交于A、B两点，且，求直线的斜率；
（3）若存在过点的两条直线和与曲线都只有一个公共点，且，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或或.
【分析】（1）先由曲线E的标准方程求得，再利用椭圆的定义即可得解；
（2）由题意设直线AB：，联立方程，结合韦达定理得到，再由得到，从而求得的值，由此可得直线AB的斜率；
（3）根据题意设直线：，联立方程，结合判别式得到，分类讨论两条直线和与椭圆的位置情况，由即可求得h的值.
【解析】（1）因为曲线E：，所以
所以，..................2分
故的周长为...................2分
（2）设直线，由，得..........2分
由韦达定理得
因为，所以，消
得........................2分
消去，得，所以...................2分
（3）依题意，知过点的直线斜率存在，设该直线：
不妨设直线的斜率，则直线的斜率，因为，所以
联立，消去，得
若直线或为切线，则
，解得...................2分
注意到该曲线，即该曲线没有左右顶点，所以有三种情况：
情况1：若两条直线均是切线，则
解得...................1分
情况2：两条直线分别过椭圆左右顶点，
由对称性可知，又，所以
，解得...............1分
情况3：其中一条直线是切线，另一条过椭圆的左（或右）顶点
①直线为切线，直线过椭圆的右顶点时，
即，，
因为，所以
；.....2分
②直线为切线，直线过椭圆的左顶点时，由对称性，同理可得
综上：符合条件的h的值为或或
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.
37.【普陀20】（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在坐标平面内，已知椭圆：的左、右焦点分别为、，直线（）与相交于、两点.
（1）记为到直线的距离，当变化时，求证：为定值；
（2）在中，当时，求的值；
（3）过作轴，垂足为，的中点为，延长交于另一点，记直线的斜率为，当取何值时，有最小值？并求出此最小值.
第20题第（3）题图


P
A
B
M
N
x
第20题第（2）题图
y





x
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，.
【解析】（1）由，得，，
故，即…………1分
设，则及
故
……3分
所以（定值）…………4分
（2）连接，
根据椭圆的对称性，得四边形为平行四边形…………6分
由椭圆定义，得
故…………8分
因为，所以
在中，，
代入上式，得，故………10分
（3）设，则，故，，
法一：令直线的斜率为，故:，代入
得………………12分
得，于是
故，又因为……14分

法二：
故:，代入
得

（共同）故…………14分
又因为，所以
所以……………16分
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，………………18分



38.【嘉定20】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
如图所示，由半椭圆（）和两个半圆（）、
（）组成曲线，其中点、依次为的左、右顶点，点B为的下顶点，
点、依次为的左、右焦点，若点、分别为曲线、的圆心.
（1）求的方程；
（2）若点P、Q分别在、上运动，求的最大值，并求出此时点P、Q的坐标；
（3）若点M在曲线上运动，点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）最大值为6，，；（3）.
【解析】（1）依题意，，所以-----2分
于是的方程为------2分
（2）----4分
当三点共线，同时三点共线，
此时，--------------2分
（3）曲线关于轴对称，不妨设点在曲线
或曲线的右半部分上运动. ----1分
①当点在曲线上运动，
设，.
则，

； ------3分
②当点在曲线上运动，
设，.
，
； -----3分
综合①②，得. ---1分

39.【崇明20】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分
已知椭圆的右焦点为F，左右顶点分别为A、B，直线l过点B且与x轴垂直，点P是椭圆上异于A、B的点，直线AP交直线l于点D.
（1）若E是椭圆的上顶点，且是直角三角形，求椭圆的标准方程；
（2）若，，求的面积；
（3）判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明.
【答案】（1）；
（2）；
（3）以BD为直径的圆与直线PF相切，证明见解析.
【分析】（1）根据题意得，然后利用列方程得到，再结合，解方程得到即可得到椭圆的标准方程；
（2）根据得到椭圆方程，根据得到直线AP的方程为，联立直线和椭圆方程得到点坐标，然后利用三角形面积公式求面积即可；
（3）设，得到直线AP的方程为，跟直线的方程联立得到，BD中点，然后根据点到直线的距离和半径的关系判断以为直径的圆与直线的位置关系即可.
【解析】（1）由题意，，，，
由题意，，故，
又，所以，所以椭圆的标准方程为；.......................4分
（2）当时，椭圆方程为，
由对称性，不妨设点在轴上方，
则直线的方程为，代入椭圆方程，
得，解得（舍去）或，
所以， .......................3分
所以；...................................5分
（3）设，则，
直线的方程为，所以，
中点为圆心，
直线方程为， ..................................3分


所以直线PF与以BD为直径的圆相切. ..................................................................................7分
【点睛】方法点睛：涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，点法式方程是直线方程无限制得设法，必须牢记.强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.
40.【静安20】（本题满分16分，其中第1小题满分8分，第2小题满分8分）
已知椭圆：()的离心率为，它的上顶点为，左、右焦点分别为，（常数），直线、分别交椭圆于点、，为坐标原点.
（1）求证：直线平分线段；
（2）如图，设椭圆外一点在直线上，点横坐标为常数（），过的动直线与椭圆交于两个不同点、，在线段上取点，满足，试证明点在直线
上.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由离心率，将，均用表示，求出直线的方程，与椭圆方程联立求得点坐标，即可得到直线的方程，根据椭圆的对称性，求出点的坐标，再证出中点在直线上即可；（2）设，和，用线段定比分点坐标公式将，坐标表示出来，并代入，结合的横坐标为和，在椭圆上，进行运算证明即可.
【解析】（1）由题意，，则，∴，
∴椭圆方程为，即，
∴直线的斜率，直线的方程为，
联立，消去，化简得，解得，，
即点的横坐标为，代入直线的方程，得，
由椭圆的对称性知，由，得线段AC的中点为，
法一：，故共线，即直线平分线段；
法二：直线的方程为，∵
∴在直线上，即直线平分线段；
法三：，
且，，故共线，即直线平分线段；
（2）设过点的直线与椭圆交于两个不同点的坐标为，，
∵，在椭圆上，∴，
设，易知，且，
则由已知，有，，
∴由线段定比分点坐标公式，有，，
∵点的横坐标为常数（） ∴，
又∵点在直线：上 ∴，
将代入，
得
，
即点在直线上.
【点睛】本题的两问证明，实质上都是证明点在直线上，第（1）问证明中点在直线上，即可证明直线平分线段，第（2）问设，由线段定比分点坐标公式求得的坐标，即可结合，，的坐标，证明点在直线上.
41.【闵行20】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
如图，点A、B、C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M.
（1）求直线BC的方程；
（2）求证：；
（3）已知直线的方程为，线段QM的中点为T，是否存在垂直于y轴的直线，使得点T
到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）不存在，理由见解析.
【分析】（1）由题意可得，由截距式写出直线的方程，再化成一般式即可；
（2）设，可得直线的方程，从而可解得点的坐标，再根据向量数量积的坐标运算求出的值即可得证；
（3）由题意可得T的坐标，设的方程为，设点T到和的距离分别为，，利用点到线的距离公式表示出，，进而可得的代数式，再判断当为定值时是否有解，即可判断.
【解析】（1）由题意可知，点、的坐标分别为、， …2分
所以直线的方程为，即； ……………4分
（2）证明：法一：设直线的斜率为，点的坐标为，
则的方程为，
联立，得，
所以，，
所以（）， ………………………6分
直线的方程为，设点的坐标分别为，
在中，令，得，……8分
解，得，所以； ……10分
法二：设
因为，所以直线的方程为：
联立，得，即
直线的方程为：，即，当时，，即
故==
又因为，所以
==
=，得证
（3）由（1）（2），
可点设点的坐标分别为（）
则点的坐标为 ………………12分
点到直线的距离 ………14分
假设存在直线满足条件，则点到的距离
所以当时，点到的距离 ……………………16分
此时，所以存在直线，使得点到和的距离之积为定值.…18分
42.【金山20】已知椭圆的左､右焦点分别为.
（1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率；
（2）已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标；
（3）已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）点的坐标为或或；（3）存在.
【分析】（1）由题意知，即可知离心率；
（2）分，和三种讨论即可；
（3）设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算，将韦达定理式整体代入，再计算，得到方程即可.
【解析】（1）由题意，得，所以离心率； ……4分
（2）由题意，得椭圆Γ：.
①当时，由对称性可知； ……6分
②当时，，故，
设，由，得，
两式作差，得，代入椭圆方程，得（负舍），故； ……9分
③当时，； ……10分
综上，点的坐标为或或；
（3）由题意，得椭圆Γ：，，，.
设直线，联立，得，
设，则， ……12分
， ……15分
， ……16分
由，得. ……18分
由题意得，即，所以离心率.
【点睛】对于第三问，我们通常选择设线法，设直线，从而将其与椭圆方程联立得到两根之和与之积式，然后再计算出的值，再将韦达定理式整体代入，当然本题也可引入，设直线.
43.【宝山20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；
（3）过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）观察可知，都在椭圆上，即满足椭圆方程，若在椭圆上，代入方程，联立解得，舍去；因此三点在椭圆上，即可解出椭圆的方程；
（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大. 当过点的直线与平行，且与椭圆相切时，取得最大或最小值，联立方程即可求得；
（3）写出直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，根据韦达定理求出的中点坐标以及线段的垂直平分线的方程，代入，即可求得的值.根据基本不等式，可求出实数m的取值范围.
【答案】（1）因为，关于轴对称，
根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有成立…………………2分
若在椭圆上，则有，联立可得，，不合题意，舍去.
所以在椭圆上，即，代入，得
所以，椭圆C的方程为……………………4分
（2）法一：直线的方程为…………5分
设切线与椭圆相切，联立，
得
（舍正）…………… 7分
……………………8分
又，所以面积的最大值是……………9分
法二：（参数法）设点的坐标为 ………………5分
直线的方程为，即……………………6分
则点到直线的距离
…………8分
所以面积的最大值是…………………9分
（3）由题意，知，联立，得 …………10分
设，则……………11分
法一：由为邻边的平行四边形为菱形得


由的一个方向向量是

即
……………14分
故， ……………15分
所以存在时，使得以为邻边的平行四边形为菱形.……………16分
法二：，
则的中点坐标为
所以线段的垂直平分线方程为，该直线过点
令，则，即……………14分
因为，所以，当且仅当时，即时等号成立.
所以，则………………15分
所以存在时，使得以为邻边的平行四边形为菱形……………16分
44.【浦东20】（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知、分别为椭圆：的左、右焦点，直线交椭圆于、 两点.
（1）求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值；
（2）若直线过点且与圆相切，求弦长的值；
（3）若双曲线与椭圆共焦点，离心率为，满足，过点作斜率为的直线交的渐近线于、两点，过、的中点分别作两条渐近线的平行线交于、两点，证明：直线平行于.
【答案】（1）、，；（2）弦长的值为；（3）证明见解析.
【解析】（1）由题意，焦点坐标、， …………….（2分）
离心率； …………..(4分)
法一：不垂直于轴 设， ……………(1分)
则， ……………(2分)
联立方程……(4分)
，即弦长的值为；…(6分)
法二：显然直线斜率存在，因而设直线方程为， …………(1分)
则， …………………(2分)
联立方程……(4分)
，即弦长的值为； ………………(6分)
（3）由题可知
因而双曲线方程为，………… （1分)
设，，
法一：（点差法）渐近线方程：

，即； ………… （3分）
法二：直线方程：
联立方程，得；…（3分）
法三：直线方程：
（分开求两条渐近线的交点），
，得；
（共同）设，，
联立

；
联立，

；………………..（5分）
因而
，………… (6分)
因而直线∥直线.
45.【长宁20】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分
已知抛物线的焦点为，准线为.
（1）若为双曲线（）的一个焦点，求双曲线的离心率；
（2）设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；
（3）经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、. 试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
【答案】（1）；
（2）；
（3）以线段为直径的圆C过定点和，理由见详解.
【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得离心率；
（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；
（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.
【解析】（1）抛物线的焦点为，准线为，
双曲线的方程为双曲线，即，
由，故双曲线的离心率；
（2）由（1）知，过点P作直线的垂线，垂足为，则，
∵ ∴，
故直线的倾斜角，斜率，
∴直线的方程为，即；
（3）设点，，
法一：设直线的方程为，代入，
得，即，
因为直线的方程为，同理直线的方程为，
所以的纵坐标分别为，，得，
故圆的直径式方程为，
由对称性知，该圆定点在轴上，令，则，得或，
所以圆过定点和.
法二：由已知直线的方程为，
将代入抛物线方程得，
因为直线的方程为，同理直线的方程为，
所以的纵坐标分别为，，得，
故圆的直径式方程为，
因为，所以整理得，
令，则，得或，所以圆过定点和.
法三：以线段为直径的圆C过定点，理由如下：
设直线，
联立方程，消去y可得：，
则可得，
∵直线，当时，，∴，同理可得，
∵，

，
则线段为直径的圆C的圆心，半径，
故圆C的方程为，整理得，
令，则，解得或，故以线段MN为直径的圆C过定点.
【点睛】过定点问题的两大类型及解法：
（1）动直线l过定点问题．设的解法：设直线方程为或，然后求出与或与的关系，再求出定点的坐标；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．