专题15 图形的相似综合（6大考点）-中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

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例1 （2022·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可．
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
雷锋雕像为2m，
∴
∴，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
例2 （2021·四川德阳·统考中考真题）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为 __________________．
【答案】或4
【分析】分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，求出矩形的周长即可；
②边为矩形的宽时，则矩形的长为，求出矩形的周长即可．
【详解】解：分两种情况：
①边为矩形的长时，则矩形的宽为，
矩形的周长为：；
②边为矩形的宽时，则矩形的长为：，
矩形的周长为；
综上所述，该矩形的周长为或4，
故答案为：或4．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
例3 （2022·湖南常德·统考中考真题）在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接．
(1)当四边形是矩形时，如图，求证：①；②．
(2)当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）①证明即可；②连接BG，CG，证明，即可证明；
（2）①的结论和（1）中证明一样，证明即可；②的结论，作，证明即可．
【详解】（1）证明：①证明过程：
四边形ABCD为矩形，
平分
为等腰直角三角形
②证明：连接BG，CG，
G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，
平分，
（2）作，如图所示
由（1）同理可证：
四边形ABCD为平行四边形
G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得
，


【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键．
知识点、线段的比与成比例线段
知识点、比例的性质
知识点、黄金分割
知识点、平行线分线段成比例定理
【变式1】（2022·河北邯郸·统考三模）如图，已知P、Q是边AB的三等分点，△ABC的面积为27，现从AB边一点D，沿平行BC的方向剪下一个面积为7的三角形，则点D在（ ）
A．线段AP上B．线段PQ上，且靠近P点
C．线段PQ上，且靠近Q点D．线段BQ上
【答案】C
【分析】如图，取AB的中点E，则，，，根据平行线分线段成比例定理的推论可知，，均与相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出，，的面积，与剪下三角形的面积比较即可判断．
【详解】解：如图，取AB的中点E，作交AC于点F， 交AC于点G，交AC于点H，
∵P、Q是边AB的三等分点，E是AB的中点，
∴E是PQ的中点，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∵，
∴点D在线段EQ上，即在线段PQ上，且靠近Q点．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的面积比与相似比的关系，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式2】（2022·浙江宁波·统考模拟预测）ABCD被分别平行于两边的四条线段EJ、FI、LG、KH分割成9个小平行四边形，面积分别为S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD．若知道S1-9中的n个，就一定能算出平行四边形ABCD的面积，则n的最小值是（ ）．
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】由题述相似关系得AL：AE=KB：FD，设AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y．
又AB：AD=AL：AE=KB：FD可得（kx+LK+kz）：（x+y+z）=kx：x=ky：y=k，LK=ky．
只需知道S1，S3，S5，便可由x2：y2：z2= S1：S3：S5得到x：y：z=，于是
SABCD= S1·=．
【详解】解：如图，
由题述相似关系得AL：AE=KB：FD，
设AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y．
∵AB：AD=AL：AE=KB：FD
∴（kx+LK+kz）：（x+y+z）=kx：x=ky：y=k，
∴LK=ky．
只需知道S1，S3，S5，便可由
x2：y2：z2= S1：S3：S5
得到x：y：z=，
于是SABCD= S1·=，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了相似四边形的性质，关键在于设出未知数，用正确的表达式表示面积．
【变式3】（2022·统考一模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______．
【答案】2
【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积求解即可得出答案．
【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴舍去，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若，则是的比例中项”是解本题的关键．
【变式4】（2022·福建莆田·校考一模）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝4，∠ABC的平分线交AD边于点E，则DE的长为 _____．
【答案】
【分析】根据黄金矩形ABCD，得出宽与长的比为黄金比（），，，可求，根据BE为∠ABC的平分线，证出，再利用计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为黄金矩形，
∴其宽与长的比，，，
∴，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了黄金矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，解题关键是熟练掌握黄金矩形的性质、等腰三角形判定与性质等知识并利用线段和差求解．
【变式5】（2020·福建南平·统考一模）在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4，．
（1）求AD的长；
（2）试问能成立吗？请说明理由．
【答案】(1)AD=；(2)能，理由见解析.
【分析】（1）设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，根据比例式列出方程求得x的值，即可得AD的长；
（2）根据所求得的数据计算即可得结论.
【详解】解：（1）)设AD=x,则BD=AB-AD=（12-x）cm，
∵，AE＝6，EC＝4，
∴x：（12-x）=6：4，
解得x=，
∴AD=；
（2）能，理由如下：
∵AB＝12，AD＝，
∴DB＝.
∴，
∵AE＝6，EC＝4，
∴AC=10
∴，
∴.
核心考点二 相似三角形的判定
例1 （2020·贵州遵义·统考中考真题）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（ ）
A．9B．12C．15D．18
【答案】D
【分析】由得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之间的面积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案．
【详解】解：


四边形MNQP的面积为3，







故选D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键．
例2 （2021·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
【详解】解：根据题意，添加条件，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
例3 （2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
知识点、相似三角形的判定
【变式1】（2023·上海杨浦·统考一模）如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，，可直接证明，即可判断A；由角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质即可得出，从而可证，即可判断B；由，，可直接证明，即可判断C；没有条件证明，即可判断D．
【详解】∵，，
∴，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，，
∴， 故C正确，不符合题意；
在和中只有，不能证明，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．
【变式2】（2022·广西梧州·统考一模）如图，在中，，将绕着点B逆时针方向旋转，使点C的对应点落在CA的延长线上，得到，连接，交于点O．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用旋转的性质和等腰三角形的性质推出，即可判断①的正确性；通过点、、、四点共圆可以判断出②③④的正确性．
【详解】解：由题意可得：，
∵
∴
∵
∴，故①正确；
∵
∴
∵
∴
∴，
∴点、、、四点共圆
∵，
∴是直径，不是直径
∴，故②错误；
∵点、、、四点共圆
∴，故③正确；
∵点、、、四点共圆
∴，
∴，故④正确；
∴正确结论的个数是3个
故选C．
【点睛】本题考查了图形的旋转、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理的推论以及相似的判定等知识点，灵活运用这些知识点是解题的关键．
【变式3】（2021·上海崇明·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．
【答案】
【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，
∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴
∴CQ＝ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法．
【变式4】（2021·河南·统考模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于____．
【答案】
【分析】根据折叠可得四边形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，可得三边的比为3：4：5，设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，通过PG=HN，列方程解方程，进而求出PF的长，从而可求PE的长．
【详解】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：
四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=8-5=3，
在中，
∴MF=5-4=1，
在中，设EF=x，则ME=3-x，
由勾股定理得， ，
解得：，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
又∵∠FGP=∠CNF=90°
∴，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
四边形ABNM是正方形，

∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，
解得：m=1，
∴PF=5m=5，
∴PE=PF+FE=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形，正方形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式5】（2022·四川南充·统考三模）如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．
(1)求证：．
(2)当，时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的性质可得，，，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），延长至，使，连接，，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴．
（2）解：如图，延长至，使，连接，．
则垂直平分，
，
是边上的中线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
核心考点三 相似三角形的性质
例1 （2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6
【答案】C
【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，
则OB=，
∴OC=，
∴OD=，
…
∴OG=，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．
例2 （2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是________．
【答案】12
【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM、MN、CN之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解．
【详解】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，
，，，，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
求出,
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
例3 15．（2020·山东济南·中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①，；②仍然成立，证明见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．
（2）结论：BE＝．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明，可得结论．
【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，


∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝BD，
∴CF＝BE．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．
②结论不变．
解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
由①得：
设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，
点F是BD的中点，
则DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴（SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，

∴AC∥BT∥，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，
∵点F是BD的中点，
∴BD与GT交于点F，
∴GF＝FT，
由旋转可得；
是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝BE．
（2）结论：BE＝．
理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，

∴AT＝，
∴AB＝，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝60°，

∴AE＝AD＝FT，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
知识点、相似三角形的性质
【变式1】（2022·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考三模）如图，在中，，，将沿着点到点的方向平移到的位置，图中阴影部分面积为，则平移的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，求出的面积，根据平移的性质得出，的面积的面积，再根据面积比等于相似比的平方得出即可．
【详解】解：，，，
，
是直角三角形，，
将沿着点到点的方向平移到的位置，
∴，
的面积的面积，，
图中阴影部分面积为，
，
∴，
解得：，
即平移的距离是，
故选：．
【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积和相似三角形的性质等知识点，能求出的面积是解此题的关键．
【变式2】（2022·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，双曲线（）经过斜边的中点D，与直角边交于点C，过点D作于点E，连接，若的面积是6，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】由题可得△OED∽△OAB，由反比例函数表达式可表示S△AOC=S△DOE=，由相似的性质可得S△AOB=4S△DOE=2k，由S△AOB-S△AOC=S△OBC=6，即可求解；
【详解】解：∵Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴DE∥AB，
∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，
∴DE为Rt△OAB的中位线，
∵，
∴
∵
∴△OED∽△OAB，
∴．
∵双曲线的解析式是，
∴S△AOC=S△DOE=，
∴S△AOB=4S△DOE=2k，由S△AOB-S△AOC=S△OBC=6，得2k-=6，解得k=4，
故选：B．
【点睛】反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质，掌握相关知识并结合图象进行求解是解题的关键．
【变式3】（2023·上海松江·统考一模）已知，是边上一点，、的重心分别为、，那么的值为________．
【答案】
【分析】由重心可知线段，得到，从而得出面积比，再利用中线的性质得到最后的面积之比．
【详解】解：是，的重心，
，
，
，
，
分别是的中点，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查重心的性质以及线段比与面积的关系，熟练掌握重心的性质以及利用线段比求面积比是解决本题的关键．
【变式4】（2022·广东深圳·校考模拟预测）如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为 _____．
【答案】
【分析】过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H，利用∠CQP＝∠CTP＝90°，得出C，P，T，Q四点共圆，则点Q的运动轨迹是射线TQ，再利用垂线段最短和三角形相似，求出BH的长度即可．
【详解】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H．
∵∠CQP＝∠CTP＝90°，
∴C，P，T，Q四点共圆．
∴∠CTQ＝∠CPQ＝30°，
∴点Q的运动轨迹是射线TQ，
∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CBT＝∠ABC，∠ACB＝∠CTB＝90°，
∴△BTC∽△BCA，
∴BC2＝BT•BA，
∴BT，
∵∠BTH＝60°，
∴BH＝BT•sin60°，
∴当点Q与点H重合时，CQ的值最小，最小值为．
【点睛】本题考查了四点共圆，直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，垂线段最短，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短．
【变式5】（2022·宁夏银川·校考一模）如图，是边长为的等边三角形，为的中线，动点P，Q分别从A，B同时出发，分别沿，方向做匀速运动，它们的速度都是．当点P到达点B时，停止运动，设点P的运动时间为．
(1)当_____时为等边三角形
(2)当与相似时，求出的值
(3)设四边形的面积为，求出与之间的函数关系式，并求出为何值时，四边形的面积有最小值，并求出最小值
【答案】(1)2
(2)或；
(3)，时，
【分析】（1）当时，是等边三角形，列式计算即可；
（2）分和两种情况进行列方程求解即可；
（3）分别计算和，即可得到的函数关系式，求出这个二次函数的最小值即可．
【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形，
∴，
当时，是等边三角形，
即，
解得；
故答案为：2；
（2）∵是等边三角形，为的中线，
∴，
当时，
，
∴，
解得，
当时，
，
∴，
解得，
综上所述或；
（3）如图，作于点R，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
即，
∴当，．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质、解直角三角形、二次函数的最值等知识，解决问题的关键是分类讨论．
核心考点四 相似三角形中的动点问题
例1 （2021·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ）
①当时，是等边三角形．
②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个．
③当时，．
④当时，．
⑤当时，．
A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤
【答案】A
【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利用四边形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；当6≤t≤9时，S=且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，可得HC=3cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论．
【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，
①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，
∴AH=AB=6cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6cm．
∵当t=6s时，S=cm2，
∴×AB×BC=．
∴BC=．
∵当6≤t≤9时，S=且保持不变，
∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，
∴HC=3cm，即点H为CD的中点．
∴BH=．
∴AB=AH=BH=6，
∴△ABM为等边三角形．
∴∠HAB=60°．
∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，
∴AM=AN，
∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．
故①正确；
②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：
此时有两个符合条件的点；
当AD=AM时，△ADM为等腰三角形，如图：
当DA=DM时，△ADM为等腰三角形，如图：
综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．
∴②不正确；
③过点M作ME⊥AB于点E，如图，
由题意：AM=AN=t，
由①知：∠HAB=60°．
在Rt△AME中，
∵sin∠MAE=，
∴ME=AM•sin60°=t，
∴S=AN×ME=．
∴③正确；
④当t=9+时，CM=，如图，
由①知：BC=，
∴MB=BC-CM=．
∵AB=6，
∴tan∠MAB=，
∴∠MAB=30°．
∵∠HAB=60°，
∴∠DAH=90°-60°=30°．
∴∠DAH=∠BAM．
∵∠D=∠B=90°，
∴△ADH∽△ABM．
∴④正确；
⑤当9＜t＜9+时，此时点M在边BC上，如图，
此时MB=9+-t，
∴S=．
∴⑤不正确；
综上，结论正确的有：①③④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．
例2 （2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．
【答案】##
【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且 点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．
【详解】解：∵点、分别是边、的中点，
连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，
根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴
∴
∴
当点E与点A重合时，则NF=，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴是等腰直角三角形，
∴
∵BP⊥AF，
∴
由题意得，点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接PO，NO，
∴∠PON=90°，
又
∴，
∴，
∴的长为=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为长是解答本题的关键．
例3 （2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S．
(1)求的长；
(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根据勾股定理可求出BD的长，进而求得AD的长；
（2）利用相似可求出QP的长，然后利用三角形面积公式可求出关系式,注意分在线段和在线段上分别讨论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴=5，
∴AC=AD+DC=5+3=8；
（2）解：由（1）得AD=5，
∵AP=x，
∴PD=5-x，
∵过点P作的垂线，与相交于点Q，
∴，
∵，
∴即，
在和中
，
∴，
∴
∴
∵与重叠部分的面积为S
∴的面积为S
即，
∵点P不与点A，D，C重合，
∴，
即．
当在上运动时，如图，设交于点，
则
即
综上所述，
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形，三角形的面积公式，解题的关键是能找到各个边长的关系．
几何内容就是每年中考数学热门考查对象，在中考数学中占有相当高的分值，考查范围一般包括三角形、四边形、圆相关的知识内容等等，其中与三角形相关的相似三角形更是其中的重难点，它是历年中考数学的热点内容。
动点问题一直是中考数学试题热门考点，在很多地方中考试卷里，动点问题一直是必考题型。在很多动点问题当中，还会考查到很多数学思想，如数形结合、分类讨论思想、函数与方程等等都会考查到。
相似三角形作为中考数学中的一块非常重要的知识内容，一般会考查到以下三个方面内容：
1、考查相似三角形的判定定理；
2、考查利用相似三角形的性质去解决具体问题；
3、考查与相似三角形有关的综合内容。
【变式1】（2022·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，中，，点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段作匀速运动，同时点E从点B出发，沿射线以每秒个单位的速度作匀速运动，当点D与点B重合时两点停止运动，连接．设点D运动的时间为x秒，的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设BC交DE于点P，过点D作DQ⊥BC于点Q，则∠BQD=90°，根据题意得：，则，先根据△BDQ是等腰直角三角形，可得，再证明△BEP∽△QDP，可得，从而得到，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，设BC交DE于点P，过点D作DQ⊥BC于点Q，则∠BQD=90°，
根据题意得：，则，
∵，
∴∠ABC=45°，，
∴△BDQ是等腰直角三角形，
∴，
∵BF⊥BC，
∴BF∥DQ，
∴△BEP∽△QDP，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴该函数图象为位于y轴以及右侧的抛物线的一段．
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，二次函数的图象，根据题意得到函数解析式是解题的关键．
【变式2】（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作于点G，则运动过程中，AG的最大值为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】A
【分析】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，设运动时间为t秒，则由已知易证明△BFQ∽△OFP，则可得PQ过定点F；再证明△OFH∽△OBC，则可求得点F的坐标，进而求得AF的长，则由垂线段最短可确定AG的最大值．
【详解】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，如图．
设运动时间为t秒，则BQ=2t，OP=3t，
∵B、C的纵坐标相同，
∴BC∥OA，
∴△BFQ∽△OFP，
∴，
∴PQ恒过定点F．
∵FH∥BC，
∴△OFH∽△OBC，
∴，
即，
∴，
∴．
∴由勾股定理得：．
∵PQ恒过定点F，且AG⊥PQ，
∴AG≤AF，
∴AG的最大值为AF，即AG的最大值为．
故选：A．
【点睛】本题是动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，确定PQ过定点是问题的关键．
【变式3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：=_______；
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间________
【答案】 ## 秒或4秒
【分析】（1）根据路程=速度时间，即可表示出AQ的长度.
（2）此题应分两种情况讨论．①当时；②当时．利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）由题意可知：，
（2）连接PQ，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴当时，，即，解得
当时，，即，解得t=4．
∴运动时间为秒或4秒．
故答案为：；秒或4秒
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键，注意不要漏解．
【变式4】（2021·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，，，，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点运动的时间为秒，当是直角三角形时，的值为_______．
【答案】或
【分析】利用分类讨论的思想方法分∠PQB=90°和∠QPB=90°两种情况讨论解答，利用t的代数式分别表示出线段BP，BQ的长度，利用相似三角形的性质列出比例式方程，解方程就可求得结论．
【详解】解：由题意得：
，
，，
．
当时，
，
．
，
．
．
．
解得：．
当时，
，
．
，
．
．
．
解得：．
综上所述，当是直角三角形时，的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
【变式5】（2022·宁夏银川·校考三模）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A、B的坐标为、，动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿向终点A运动，点N沿向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，已知动点运动了x秒．
(1)用含x的代数式表示P的坐标．
(2)设四边形的面积是y，求y的最小值，求出此时x的值．
(3)是否存在x的值，使以 P 、A 、M 为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，y的最小值为
(3)存在，见解析
【分析】（1）根据矩形的性质求出C点坐标，利用待定系数法求出的解析式，求出的长度表达式即为P点横坐标，代入解析式即可求出P点的纵坐标，从而得到P点坐标表达式；
（2）求出的长度表达式，根据三角形的面积公式求出的面积表达式，用的面积减去的面积的表达式即为四边形的面积表达式，再根据二次函数的最值求法解答；
（3）先假设以P、A、M为顶点的三角形与相似，再根据相似三角形的性质进行计算，若能求出x，则存在；否则不存在
【详解】（1）∵四边形是矩形，点A、B的坐标为、，
∴C的坐标为
设的解析式为
将点、代入得：
，
解得：
则的解析式为
∵
∴
则点P的坐标是
（2）∵，
∴，
∴
∴当时，y的最小值为
（3）存在，理由如下：
在中，
则，即
解得，且
若时，，即
解得
若时，，即
解得
综上所述，当秒或秒时以P 、A 、M 为顶点的三角形与相似
【点睛】本题考查了动点问题与相似三角形的性质，根据题意，逐步解答，充分利用前一问题的结论是解题的关键，同时要注意分类讨论
核心考点五 位似图形
例1 （2022·重庆·统考中考真题）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4B．6C．9D．16
【答案】B
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
例2 （2022·四川成都·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
例3 （2021·黑龙江绥化·统考中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．
（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
【答案】（1）见详解；（2）见详解； 弧长是
【分析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）
（2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转即可得旋转后的图形；OB旋转后扇形的半径为OB长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式,同时加上扇形两半径即可求出答案．
【详解】（1）位似图形如图所示
（2）作出旋转后图形，
，
周长是．
【点睛】题目主要考查位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用．
知识点、位似图形
【变式1】（2021·广东广州·广州大学附属中学校考一模）如图，缩小后变为，其中、的对应点分别为、，点、、、均在图中格点上，若线段上有一点，则点在上的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定好点、、、的坐标，再根据缩小后变为，即可得到规律是按照比例缩小，即可得出的坐标为．
【详解】解：由题意得点的坐标为，点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，
∵缩小后变为，其中、的对应点分别为、，
∴线段上有一点，则点在上的对应点的坐标为．
故选：C
【点睛】本题考查了位似图形的性质，根据已知对应点的坐标变化发现位似变换规律是解题关键．
【变式2】（2022·内蒙古包头·校考三模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点的坐标为( )
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】分点在y轴左侧与右侧两种情况，根据对应线段比等于相似比，求出与的长度即可
【详解】解：如图所示，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴ 当时；当时，，
∴，，
∴，，
∵与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，
∴ ，，
∴，，
当点在y轴右侧时，
，
∴点B的对应点的坐标为；
当点在y轴左侧时，
，
∴点B的对应点的坐标为；
综上，点B的对应点的坐标为或．
故选D．
【点睛】本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的定义是解题的关键，注意分情况讨论，避免漏解．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
【变式3】（2022·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画的位似图形，使与的相似比等于，则点的坐标为________．
【答案】或
【分析】利用对应点在的同侧和异侧，两种情况讨论，利用位似比求解即可．
【详解】解：∵与的相似比等于，
∴与的位似比等于，
即，
当在的同侧时，点的坐标为：；
当在的异侧时，点的坐标为：；
综上：点的坐标为：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查坐标系下的位似图形．熟练掌握位似图形的位似比等于相似比，是解题的关键．注意，分类讨论．
【变式4】（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点D在直线同侧和的周长之比为，点C的坐标为(-2，0)，若点A的坐标为(-4，3)，则点E的坐标为______．
【答案】
【分析】先利用位似的性质得到△ABC和△EDC的位似比为1：2，然后利用平移的方法把位似中心平移到原点解决问题．
【详解】解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，
而△ABC和△EDC的周长之比为1：2，
∴△ABC和△EDC的位似比为1：2，
把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为（-2，3），
点（-2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，-6），
把点（4，-6）向左平移2个单位得到（2，-6），
∴E点坐标为（2，-6）．
故填：．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．也考查了转化的思想．
【变式5】（2023·广东深圳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是．
(1)和的相似比是 ；
(2)请画出；
(3)边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ；
(4)的面积是 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)3
【分析】（1）直接利用点对应点坐标，即可得出相似比；
（2）利用相似比即可得出对应点位置，进而确定答案；
（3）直接利用位似图形的性质得出点坐标即可；
（4）利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：和的相似比是；
故答案为：；
（2）如图所示，即为所求；
（3）边上有一点，在边上与点对应点的坐标是；
故答案为：；
（4）的面积是：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
核心考点六 相似三角形的实际应用
例1 （2022·江苏盐城·统考中考真题）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（ ）
A．40米B．60米C．80米D．100米
【答案】C
【分析】参照题目中所给的“跳眼法”的方法估测出距离即可．
【详解】由“跳眼法”的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的10倍．
观察图形，横向距离大约是汽车长度的2倍，为8米，
所以汽车到观测点的距离约为80米，
故选C．
【点睛】本题主要考查了测量距离，正确理解“跳眼法”测物距是解答本题的关键．
例2 （2021·贵州毕节·统考中考真题）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为_______________m．
【答案】8.5
【分析】根据题意得，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解，根据题意得，
∴
∴
∴
故答案为：8.5
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出BE的长是解题关键．
例3 （2022·江苏连云港·统考中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，）
(1)求阿育王塔的高度；
(2)求小亮与阿育王塔之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．
（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）在中，∵，
∴．
∵，
∴．
在中，由，
得，
解得．
经检验是方程的解
答：阿育王塔的高度约为．
（2）由题意知，
∴，
即，
∴．
经检验是方程的解
答：小亮与阿育王塔之间的距离约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．
数学来源于生活，相似三角形之所以重要，不仅仅因为它是解决线段的数量关系、线段的长度、图形的面积等有关问题的重要工具；它还能解决我们生活中的实际问题。
类型一，测量不可以到达对岸的河的宽度。
类型二，测量底部不可以到达的物体的高度。
类型三，利用投影、平行线、标杆等构造相似形求解问题。
类型四，测量底部可以到达的物体的高度。
类型五：与三角形、四边形、圆、函数等综合考查；
对于相似形的应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，从实际问题中抽象出相似三角形，进而利用对应边成比例列方程解题。
【变式1】（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图，一棵大树的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为3米，则大树的高度为（ ）
A．米B．33米C．（）米D．（）米
【答案】D
【分析】延长交的延长线于点，过点作的延长线于点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，过点D作的延长线于点E．
∵，米，
∴（米），
∴米，
设米，米，
∵，，
∴∽，
∴＝，即＝…①，
∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得，
＝…②，
①②联立，解得．
答：大树的高度为（）米，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【变式2】（2023·广东深圳·校考一模）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：∵镜子垂直于地面，
∴入射角等于反射角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确找出两个相似三角形是解题关键．
【变式3】（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距5m、与旗杆相距20m，则旗杆的高度为_____m．
【答案】12.5####
【分析】根据题意，移动竹竿、旗杆、竹竿和影子经过旗杆和竹竿顶端的光线构成两个相似的直角三角形，根据相似三角形的判定与性质解答．
【详解】解：由图可知，
设旗杆的高为x米，
故答案为：12.5．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式4】（2022·贵州毕节·二模）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为_______m．
【答案】108
【分析】根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，证明，再借助相似三角形的性质计算PF的长，再由题意计算河宽即可．
【详解】解：根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，
由题意可知，两树之间的距离m，龙舟的长m，点P到南岸的距离m，
∵，
∴，
∴，即，
∴m，
∴m，
∵龙舟行驶在河的中心，
∴河宽为m．
故答案为：108．
【点睛】本题主要考查了利用相似三角形解决实际问题，解题关键是根据题意作出示意图，构建相似三角形．
【变式5】（2023·安徽宿州·统考一模）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
(2)估计路灯的高，并求影长的步数．
(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为______m．
【答案】(1)见解析
(2)路灯的高为9m，影长为步
(3)9
【分析】(1)根据中心投影的知识画出图即可．
(2)利用相似三角形的判定和性质计算即可．
(3)利用勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定和性质计算即可．
【详解】（1）路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
．
（2）∵，
∴，
∴，即，
解得．
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴路灯的高为，影长为步．
（3）如图，∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正切函数，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
【新题速递】
1．（2022秋·四川遂宁·九年级统考期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且间距相等，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点作直线的垂线，构造相似三角形，将转化为求出即可．
【详解】解：如图，过点作直线的垂线，交于点，于点，
，且间距相等，
，，相似比为，
，
，
．
故选：A
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形，以及平行线的性质、转化思想等知识点，转化思想的运用是解题关键．
2．（2023秋·海南海口·九年级校联考期末）如图，在中，延长到点，使，交于点，则和的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得到，由平行线分线段成比例定理得到，求得，通过，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：在中，
，
，
又，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点的坐标为，若点、、的坐标分别是、、．则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据A、C的坐标得到和的相似比为，则对应的坐标也是，据此求解即可．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∵，
∴和的相似比为，
∵，
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．．
4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②④C．③④D．①③④
【答案】B
【分析】根据菱形的性质，再结合全等三角形的判定与性质，对每个结论一一判断求解即可．
【详解】解：①∵四边形是菱形．
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴①符合题意；
②由①得，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴②符合题意；
③当点E，F分别是中点时，
由（1）知，为等边三角形，
∵点E，F分别是中点，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，即，
∴③不符合题意；
④过点F作交于P点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故本选项符合题意：
∴正确的结论是①②④．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，，，且，连接，将沿方向平移至，连接，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，在中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用相似三角形的性质可得对应角相等，对应边成比例，从而利用等式的性质可得，进而可证，然后利用相似三角形的性质可得对应角相等，对应边成比例，再利用平移的性质可得，，从而利用平行线的性质可得，最后证明，从而可得，进而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由平移得：
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在中，，边，上的中线，相交于点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，由题意可知为的中位线，即可得到，，，利用勾股定理可得，然后根据平行线分线段成比例定理可得，即可获得答案．
【详解】解：连接，如下图，
∵，分别为边，上的中线，，，
即点为的中点，
∴为的中位线，
∴，且，，
∵，
∴，
∵，
∴△DEF∽△CBF，
∴，即，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中线、中位线、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
7．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点吗，，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】首先利用根据正方形的性质与同角的余角相等证得：，则可证得②③正确，①错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得，则可证得④正确．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，故②正确；
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∴，故③正确；
设，则，
∴，，，
∴，
，
∴，
∴，故④正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．
8．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，在四边形中，，对角线平分，，为线段上一点，，连接并延长交于，连接．下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用等边三角形的判定得出，均为等边三角形，结合等边三角形的性质不难求得，则有，从而可求得，即可求得，则A正确；不难求得，则有，从而可判断B正确；只有当时，即，重合时，，，，此时，其它情况不成立，故C错误；首先证得，，，，从而得，故D正确．
【详解】解：∵，对角线平分，，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴均为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，故A正确；
，，
，
，
，故B正确；
，，，
只有当时，即，重合时，，，此时，其它情况不成立，故C错误；
，
，
，
，
，
，，
，故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，等边三角形的判定和性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角，边与边之间的关系．
9．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）若，则__________．
【答案】
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可；
【详解】解：由可设，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
10．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，矩形中，，，点E在边上，与相交于点F．若，则的长的________．
【答案】##
【分析】先由矩形的性质得到，利用勾股定理求出，再求出，证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明得到是解题的关键．
11．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，数学实践课上，老师布置任务如下：让小明站在B点处去观测外的位于D点处的一棵大树，所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（点B，P，D在同一条直线上）．已知小明眼睛距地面，大树高，当小明与平面镜相距______m时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端．
【答案】2
【分析】根据平面镜的反射原理：入射角等于入射角证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意，得，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
故小明与平面镜相距时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端．
故答案为：2．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，掌握平面镜得原理，会利用相似三角形的性质解决实际问题是解答的关键．
12．（2023·广东河源·校联考一模）如图，与都是等腰三角形，，点P为边上一点，且，与所夹锐角为，点E为上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长 _____．（用含β与m的式子表示）
【答案】
【分析】连接并延长，证明得出点D的运动轨迹，设点E与点P重合时，点D与点重合，确定出点D所经过的路径长为的长，过点作于点F，利用直角三角形的边角关系即可得出结论．
【详解】解：∵与都是等腰三角形，，
∴，
∴，
∴．
连接并延长，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D在射线上运动，当点E与点B重合时，点D与点C重合，
设点E与点P重合时，点D与点重合，
则点D所经过的路径长为．
过点作于点F，此时，，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴点D所经过的路径长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质得出点D的轨迹是解题的关键．
13．（2022秋·山西大同·九年级统考期末）如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E，，则的值为______．
【答案】##
【分析】由，可设，由勾股定理得到，由直角角三角形斜边上中线的性质得到，再证，则，求得，由余弦的定义即可得到答案．
【详解】解：，
∴设，
∴，
∵D是的中点，
∴，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数、直角三角形斜边上中线的性质，掌握相似三角形，三角函数，直角三角形中线的性质是解题的关键．
14．（2023秋·河南郑州·九年级校联考期末）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到，当时，的长为 _____．
【答案】1或4
【分析】分两种情况，一是点在的上方，延长交于点，由，得，由，，根据勾股定理求得，可证明，得，则，再证明，，所以；二是点在的下方，交于点，仍可求得，可证明，则，．
【详解】解：当点在的上方时，如图1，延长交于点，
，
，
，，是中点，
，，
由翻折得，，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点在的下方时，如图2，交于点，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为1或4，
故答案为：1或4．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在矩形中，于点E，点P是边上一点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用等角的余角相等，证明和，推出，得到，再通过，等量代换，即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用等角的余角相等证明角相等，是解题的关键．
16．（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．
(1)在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
(2)在（1）的条件下，若是边上任意一点，则变换后点P的对应点的坐标为 ．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）利用位似变换的性质分两种情形分别画出图形即可；
（2）根据位似图形的坐标特点写出点P的对应点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，或即为所求．
（2）解：若是边上任意一点，则变换后点P的对应点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查画位似图形、扇形面积，熟记扇形面积公式，注意画位似图形要全，解题关键是看清位似比．
17．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在中，D、E分别是上的点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据同角的补角相等证明，再由即可证明；
（2）先求出，再由相似三角形的性质得到，代值计算求出，则．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
18．（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以秒的速度沿方向移动，移动开始前点与点重合．已知正方形的边长为，，，设正方形移动的时间为秒，且．
(1)当______秒时，；
(2)若以、、为顶点的三角形同相似，求的值；
(3)过点作交于点，连接．
①若的面积为，的面积为，则的值会发生变化吗？请说明理由；
②当线段所在直线与正方形的对角线垂直时，求线段的长．
【答案】(1)
(2)或
(3)①不会，见解析，②
【分析】（1）根据，；根据三角形的面积为：，即可；
（2）根据题意得，，，分类讨论，和相似，即可；
（3）根据，得；根据相似三角形的判定，得，推出；再根据，，即可；根据线段所在直线与正方形的对角线垂直，得点在对角线所在的直线上，得是等腰直角三角形，根据，求出；再根据，即可得到的值．
【详解】（1）由题意得，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）由题意的，，，
∵，
∴当，
∴，
解得：；
当，
∴，
解得：，
经检验：经经验，和满足条件．
∴当或时，以、、为顶点的三角形同相似．
（3）①结论：的值不会发生变化，
理由如下：
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴的值不会发生变化．
如图：所示
∵线段所在直线与正方形的对角线垂直，
∴点在对角线所在的直线上，
∴点、、三点共线，
∴是等腰直角三角形，
∴，
化简得：，
解得，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，动点运动的轨迹，勾股定理的运用．
19．（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，是的直径，点是上的一动点（不写点，点重合），点是延长线上的一点，连接，，，且有，作的平分线交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)【问题探究】若，，则的值为________；
(3)【拓展延伸】若，，求的值．（用含和的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，证得，则可得出结论；
（2）过点作于点，在中，根据得到，进而得到，在中，根据得到，由等面积法可得：，
于是得到，根据平分，得到，进而得到，于是可得到答案；
（3）过点作于点，在中，根据得到，进而得到，在中，根据得到，由等面积法可得：，于是得到，根据平分，得到，进而得到，于是可得到答案；
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵是的直径，
∴，
即．
∵，
∴，
又∵，
∴，
,
,
，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴．
又∵为的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图2，过点作于点．
∵，，
在中，由可得：．
∴．
在中，由可得：．
在中，由等面积法可得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，过点作于点．
∵，，
在中，由可得：．
∴．
在中，由可得：．
在中，由等面积法可得：，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握相关定理与性质是解题的关键．
20．（2023·山东济南·统考模拟预测）（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．请判断与的数量关系：_________．
（2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请写出与的数量关系：________．
（3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．
①求的值；
②延长交于点，交于点．求的值．
【答案】（1）；（2）或；（3）①；②
【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，即可求证；
（2）根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即可求解；
（3）①根据，，可证，可得，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解；②由①得：，由此可证，得，在中，根据余弦的计算方法即可求解．
【详解】解：（1）∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴在，中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）结论：或，理由如下，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∵∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或；
（3）①∵，，
∴，
∴，即，
∴，
设，在中，，
同理，在中，设，则，
∴，，即，
∴，
∴；
②由①得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查等边三角形，等腰直角三角形，直角三角形，全等三角形，相似三角形的综合，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
核心考点
核心考点一 比例线段
核心考点二 相似三角形的判定
核心考点三 相似三角形的性质
核心考点四 相似三角形中的动点问题
核心考点五 位似图形
核心考点六 相似三角形的实际应用
新题速递
线段的比
两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．
成比例线段
四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段．
基本性质
合比的性质
等比性质
黄金分割
若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为．
定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
图形：
几何语言：
∵l1∥l2∥l3，
∴，，
推论
平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
图形：

几何语言：
∵DE∥BC，∴，
，
预备定理
平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定1
有两个角对应相等的两个三角形相似．
判定2
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
判定3
三边对应成比例的两个三角形相似
直角三角形
的特殊判定
若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
性质1
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
性质2
相似三角形的周长比等于相似比。
∽，则
由比例性质可得：
类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。
性质3
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
∽，则分别作出与的高和，则
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。
如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：
相似多边形面积的比等于相似比的平方。
性质4
相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。
定义
两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或在同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比．
画位似图形
的步骤
确定位似中心；
连结原图形中关键点与位似中心的线段（或延长线）；
按相似比进行取点；
（4）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形。