专题05 不等式（组）及不等式的应用（5大考点）-中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

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例1 （2022·内蒙古包头·中考真题）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：A、∵m＞n，∴，故本选项不合题意；
B、∵m＞n，∴，故本选项不合题意；
C、∵m＞n，∴，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
例2 （2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点、分别表示实数、，则______．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】
【分析】由图可得：，再根据不等式的性质即可判断．
【详解】解：由图可得：，
由不等式的性质得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
例3 （2020·江苏淮安·中考真题）解不等式．
解：去分母，得．
……
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”）
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A．
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；
（2）根据不等式的性质即可得．
【详解】（1）
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得；
（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
知识点：不等式及其基本性质
1、定义：用不等号（>,≥,<,≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
2、基本性质
【变式1】．（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．a，b，c不可能同时相等D．若，则
【答案】B
【分析】A.根据，则，根据，得出；
B.根据，得出，把代入得：，即可得出答案；
C.当时，可以使，，即可判断出答案；
D.根据解析B可知，，即可判断．
【详解】A.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故A错误；
B.∵，即，
∴，
把代入得：，
，
解得：，故B正确；
C.当时，可以使，，
∴a，b，c可能同时相等，故C错误；
D.根据解析B可知，，把代入得：，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．
【变式2】（2022·江苏南通·一模）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关于x的不等式（m+n）x＞m﹣n的解集是（ ）
A．x<13B．x>13C．x<-13D．x>-13
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，利用不等式的解集是得到，，然后把代入不等式中求解即可．
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴（），，
∴，
不等式变形为，
即，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式．解题的关键在于熟练掌握不等式的性质．
【变式3】（2022·江苏宿迁·三模）若不等式，两边同除以m，得，则m的取值范围为__________．
【答案】
【分析】由不等式的基本性质知 ，据此可得答案．
【详解】解：若不等式 ，两边同除以 ，得 ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
【变式4】（2022·安徽·模拟预测）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，化简：|1﹣a|﹣a＝_____．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质得出1﹣a＜0，再由绝对值的性质去绝对值符号、合并同类项即可．
【详解】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为，
∴1﹣a＜0，
解得a＞1，
即，
∴原式＝a﹣1﹣a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质及绝对值的化简求值，解题的关键是掌握不等式的基本性质和绝对值的化简．
【变式5】（2022·浙江杭州·一模）已知，，请比较M和N的大小．
以下是小明的解答：
∵，，
∴．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．
【答案】有错；时，；时，；时，；
【分析】先求出M与N的差，根据不等式的性质对M与N的差进行分类讨论即可求解．
【详解】解：有错，正确解答如下．
∵，，
∴．
∴当x>0时，2x>0，即，此时M>N；当x=0时，2x=0，即，此时M=N；当x<0时，2x<0，即，此时M∴时，；时，；时，．
【点睛】本题考查作差法比较大小，不等式的性质，正确应用分类讨论思想是解题关键．
核心考点二 一元一次不等式（组）的解法
例1 （2022·辽宁大连·中考真题）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案．
【详解】解：，
移项，合并同类项得：
故选D
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键．
例2 （2022·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【答案】x≥8
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x-8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
例3 （2022·山东菏泽·中考真题）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】x≤1，图见解析
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用数轴表示出来即可．
【详解】解：解①得：x≤1，
解②得：x<6，
∴x≤1，
解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的解集．
知识点：一元一次不等式及其解法
例题：解不等式，并在数轴上表示解集。
解：
解集在数轴上表示为

知识点：一元一次不等式组及其解法
定义
由几个含有同一个未知的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
这几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。
解法步骤
分别求出每个不等式的解集；
在同一数轴上表示出各个解集，找出所有解集的公共部分；
写出不等式组的解集。
解集表示（假设）
【变式1】（2022·江苏·建湖县汇杰初级中学三模）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式 的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∵不是不等式的整数解，
∴，
解得．
∵是关于x的不等式的一个整数解，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式2】（2021·河南·模拟预测）关于x的不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先解不等式组，利用a表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得a的范围．
【详解】解：
解①得x＜a，
解②得x≥3．
则不等式组的解集是3≤x＜a．
∵不等式组有4个整数解，
∴不等式组的整数解是3，4，5，6．
∴6＜a≤7．
故选B．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【变式3】（2022·安徽·三模）若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是______．
【答案】且
【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：关于x的分式方程的解为：x＝6−，
∵分式方程有可能产生增根3，
∴6−≠3，
∴b≠6，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴6−≥0，
解得：b≤12，
综上，b的取值范围是：≤12且≠6．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．
【变式4】（2020·河南·模拟预测）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）（b﹣1）的值为_____．
【答案】0
【分析】解出不等式组，求出解集，然后和已知解集对应一致，即可求出a，b，代入代数式即可求解．
【详解】解不等式组
解得
不等式组的解集为﹣1＜x＜1，
∴3＋4b＝−1，，
∴a＝1，b＝−1．
把a＝1，b＝−1代入得：
原式＝0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查不等式组的计算求解集，关键是和已知解集对应相等，求出a，b的值．
【变式5】（2022·贵州·德江县教育局教研室模拟预测）小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下：
解不等式：．
解：∵，
∴原不等式可化为．
∵两数相乘，同号为正，
∴①或②
由①得，由②得，
∴原不等式的解集为或．
请用以上方法解下列不等式：
(1)；
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意可得两个不等式组: 或，解不等式即可求解；
（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
①或②
∴解不等式组①，得
解不等式组②，得，
故原不等式的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
（2）解：由题得不等式，
根据“两数相除，同号得正，异号得负”
得①，或②，
∴解不等式组①得，，
不等式组②无解，
∴原不等式的解集为．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，分式不等式以及整式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.
核心考点三 含参不等式（组）问题
例1 （2020·甘肃天水·中考真题）若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案．
【详解】解：，
，
则，
不等式只有2个正整数解，
不等式的正整数解为1、2，
则，
解得：，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组．
例2 （2021·四川眉山·中考真题）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先解关于的不等式，然后根据只有3个正整数解，来确定关于的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：解不等式，
得：，
由题意只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，
故：，
解得：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了关于不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于不等式的正整数解的情况来确定关于的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．
例3 （2021·湖北荆州·中考真题）已知：是不等式的最小整数解，请用配方法解关于的方程．
【答案】，
【分析】先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可
【详解】解：∵；
∴；
∴；
∴；
∵是不等式的最小整数解，
∴；
∴关于的方程；
∴；
∴；
∴；
∴，．
【点睛】本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键．

给出不等式解的情况，求出参数取值范围
总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。记住大小小大有解，大大小小无解；端点值格外考虑；
给出不等式解集，求参数的值
总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用解集与所求解集之间的对应关系，建立方程；
【变式1】（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
【变式2】（2022·重庆八中三模）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数之和为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值．
【详解】解：不等式组整理得：，
由不等式组有且只有四个整数解，即4，3，2，1，得到0＜≤1，
解得：-2＜a≤2，即整数a=-1，0，1，2，
分式方程去分母得：y+a-2a=2（y-1），
解得：y=2-a，
∵y≠1，
∴2-a≠1，
∴a≠1，
由分式方程的解为非负数得2-a≥0，即a≤2，
∴a为-1，0，2，其和为1．
故选：C．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键
【变式3】（2022·山东菏泽·二模）满足不等式组的最小整数解是______．
【答案】0
【分析】先解出不等式组的解集，再求出其整数解即可解答．
【详解】解：，
解①得：x＞－1，
解②得：x≤3，
∴该不等式组的解集为－1＜x≤3，
∴该不等式组的整数解为0、1、2、3，
∴最小整数解为0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤是解答的关键．
【变式4】（2022·山东烟台·一模）已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有______个．
【答案】4
【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．
【详解】解：
解不等式①，可得x＜a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞5，
又∵存在以3，a，7为边的三角形，
∴4＜a＜10，
∴a的取值范围是5＜a＜10，
∴a的整数解有4个，
故答案为：4．
【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【变式5】（2022·山东聊城·一模）不等式组
(1)解此不等式组；
(2)若m是此不等式组的最大整数解，求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集；
（2）求出最大整数解，代入求出即可．
（1）
解：，
由不等式①，得，
由不等式②，得，
所以不等式组的解集为：；
（2）
解：∵m是此不等式组的最大整数解，
由（1）解集中最大的整数解为：x=，
则，
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解题的关键是求出不等式组的最大整数解，难度适中．
核心考点四 不等式的实际应用
例1 （2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ）
A．R至少B．R至多C．R至少D．R至多
【答案】A
【分析】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得．
故选：A．
【点睛】本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式．
例2 （2022·北京·中考真题）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．
（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；
（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．
【答案】 ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD） ACE
【分析】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；
（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．
【详解】解：（1）根据题意，
选择ABC时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择ABE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择AD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择ACD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择BCD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择DCE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；
选择BDE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；
选择ACE时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），符合要求；
综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或ACE或AD或ACD或BCD．
故答案为：ABC（或ABE或ACE或AD或ACD或BCD）．
（2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择ABE时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择AD时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择ACD时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择BCD时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择ACE时，装运的II号产品重量为： （吨）.
故答案为：ACE．
【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．
例3 （2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】(1)元
(2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低
【分析】（1）利用电池电量乘以电价，再除以续航里程即可得；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元建立方程，解方程可得的值，由此即可得；
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，根据这两款车的年费用建立不等式，解不等式即可得．
【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为元，
答：新能源车的每千米行驶费用为元．
（2）解：①由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：，
解得，
答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】本题考查了列代数式、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．
知识点：一元一次不等式的应用
列不等式解应用题的一般步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量。
设：设出未知数。
列：根据题目中的不等关系，列出不等式。
解：解不等式。
答：写出符合题意的答案。
不等式的实际问题中，常见关键词与不等号的关系
【变式1】（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）在某校举行的冬季篮球赛中，选手王娜在第六、第七、第八、第九场比赛中分别得了23分、14分、11分和20分．她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，如果她的前十场的平均成绩高于18分，那么她的第十场的成绩至少为（ ）
A．27分B．29分C．31分D．33分
【答案】B
【分析】首先求得第六场−−第九场的平均成绩（分）．根据她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，说明前五场该选手的得的总分最多17×5−1＝84（分）．因而可知前九场的总分不会超过68＋84．再根据她的前十场的平均成绩高于18分，即至少为18×10＋1＝181．则她的第十场的成绩至少即可求出．
【详解】解：设她的第十场的成绩得分x（分）．
第六场−−第九场的平均成绩为（分），超过了前五场的平均成绩．
因此，前五场该选手得的总分最多17×5−1＝84（分），但是她的十场的平均成绩高于18分，
由题意得x＋（23＋14＋11＋20）＋84≥18×10＋1，
解得x≥29．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．
【变式2】（2021·浙江绍兴·模拟预测）随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：
（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．
假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A、B两公交站之间的距离最大为（ ）
A．240mB．300mC．320mD．360m
【答案】B
【分析】设小明的速度为x，则公交车的速度为5x，分别计算小明往A走，以及往B走时，对应所需走的路程的最大值，然后求和即可．
【详解】设小明的速度为x，则公交车的速度为5x，
（1）若与公交车相向而行到达A站，设用时为t，
则要保证小明不会错过这辆公交车，应满足，
∴；
（2）若与公交车同向而行到达B站，设用时为T，
则要保证小明不会错过这辆公交车，应满足，
∴；
∴，
∴AB两地之间的距离最大为300米，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的实际应用，审清题意，建立合适的不等式，灵活利用整体思想求解是解题关键．
【变式3】（2022·北京北京·二模）某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购物满200元减20元的“满减”活动．
说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次；
②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款
小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付_____________元；
若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是__________．
【答案】 160
【分析】根据题意按参加“满减”活动和享八折优惠的方式付款分别求解再比较即可；根据题意设购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵若购买标价总额为220元的甜品，
∴若先参加“满减”活动再享八折优惠的方式付款，则需付款（元），
若按享八折优惠的方式付款，则需付款（元），，不再参加“满减”活动，则实际付款为元；
最少需支付元；
设购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款，根据题意得，，解得，
故答案为：；
【点睛】本题考查了有理数运算的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．
【变式4】（2022·黑龙江·肇东市第十一中学校一模）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元．
【答案】330
【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：
∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式：
m≥(20-m)，解得：m≥，
∴≤m≤20，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．
【变式5】（2022·广西·博白县龙潭中学模拟预测）小颖在完成一项“社会调查”作业时，需要调查城市送餐员的收入情况，他了解到劳务公司为了鼓励送餐员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资（固定）＋送餐单数奖励”的方法计算薪资，调查中获得如下信息：
送餐每单奖金为a元，送餐员月基本工资为b元．
(1)列方程组求、的值；
(2)若月送餐单数超过300单时，超过部分每单奖金增加1元，假设月送餐单数为单，月总收入为元，请写出与之间的函数关系式，并求出送餐员小李计划月总收入不低于5200元时，他每月至少要送餐多少单？
【答案】(1)
(2)，月总收入不低于5200元时，每月至少要送餐900单．
【分析】（1）根据月工资=基本工资+奖金工资，列二元一次方程组即可解出a、b的值，
（2）根据分段函数分别求出函数关系式，第一段，送单300单及以内，第二段，送单在300单以上，并根据月总收入不低于5200元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）由题意得：
，
解得，，
答：．
（2）(2)①当时，，
(2)时，，
与的函数关系式为∶，
，
，
当时，，
因此每月至少要送900单，
答∶月总收入不低于5200元时，每月至少要送餐900单．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、求一次函数的关系式以及一元一次不等式的应用等知识，根据自变量的不同的取值范围，求出适合不同的函数关系式，在函数中经常用到．
核心考点五 方程与不等式结合的实际应用
例1 （2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13B．15C．18D．20
【答案】A
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：
解得：
又题意得：且
∴且，
由得：
由得：
∵解集为
∴
解得：
综上可知a的整数解有：3，4，6
它们的和为：13
故选：A．
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．
例2 （2021·黑龙江绥化·中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元．
【答案】330
【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：
∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式：
m≥(20-m)，解得：m≥，
∴≤m≤20，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．
例3 （2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【答案】(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案
(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
（1）
设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得 解得
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）
设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得
变形得
由题意得：
由①得：
由②得：
∴
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）
设总利润为W元
则
∵
∴W随x的增大而增大
∴当时，W有最大值：（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
方程和不等式是中学数学的重要组成部分，也是函数学习的基础，在各地中考试题中，方程和方程组、不等式和不等式组往往作为填空题、选择题和解答题出现，重点都是要求学生掌握方程的概念和解法，不等式解集概念和解集在数轴上表示出来。这个版块作为考试的重点，往往导致很多考生丢分，还有很多考生看见不等式的题目就望而却步。
技巧与方法：
一、能根据实际问题列出不等式组，通过求解不等式而解决实际问题；用转化思想将实际问题中的不等关系抽象出来，用不等式组的知识解答应用题和方案设计型试题
二、一方面注重不等式组解法和与其它知识点联系的考查，另一方面更注重对其与现实生活的联系，加强对解决简单实际问题的数学考查
重难点：利用不等式、方程解决实际问题中，在解题过程中审题要细致，题中所求的未知量的特定意义要全部挖掘出来，增设辅助未知数，给我们利用等量、不等量关系带来很大的便利，能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用。
【变式1】（2020·安徽·合肥38中二模）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据表示不大于的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可判断．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是理解表示不大于的最大整数，列出不等式组，求出不等式组的解集．
【变式2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市富拉尔基区教师进修学校二模）某校组织10名党员教师和38名优秀学生团干部去某地参观学习．学校准备租用汽车，学校可选择的车辆（除司机外）分别可以乘坐4人或6人，为了安全每辆车上至少有1名教师，且没有空座，那么可以选择的方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【答案】B
【分析】设4人车租x辆，6人车租y辆，根据没有空座列出方程，结合至少有1名教师列出不等式，求解即可．
【详解】解：设4人车租x辆，6人车租y辆，
∵不得有空座，
则
∴
又∵每辆车上至少有1名教师，
∴
把代入得，
∴
∵x、y都是整数，
由知x是3的倍数，
因此，当x=0时，y=8；
当x=3时，y=6；
当x=6时，y=4；
故有3种方案，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程与一元一次不等式的应用，关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程和不等式求解．
【变式3】（2022·重庆·模拟预测）我国过年历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗，有许多还相传至今，如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等．某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超过300件，灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的，每张“福”字贴画进价是4元，每对灯笼的进价是50元（灯笼成对出售），商店将“福”字贴画以高出进价的售出，将灯笼每对按高出进价的40%售出，最后留下了35件物品未卖出，并把这批物品免费送给了自己的亲戚朋友，最后商店经过计算总利润率为20%，则最初购进灯笼___________对．
【答案】41
【分析】设最初购进灯笼x对，则“福”字贴5x张，留下的35件有y对灯笼，（35﹣2y）张“福”字帖，由题意列出不等式求出x的取值范围，根据利润=总售价﹣总进价=总进价×利润率列出x、y的等量关系，用x表示y的关系式，进而求得y的取值范围，由x、y取整数可求得x、y的值，即可求解．
【详解】解：设最初购进灯笼x对，则“福”字贴画5x张，留下的35件有y对灯笼，（35﹣2y）张“福”字帖画，
根据题意，250≤2x+5x≤300，解得：，
∵x取整数，∴36≤x≤42，
∵灯笼的售价为50×（1+40%）=70元，“福”字帖画的售价为4+4×=7元，
∴总进价为50x+4×5x=70x元，
总售价为70×（x﹣y）+7×[5x﹣（35﹣2y）]=（105x﹣56y﹣245）元，
由题意，105x﹣56y﹣245﹣70x=20%×70x，
解得：x=y+，
∵36≤x≤42，
∴36≤y+≤42且35﹣2y≥0，
解得：≤y≤，
∵y为整数，
∴ y的值为10或11，
当y=10时，x=（不是整数，舍去），
当y=11时，x=41，
∴最初购进灯笼41对，
故答案为：41．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解答的关键是读懂题意，找寻等量关系，正确列出不等式及方程，注意x、y都取整数的条件．
【变式4】（2021·重庆市开州区文峰初级中学一模）为响应教育部《大中小学劳动教育指导纲要》，充分发挥劳动育人的功能，北关中学启动甜甜圈农场计划，每个班级分配一块专属农场用地，学生通过种植各种花卉、农作物，亲历实际的劳动过程．家委会配合统一采购所需种子，包括花卉风信子、雏菊，蔬菜土豆、菠菜，供各个班级自行选择品种．经过市场调查发现，雏菊和菠菜每袋种子单价一样，每种植物单价均为整数，若购买风信子、雏菊、土豆、菠菜各3袋，2袋，4袋，2袋需要104元；若分别购买3袋，5袋，8袋，4袋共需180元；现为节约经费，家委会与商家商讨打折购买事宜，经商定，风信子打6折，雏菊打9折，土豆打8折，经过统计学校共需采购风信子和土豆各18袋，雏菊17袋，菠菜20袋，为了使买种子的总花费不超过500元，菠菜至少打______折．
【答案】7.4
【分析】设雏菊（或菠菜）、风信子、土豆的单价分别为x元、y元、z元，菠菜至少打a折，则由题意可以得到关于x、y、z的三元一次方程，再根据每种植物单价均为整数的已知条件可以算出x、y、z的值，从而得到关于a的一元一次不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：设雏菊（或菠菜）、风信子、土豆的单价分别为x元、y元、z元，则由题意得：
，∴ ，
由已知，x、y、z均为正整数，∴由上面的方程组可得：，
∴设菠菜至少打a折，则有：
，
解之得：，
故答案为7.4．
【点睛】本题考查方程与不等式的综合运用，通过方程或方程组求出有关量后列出关于未知数的不等式求解是解题关键．
【变式5】（2020·贵州·仁怀市教育研究室二模）某商场受疫情影响，决定调整进货数量，下表是该商城在疫情期间购进甲、乙两种品牌服装的进价和售价：已知：用10200元购进甲种品牌服装的数量与用9600元购进乙种品牌服装的数量相同．
(1)求m的值；
(2)要使购进的甲、乙两种品牌服装共5件的总利润（利润=售价进价）不少于1435元，则商城最少应购进多少甲种品牌衣服？
(3)若购进的甲、乙两种品牌服装共20件，且规定甲种品牌服装数量不超过乙种品牌服装数量的4倍．应怎样进货才能使商场在销售完这批品牌服装时获利最多？此时利润为多少？
【答案】(1)
(2)商城最少应购进3件甲种品牌衣服
(3)应购进甲种品牌服装16件，乙种品牌服装4件才能使商场在销售完这批品牌服装时获利最多，此时利润为6400元
【分析】（1）根据用10200元购进甲种品牌服装的数量与用9600元购进乙种品牌服装的数量相同列出方程求解即可；
（2）设购买甲种品牌衣服x件，则购买乙种品牌衣服件，然后根据利润=售价进价列出不等式求解即可；
（3）设购买甲种品牌衣服y件，则购买乙种品牌衣服件，利润为W，根据题意列出W关于y的一次函数关系式，再求出y的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，
∴；
（2）解：设购买甲种品牌衣服x件，则购买乙种品牌衣服件，
由题意得，
∴，
又∵x是正整数，
∴x的最小值为3，
∴商城最少应购进3件甲种品牌衣服；
（3）解：设购买甲种品牌衣服y件，则购买乙种品牌衣服件，利润为W，
由题意得
∵甲种品牌服装数量不超过乙种品牌服装数量的4倍，
∴，
∴，
∵，
∴W随y的增大而增大，
∴当时，W最大，最大为，
∴应购进甲种品牌服装16件，乙种品牌服装4件才能使商场在销售完这批品牌服装时获利最多，此时利润为6400元
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的式子求解是解题的关键．
【新题速递】
1．（2022·四川泸州·八年级期末）直线的图象经过点，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把，代入中，得到方程组，解得k、b的值，再代入不等式，求不等式的解集即可．
【详解】把，分别代入得：
，
解得：
∵，
∴，
解得：，
故选：B
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、一元一次不等式的解法，熟练掌握相关方法和步骤是解题的关键．
2．（2022·北京·测试·编辑教研五七年级阶段练习）已知，下列不等式变形不正确的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式基本性质逐一判断即可．
【详解】解：A．根据不等式性质，不等式两边都加2可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
B．根据不等式性质，不等式两边都乘以3可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
C．根据不等式性质，不等式两边都乘以可得，原变形不正确，故此选项符合题意；
D．根据不等式性质，不等式两边都乘以2可得，再在不等号两边同时减1得，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（2022·四川泸州·七年级期末）若不等式组有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集是：．
不等式组有个整数解，则整数解是．
则．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于的不等式组．
4．（2022·重庆市万州第二高级中学九年级期中）已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组恰好有2个整数解，则符合条件的整数的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解方程方程，再由，确定是2的倍数且，再解一元一次不等式组得到，求出m的范围，然后求出同时符合分式方程和一元一次不等式的m的值，最后相加即可．
【详解】解：，
，
，
∵方程的解为整数，
∴是2的倍数，
∵，
∴，
∴，
，
由①得，
由②得，
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴，
解得，
∴符合m的值有，
故符合条件的整数的和为．
故选A．
【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键．
5．（2022·湖南永州·八年级期末）若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案．
【详解】解∶，
，
则，
不等式只有2个正整数解，
不等式的正整数解为1、2，
则，
解得∶，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．
6．（2022·吉林·长春力旺实验初级中学九年级阶段练习）某校40名同学去工厂进行暑假实践活动，每名同学每天可以加工甲种零件10个或乙种零件8个，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元，若要使车间每天获利不低于7000元，加工乙种零件的同学至少为（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】B
【分析】设加工乙种零件的同学为人，则加工甲种零件的同学为：人，根据题意，列出一元一次不等式，进行求解即可．
【详解】解：设加工乙种零件的同学为人，则加工甲种零件的同学为：人，
由题意，得：，
解得：，
∵是整数，
∴的最小值为，
即：加工乙种零件的同学至少为人；
故选B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意，正确的列出一元一次不等式，是解题的关键．
7．（2021·浙江·宁波市江北区实验中学八年级期中）若关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先解每一个不等式，再根据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范围．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
∵不等式组的整数解只有5个，
∴不等式组的整数解为，
则，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围．
8．（2022·浙江·杭州北苑实验中学模拟预测）某班要奖励学习进步者，班委决定购买三档奖品共20件，预算费用不超过200元，奖品价格如下表所示：
若档奖品购买3件，则档至多能买____________件．
【答案】6
【分析】设档至多能买件，根据题意可列不等式，求解不等式并结合实际情况即可获得答案．
【详解】解：设档至多能买件，由题意，
可得，
解得，
∵奖品数为整数，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9．（2021·四川·成都外国语学校八年级期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和是15，则m的取值范围是___________．
【答案】或##或
【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为15，可以确定整数解为6，5，4这四个数，再根据解集确定m的取值范围．
【详解】解：解不等式组，
解得：，
∵所有整数解的和是15，且，
∴，
∴不等式组的整数解为①6，5，4，或②6，5，4，3，2，1，0，，
∴或；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．
10．（2022·黑龙江大庆·八年级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 _____．
【答案】
【分析】将两根方程相加可得，根据得出关于a的不等式，解之可得答案．
【详解】解：将两个方程相加可得，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
11．（2021·重庆市大学城第一中学校八年级期中）一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为4和7，第三边长是不等式组的正整数解．则第三边的长为___________．
【答案】10
【分析】先解不等式组，再根据三角形三边之间的关系，确定x的取值范围，找出符合条件的整数解即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵x、4和7组成三角形，
∴，即，
∴，
∵x为整数，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组以及三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，以及根据不等式的性质进行求解．
12．（2022·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．每次填满表后，考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为．
（1）下表所示为符合题意的一种填表方式，则此表的值等于______；
（2）在所有的填表可能中，的最大值为_______．
【答案】
【分析】（1）根据定义求得每一行的数的和即可求解；
（2）依据5个1分布的行数的不同情形进行讨论，确定m的最大值．
【详解】解：（1）第一行中所有数的和为：，
第一行中所有数的和为：，
第一行中所有数的和为：，
第一行中所有数的和为：，
第一行中所有数的和为：，
∴；
（2）依据5个1分布的行数的不同情形进行讨论，确定的最大值．
①若5个1分布在同一行，则；
②若5个1分布在两行中，则由题意知这两行中出现的最大数至多为3，故，故
③若5个1分布在三行中，则由题意知这三行中出现的最大数至多为3，故，故
④若5个1分布在至少四行中，则其中某一行至少有一个数大于3，这与已知矛盾．
综上所述，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义，理解新定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
13．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级阶段练习）解不等式组，并求出它的负整数解．
【答案】；﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其整数解．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为
∴不等式组的整数解为﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组的整数解，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知对应的口诀是解答此题的关键．
14．（2020·江苏宿迁·八年级期末）规定：．例：，．
(1)解不等式：；
(2)若，求函数解析式，并指出x的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据新定义解答即可；
（2）根据新定义分情况讨论解答即可．
【详解】（1）解：当，即时，
，
解得：，
∴；
当，即时，
，
解得：，
∴；
综上分析可知，或．
（2）解：当，即时，
；
当，即时，
；
综上分析可知，．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
15．（2022·浙江宁波·八年级期中）解下列不等式（组），并把（1）的解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)解不等式组：．
【答案】(1)，数轴见解析；
(2)．
【分析】（1）根据不等式的性质即可得到答案；
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出其公共部分即可得到答案．
【详解】（1）解：，
移项合并得，，
系数化1得，，
在数轴上表示为：
（2）解：
由①得：，
由②得：，
不等式组的解．
【点睛】本题考查解一元一次不等式（组），熟悉不等式的性质是解题关键．
16．（2022·浙江宁波·八年级期中）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．
(1)求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？
(2)该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？
【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元
(2)见解析
【分析】（1）先设两种垃圾箱的价格，再根据等量关系列出方程组，求出解即可；
（2）设购买B型垃圾箱n个，表示出购买A型垃圾箱的个数，再根据题意列出不等式组，求出解集，然后选择整数解，确定方案即可．
【详解】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．由题意可得：
，
解得：.
答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；
（2）设购买B型垃圾箱n个，则购买A型垃圾箱个，
根据题意得：，
解得，
又∵n为正整数，
∴，6，7．
方案1：A型垃圾箱15个，B型垃圾箱5个 ；
方案2：A型垃圾箱14个，B型垃圾箱6个；
方案3：A型垃圾箱13个，B型垃圾箱7个．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，确定等量关系和不等关系是解题的关键．
17．（2022·广东·丰顺县小胜中学九年级阶段练习）“五·一”休假，某公司组织部分员工分别到，，，四地旅游，公司按规定额购买了前往各地的车票，如图是未制作完的车票种类的数量的条形统计，根据统计图回答下列问题：
(1)若去地的车票占全部的，请求出地车票的数量，并补全统计图；
(2)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到地的概率是多少？
(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有，，，的正四体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李”，这个规则对双方公平吗？请说明理由．
【答案】(1)地车票有张，图见解析
(2)
(3)不公平，理由见解析
【分析】（1）由统计图，可得，，，三地的具体车票数量，根据“去地的车票占全部车票的10%”列方程求解，即可补全统计图；
（2）去地的概率地车票数车票总数；
（3）先列举出所有等可能结果和小王掷得数字比小李掷得数字小的结果，求出概率再进行判断．
【详解】（1）解：设地车票有张，则
解得，即地车票有张．
补全统计图如下：
（2）小胡抽到地的概率为．
（3）不公平．理由如下：列出表格：
由此可知，共有种等可能结果，其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有种：，，，，，．
小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为，则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为．所以这个规则对双方不公平．
【点睛】此题考查游戏公平性的判断与条形统计图，简单事件的概率直接利用概率公式计算，复杂的事件概率可以列表或是列树状图解答，避免遗漏答案．
18．（2020·龙港市第三中学八年级阶段练习）已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车的最大装载量如表：
(1)装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案.
(2)使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省?最省的运费是多少元?
(3)在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元，每辆B型车奖金为n元，，且m，n均为整数.则___________，____________.
【答案】(1)三种方案
(2)A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，费用为（元）
(3)40 45
【分析】（1）设安排A种货车x辆，则安排B种货车辆，列出不等式组，求整数解即可；
（2）根据三种方案判断即可；
（3）根据二元一次方程，求整数解即可．
【详解】（1）解：设安排A种货车x辆，则安排B种货车辆，
，
解得：，
因为x为整数，所以可以取28，29，30，共三种方案．
（2）使用A种货车费用600元，B种货车800元，，
在上述方案中，安排A种货车最多时最省费用，
即当A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，
费用为：（元）；
（3）在（2）的方案下，由题意得：
，
，
，
，
解得：，
经验算，只有当时，m=为整数，其余n的取值不符合要求，
此次奖金发放的具体方案为：每辆A种货车奖金为40元，每辆B种货车奖金为45元．
【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式（组）解决问题．
核心考点
核心考点一 不等式的基本性质
核心考点二 一元一次不等式（组）的解法
核心考点三 含参不等式（组）问题
核心考点四 不等式的实际应用
核心考点五 方程与不等式结合的实际应用
新题速递
性质1
不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即如果，那么
性质2
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果，，那么，
性质3
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果，，那么，
性质4
如果，那么
性质5
如果，，那么
定义
含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。
一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
解法步骤
一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。
一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法类似，不同的是当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变。
解集在数轴上表示
“两定”
定边界
定方向
不等式组
在数轴上的表示
不等式组的解集
口诀
同大取大
同小取小
大小小大，
中间找.
无解
大大小小，
找不到.
包裹编号
I号产品重量/吨
II号产品重量/吨
包裹的重量/吨
A
5
1
6
B
3
2
5
C
2
3
5
D
4
3
7
E
3
5
8
常见关键词
符号
大于，多于，超过，高于
＞
小于，少于，不足，低于
＜
至少，不低于，不小于，不少于
≥
至多，不超过，不高于，不大于
≤
送餐员
小李
小杨
月送餐单数/单
292
273
月总收入/元
3384
3346
品牌服装价格
甲
乙
进价（元/件）
m
售价（元/件）
1200
1000
奖品


售价（单位：元/件）
20
12
6
4
2
2
4
4
5
4
5
3
3
2
1
3
1
1
5
5
3
5
4
1
3
2
1
2
小李掷得数字小王掷得数字
1
2
3
4
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
最大装载量（吨）
A型货车
B型货车
甲种货物
7
5
乙种货物
3
7