河南省新乡市红旗区第十中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

新乡十中2022—2023学年下学期八年级数学期中试卷

亲爱的同学们，打开试卷的同时，这份试卷将开始记录你的自信、沉着、智慧和收获，再次见证你的勤奋努力！请认真审题，看清要求，仔细答题，相信你能行！

一．选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算错误的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（    ）

A. 1，2，3 B. 32，42，52 C. 1，， D. ，，

4. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（    ）

A OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO

C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD

5. 如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（   ）

A.  B.

C.  D.

6. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（    ）

A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 如果两个角直角，那么它们相等

C. 若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等 D. 全等三角形的对应角相等

7. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（    ）.

A.  B.  C.  D.

8. 如图，数轴上点A所表示的实数是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 顺次连接矩形各边中点，所得的四边形一定是（    ）

A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形

10. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二．填空题（每小题3分，共15分）

11. 要使式子有意义，则a的取值范围为_____________________．

12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C坐标是，则顶点B的坐标是_______．

13. 如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为_______．

14. 已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝______．

15. 如图，在矩形中，，，M是边上的中点，N是边上的一动点，连接、将沿折叠，点B的对应点为点E，连接，当为直角三角形时，的长为_______．

三．解答题（共75分）

16. 化简与求值：

（1）；

（2）．

17. 如图，在四边形中，，

（1）求的度数；

（2）求四边形的面积．

18 如图，已知边长为的正方形和．

（1）以为一个内角作菱形，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）这样画图得到菱形的依据是　     　．

（3）设正方形的面积为，菱形的面积为，求的值．

19. 如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．

20. 先化简，再求值：，其中，如图是小亮和小芳的解答过程．

（1）　     　的解法是错误的；

（2）先化简，再求值：，其中

21. 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
 

22. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接、．

（1）求证：；

（2）当，且D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由

23. 在数学的学习中，有很多典型的基本图形．

（1）如图①，中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．试说明　     　；

（2）如图②，中，，，点、、在同一条直线上，，，．则菱形面积；

（3）如图③，分别以的直角边、向外作正方形和正方形，连接，是的高，延长交于点，若，，直接写出AI的长度．

新乡十中2022—2023学年下学期八年级数学期中试卷

亲爱的同学们，打开试卷的同时，这份试卷将开始记录你的自信、沉着、智慧和收获，再次见证你的勤奋努力！请认真审题，看清要求，仔细答题，相信你能行！

一．选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答．

【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意；

B、，不是最简二次根式，故不符合题意；

C、，不是最简二次根式，故不符合题意；

D、，是最简二次根式，故符合题意，

故选：D．

【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．

2. 下列运算错误的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．

【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，所以A选项的计算错误；

B、，所以B选项的计算正确；

C、，所以C选项的计算正确；

D、，所以D选项的计算正确．

故选：A．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握法则是解题的关键

3. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（    ）

A. 1，2，3 B. 32，42，52 C. 1，， D. ，，

【答案】C

【解析】

【分析】勾股定理的逆定理：若三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，根据勾股定理的逆定理逐一分析各选项可得答案．

【详解】解：由 故不符合题意；

由 故不符合题意；

由 故符合题意；

由 故不符合题意；

故选：

【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形解题的关键．

4. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（    ）

A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO

C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD

【答案】B

【解析】

5. 如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．

【详解】解：连接AC，

由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，

∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，

故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．

6. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（    ）

A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 如果两个角是直角，那么它们相等

C. 若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等 D. 全等三角形的对应角相等

【答案】A

【解析】

【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．

【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，逆命题是真命题；

B、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，逆命题是假命题；

C、若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等的逆命题是如果两个数的绝对值相等，那么它们相等，逆命题是假命题；

D、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题是假命题；

故选：A．

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．

7. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】连接，根据勾股定理逆定理可得是以、为腰的等腰直角三角形，据此可得答案．

【详解】解：如图，连，

则，，

，

即，

为等腰直角三角形，，

．

故选：B．

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质．

8. 如图，数轴上点A所表示的实数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先勾股定理可得：正方形的对角线为：，从而可得A表示的数．

【详解】解：由勾股定理可得：正方形的对角线为：，

∴A点表示的数为：；

故选C．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，实数与数轴，熟练的确定数轴上表示的数是解本题的关键．

9. 顺次连接矩形各边中点，所得的四边形一定是（    ）

A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形

【答案】B

【解析】

【分析】题中给出的条件是中点，所以利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．

【详解】解：连接AC、BD，

在△ABD中，

∵AH=HD，AE=EB，

∴EH=BD，

同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，

又∵在矩形ABCD中，AC=BD，

∴EH=HG=GF=FE，

∴四边形EFGH为菱形．

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质和菱形的判定方法，解题的关键是掌握菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形称为菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

10. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（　　）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝BD，AO＝CO，AB∥CD

∵BD＝2AD

∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点

∴BE⊥AC，

∴①正确

∵E、F、分别是OC、OD中点

∴EF∥DC，CD＝2EF

∵G是AB中点，BE⊥AC

∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB

∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB

∴四边形BGFE是平行四边形，

∴②④正确，

∵四边形BGFE是平行四边形，

∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE

∴△BGE≌△FEG（SSS）

∴③正确

故选D．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．

二．填空题（每小题3分，共15分）

11. 要使式子有意义，则a的取值范围为_____________________．

【答案】a≥－2且a≠0

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得关于a的不等式组，解不等式组即得答案.

【详解】根据题意得：，解得：a≥－2且a≠0.

故答案为a≥－2且a≠0.

【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，属于基础题型，掌握基本知识是解题的关键.

12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C坐标是，则顶点B的坐标是_______．

【答案】

【解析】

【分析】延长交y轴于H，根据菱形的性质得到B的纵坐标和C的纵坐标相同，都是8，由勾股定理求出菱形的边长，即可得到B的横坐标，即可得到答案．

【详解】解：延长交y轴于H，

∵菱形，

∴轴，

∴，，

即：B的纵坐标是8，

在中，由勾股定理得：，

即：，

∴，

即B的横坐标是16，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识点，解此题的关键是，求出菱形的边长．

13. 如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．

【详解】解：如图，，，

∴的面积，

由勾股定理得，

则，

解得，

故答案为：

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．

14. 已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝______．

【答案】

【解析】

【分析】根据直角三角形斜边上的中线即可求得，根据三角形中位线的性质即可求得的长．

【详解】解：，点D是AC的中点，

∵点D、E分别是AC、BC的中点，

∴

故答案为：

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．

15. 如图，在矩形中，，，M是边上的中点，N是边上的一动点，连接、将沿折叠，点B的对应点为点E，连接，当为直角三角形时，的长为_______．

【答案】7或

【解析】

【分析】根据直角的不同可分两种情况讨论：①当时，则，根据折叠的性质和矩形的性质可推出，以此得到，即可求解；②当时，可得M，E，C三点共线，设，则，根据勾股定理可得，则，再根据勾股定理，列出方程，求解即可．

【详解】解：①如图，当时，

∴，

根据折叠的性质可知，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

②如图，当时，

根据折叠的性质可知，，，，

∴M，E，C三点共线，

设，则，

在中，

，

∴，

在中，

由勾股定理得，

即，

解得：，

∴，

∴；

综上，的长为7或．

故答案为：7或．

【点睛】本题主要考查翻折变换、勾股定理、矩形的性质，解题关键是根据题意对不同的直角进行分情况讨论，再分别利用勾股定理和翻折的性质解答．

三．解答题（共75分）

16. 化简与求值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先计算零次幂，二次根式的乘法，除法运算，再合并即可；

（2）先计算二次根式的乘法运算，化简二次根式，再合并即可．

【小问1详解】

解：

；

【小问2详解】

．

【点睛】本题考查的是零次幂的含义，二次根式的乘法与除法运算，二次根式的加减运算，熟记运算法则是解本题的关键．

17. 如图，在四边形中，，

（1）求的度数；

（2）求四边形的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接，得到是等边三角形，求出，利用勾股定理逆定理得到，即可得到的度数；

（2）根据四边形的面积计算即可．

【小问1详解】

解：连接，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

则

∴，

∴，

∴；

【小问2详解】

四边形的面积

．

【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，求四边形的面积，正确掌握等边三角形的判定定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．

18. 如图，已知边长为的正方形和．

（1）以为一个内角作菱形，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）这样画图得到菱形的依据是　     　．

（3）设正方形的面积为，菱形的面积为，求的值．

【答案】（1）见解析    （2）四条边都相等的四边形是菱形   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形画出图形即可．

（2）根据菱形的判定——四边相等的四边形是菱形．

（3）分别求出正方形，菱形的面积即可解决问题．

【小问1详解】

如图，菱形即为所求．

【小问2详解】

依据是：四条边都相等的四边形是菱形．

【小问3详解】

如上图，过点作于．

，

正方形的面积，

在中，

，，

，

，

菱形的面积，

．

【点睛】本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

19. 如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．

【答案】

【解析】

【分析】设秋千的绳索长为，则，，利用勾股定理得，再解方程即可得出答案．

【详解】解：设秋千的绳索长为，则，

，

在中，

，即，

解得，

答：绳索的长度是．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

20. 先化简，再求值：，其中，如图是小亮和小芳的解答过程．

（1）　     　的解法是错误的；

（2）先化简，再求值：，其中

【答案】（1）小亮    （2）化简结果：，代数式的值为：2029

【解析】

【分析】（1）根据，从而可判断小亮的运算错误；

（2）先化简可得结果为，再结合a的值化简绝对值，再代入计算，从而可得答案．

【小问1详解】

解：小亮的解法错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：．

【小问2详解】

∵，∴，

∴原式＝．

【点睛】本题考查的是二次根式的化简，求解代数式的值，掌握是解本题的关键．

21. 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
 

【答案】8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．

【解析】

【详解】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，

根据题意可得：

AP=tcm，PD=（24-t）cm，CQ=2tcm，BQ=（30-2t）cm，

①若四边形ABQP是平行四边形， 则AP=BQ，

∴t=30-2t， 解得：t=10，

∴10s后四边形ABQP是平行四边形；

②若四边形PQCD是平行四边形， 则PD=CQ，

∴24-t=2t， 解得：t=8，

∴8s后四边形PQCD平行四边形；

综上：当P，Q两点同时出发，8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．

22. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接、．

（1）求证：；

（2）当，且D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由

【答案】（1）见解析    （2）菱形，见解析

【解析】

【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

（2）求出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可．

【小问1详解】

证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，即，

∴四边形是平行四边形，

∴；

小问2详解】

四边形是菱形，

理由是：∵D为中点，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，D为中点，

∴，

∴四边形是菱形；

【点睛】本题主要考查平行四边形及菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形及菱形的性质与判定是解题的关键．

23. 在数学的学习中，有很多典型的基本图形．

（1）如图①，中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．试说明　     　；

（2）如图②，中，，，点、、在同一条直线上，，，．则菱形面积；

（3）如图③，分别以的直角边、向外作正方形和正方形，连接，是的高，延长交于点，若，，直接写出AI的长度．

【答案】（1）   

（2）24    （3）5

【解析】

【分析】（1）证，，由证明即可；

（2）连接，交于，由菱形的性质得，同（1）得，得，，由三角形面积公式求出，即可得出答案；

（3）过作的延长线于，过点作于，同（1）得，，得，证，得，证，由勾股定理求出，再由直角三角形的性质即可得出答案．

【小问1详解】

证明：直线，直线，

，

，

，

在和中，，

；

【小问2详解】

连接，交于，如图②所示：

四边形是菱形，

，

，

同（1）得：，

，，

，

；

【小问3详解】

过作的延长线于，过点作于，如图③所示：

，

四边形和四边形都是正方形，

，，，

同（1）得：，，

，

在和中，，

，

，

是的中点，

，

，

在中，由勾股定理得：，

是的中点，

．

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．