专题16 锐角三角函数及其应用（5大考点）-中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

这是一份专题16 锐角三角函数及其应用（5大考点）-中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用），文件包含专题16锐角三角函数及其应用5大考点解析版docx、专题16锐角三角函数及其应用5大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共103页， 欢迎下载使用。
第四部分 三角形
专题16 锐角三角函数及其应用（5大考点）
核心考点
核心考点一 特殊角的三角函数值及其计算
核心考点二 由三角函数值求锐角
核心考点三 锐角三角函数的增减性
核心考点四 解直角三角形及其应用
核心考点五 三角函数的综合
新题速递

核心考点一 特殊角的三角函数值及其运算

例1 （2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（   ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知条件求得,设，将都表示出含有的代数式，利用的函数值求得，继而求得的值
【详解】
设交于点,
由题意：
是等边三角形

四边形为正方形

∴∠CBF=90°-60°=30°，
DE⊥

又

设
则






解得：

故选A
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的锐角三角函数值，灵活运用锐角三角函数的定义及特殊三角函数值是解题的关键．
例2 ．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
【答案】
【分析】根据代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
例3 （2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：



小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】（1）④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1；28；（2），．
【分析】（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；
（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x2-2x-3=0得到x1=3，x2=-1，则利用分式有意义的条件把x=-1代入计算即可．
【详解】（1）其他错误，有：④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1，
正确的计算过程：
解：


=28；
（2）


=，
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式==．
【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．


知识点：特殊角的三角函数值
1. 图表记忆
三角函数

图形记忆
30°
45°
60°











1


2. 规律记忆
30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，；
30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。




【变式1】（2022·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AB＞BC，以点A为圆心、AB长为半径的弧BE与DC相交于点E，点E为DC的中点，则由BC、CE和弧BE围成的阴影部分图形的面积是（   ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质得出AB=CD=AE=4，∠ADC=90°，结合中点及特殊角的三角函数值与勾股定理得出∠DAE=30°，AD=，∠BAE=60°，结合图形得出，代入求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=AE=4，∠ADC=90°
∵E为CD中点，
∴CE=DE=2，
在Rt∆ADE中，
，
∴∠DAE=30°，AD=，
∴∠BAE=60°，



，
故选：A．
【点睛】题目主要考查矩形的性质，特殊角的三角形函数值，勾股定理，求不规则图形的面积等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式2】（2022·河南洛阳·统考二模）如图1，在中，，点D是边上的中点，点P从的顶点A出发，沿的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．线段的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则的面积为（    ）

A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】由函数图象可知AD=4，当DP⊥AB时，AP=,此时有DP长的最小值，由勾股定理可以求出DP的长度，进而结合∠B=60°求得BP，即可求出△ABD的面积，然后利用点D是边上的中点，得到．
【详解】解：过D作DP⊥AB于P

由函数图像可得，AD=4，当DP⊥AB时，AP=,此时有DP长的最小值，
∴
∵
∴
∴
∴
∵点D是边上的中点，
∴
故选：D
【点睛】本题考查了垂线段最短、勾股定理、特殊角度的三角函数值，解题的关键是通过函数图象得到当DP⊥AB时，AP=．
【变式3】（2020·四川自贡·校考一模）在中，若，，都是锐角，则是______三角形．
【答案】等边
【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断的形状．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．
【变式4】（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点B(，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E．将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C′．当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________．

【答案】
【分析】根据B点坐标可求出AB、OB，得到，所以，，再利用折叠与平行的性质，证明△OEC′是等边三角形，OE=CD=，然后可利用三角函数求出点C′的坐标．
【详解】∵点B坐标为(，2)，
∴AB=2，OA=，
∴
∴
∴，
∵C′是C关于DE的对称点
∴， EC=EC′
∵DE∥OB
∴=60°
∴∠OE C′=180°-2×60°=60°
∴△OE C′是等边三角形
∴OE= EC=EC′==
∴C′横坐标=，纵坐标=
∴C′坐标为
【点睛】本题考查了三角形，熟练运用特殊三角形的性质是解题的关键．
【变式5】．（2021·新疆乌鲁木齐·校考三模）计算：
【答案】6
【分析】利用有理数的乘方法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义化简计算即可．
【详解】解：原式=
=
=6
【点睛】本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，正确使用上述法则进行运算是解题的关键．

核心考点二 由三角函数值求锐角

例1 （2021·山东泰安·统考中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（   ）

A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．
【详解】解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．

【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键．
例2 ．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留）

【答案】
【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出，进而求出，再根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形，
，
以B为圆心，的长为半轻画弧，交于点E， ，
，
在中，，
，
，
，
S阴影 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．
例3 （2021·山东菏泽·统考中考真题）在矩形中，，点，分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处．

（1）如图1，当与线段交于点时，求证：；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，交于点，求证：点在线段的垂直平分线上；
（3）当时，在点由点移动到中点的过程中，计算出点运动的路线长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）分别根据平行线的性质及折叠的性质即可证得∠DEF＝∠EFB，∠DEF＝∠HEF，由此等量代换可得∠HEF＝∠EFB，进而可得PE＝PF；
（2）连接PM，ME，MF，先证RtPHM≌RtPBM（HL），可得∠EPM＝∠FPM，再证EPM≌FPM（SAS），由此即可得证；
（3）连接AC，交EF于点O，连接OG，先证明EAO≌FCO（AAS），由此可得OC＝AC＝5，进而根据折叠可得OG＝OC＝5，由此得到点G的运动轨迹为圆弧，再分别找到点G的起始点和终点便能求得答案．
【详解】（1）证明：∵在矩形ABCD中，
∴ADBC，AB＝CD；
∴∠DEF＝∠EFB，
∵折叠，
∴∠DEF＝∠HEF，
∴∠HEF＝∠EFB，
∴PE＝PF；
（2）证明：连接PM，ME，MF，


∵在矩形ABCD中，
∴AD＝BC，∠D＝∠ABC＝∠PBA＝90°，
又∵AE＝CF，
∴AD－AE＝BC－CF，
即：DE＝BF，
∵折叠，
∴DE＝HE，∠D＝∠EHM＝∠PHM＝90°，
∴BF＝HE，∠PBA＝∠PHM＝90°，
又∵由（1）得：PE＝PF，
∴PE－HE＝PF－BF，
即：PH＝PB，
在RtPHM与RtPBM中，
，
∴RtPHM≌RtPBM（HL），
∴∠EPM＝∠FPM，
在EPM与FPM中，
，
∴EPM≌FPM（SAS），
∴ME＝MF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）解：如图，连接AC，交EF于点O，连接OG，

∵AB＝CD＝5，，
∴BC＝，
∴在RtABC中，AC＝＝，
∵ADBC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在EAO与FCO中，
，
∴EAO≌FCO（AAS），
∴OA＝OC＝AC＝5，
又∵折叠，
∴OG＝OC＝5，
当点E与点A重合时，如图所示，此时点F，点G均与点C重合，

当点E与AD的中点重合时，如图所示，此时点G与点B重合，

∵O为定点，OG＝5为定值，
∴点G的运动路线为以点O为圆心，5为半径的圆弧，且圆心角为∠BOC，
在RtABC中，tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∵OA＝OB＝OC＝OG，
∴点A、B、C、G在以点O为圆心，5为半径的圆上，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∴的长为＝，
∴点运动的路线长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定及性质、圆的相关概念及性质，弧长公式的应用，第（3）问能够发现OG＝5是解决本题的关键．


【变式1】（2022·山东滨州·统考一模）如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，sinD=,则BC的长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设BC与OA交于E点，根据点A是劣弧的中点，得到=，继而得到∠COA=∠AOB，根据，得出锐角∠D=30°，再同一段弧其所对圆心角是其所对应圆周角的两倍，得到∠COA=2∠D，∠COA=60°=∠AOB，再得到∠OCB=∠OBC=30°，因为∠OEC=180°-∠OCB-∠COA=90°，可知△OEC是直角三角形，利用特殊角即可求出CE，再同理求出BE，即可求出BC．
【详解】设BC与OA交于E点，

∵点A是劣弧的中点，
∴=，
∴圆心角∠COA=∠AOB，
∵，
∴锐角∠D=30°，
∵同一段弧其所对圆心角是其所对应圆周角的两倍，即∠COA=2∠D，
∴∠COA=60°=∠AOB，
又∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠OEC=180°-∠OCB-∠COA=90°，即△OEC是直角三角形，
∵OC=6，∠OCB=∠OBC=30°，
∴CE=OC=，
同理可求出BE=，
∴BC=CE+EB=，
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、圆心角与圆周角的关系、解直角三角形等知识．依据得到∠D=30°再得到∠COA=2∠D，∠COA=60°=∠AOB是解答本题的关键．
【变式2】（2022·山东·统考二模）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设BP与CC1相交于Q，则∠BQC=90°，

∴当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，
延长CB到E，使BE=BC，连接EC，
∵C、C1关于PB对称，
∴∠EC1C=∠BQC=90°，
∴点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，
当点P与点A重合时，点C1与点E重合，
当点P与点D重合时，点C1与点F重合，

此时，，
∴∠PBC=30°，
∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=，BQ=，
∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，，
线段扫过的区域的面积是．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．
【变式3】（2021·贵州遵义·统考一模）在综合实践课上，某学习小组要测量塔的高度，在测量过程中，结合图形进行了操作（如图所示）．在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走80m到达D点，测出塔顶的仰角为45°，那么塔AB的高为____________m（计算结果精确到0.1m，参考数据：，）．

【答案】109.2
【分析】在Rt△ABD中，，在Rt△ABC中，，再根据CD=BC-BD=80即可求解．
【详解】根据题意可知AB⊥BC，
∴在Rt△ABD中，，
在Rt△ABC中，，
∵∠ADB=45°，∠ACB=30°，
∴，，
∵CD=80，
∴CD=BC-BD=，
∴（m），
故塔高109.2米，
故答案为：109.2．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解仰角的含义并熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
【变式4】．（2022·吉林长春·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，连结，过点作轴于点，，，把绕点逆时针旋转后，得到，则点的坐标为______．

【答案】
【分析】根据勾股定理可得OA，根据特殊三角比求出∠AOB=60°，可知△ABO绕点O逆时针旋转后OA的对应边OA1位于x轴上，继而可得答案．
【详解】解：∵轴于点，，，
∴，
∴，
∴把绕点逆时针旋转后，得到如下图，

∵，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：（-2，0）
【点睛】本题主要考查旋转变换下坐标与图形的变化，解直角三角形得出OA的长是解题的根本，根据△ABO绕点O逆时针旋转120°后OA的对应边OA1位于x轴上是解题的关键．
【变式5】（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛千米的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．

(1)渔船航行多远距离小岛最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．（结果精确到1千米，参考数据）
【答案】(1)；
(2)从处沿南偏东出发，最短行程．

【分析】（1）过点作的垂线交于点，则为所求，根据已知条件得到即可解答；
（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到，从而求出的长度，再求出的度数，即可得到的度数．
【详解】（1）解：过点作的垂线交于点，
∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，
由题意可知：，，
∴，
∴渔船航行时，距离小岛最近．

（2）解：在中，，
，，
，
∵，，
，
．
答：从处沿南偏东出发，最短行程．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．


核心考点三 锐角三角函数的增减性

例1 （2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据杠杆原理及的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，
又∵动力臂，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
例2 （2022·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，在矩形ABCD 中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为__________．

【答案】4
【分析】设，则，根据，，根据正弦的增减性可得，当最大值，取得最大值，进而即可求解．
【详解】设，则，
则
过点，则
，当点与点重合时，取得最大值，此时最大，则最大，即取得最大值，
此时，

的最大值为
故答案为：4
【点睛】本题考查了矩形的性质，正弦的增减性，掌握三角函数的关系，矩形的性质是解题的关键．
例3 （2021·浙江宁波·统考一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离．

（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高；
（2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？
【答案】（1）2米；（2）符合
【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可；
（2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可．
【详解】解：（1），
，
答：滑梯高为2米；
（2）∵AC=2m,BC=4m，
∴，
∵正切值随着角的增大函数值增大，
，
这架滑梯的倾斜角符合安全要求．
【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键．

1. 三角函数值的变化规律
①当角度A在0°—90°间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
②当角度A在0°—90°间变化时，余弦值和余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。




【变式1】（2020·甘肃张掖·统考模拟预测）若，则下列说法不正确的是（   ）
A．随的增大而增大 B．cos随的减小而减小 C．tan随的增大而增大 D．0