2023年江苏省常州市中考数学二模试题

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2023年江苏省常州市中考数学二模试题（解答卷）
一、 选择题（每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．下列四个数中，的倒数是（    ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴的倒数是，
故选：．
2．我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，
地球最近时候的距离约55000000km．将数字55000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．5.5×106 D．55×106
解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．
故选：B．
3.如果反比例函数的图象经过（﹣1，﹣2），则m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
解：由题意得m=﹣1×（﹣2）=2．故选D．
4.对于有序数对（a，b）定义如下的运算”⊗”：
（a，b）⊗（c，d）＝（ac+bd，ad﹣bc），那么（a，b）⊗（0，1）等于（　　）
A．（b，a） B．（﹣b，﹣a） C．（a，﹣b） D．（﹣a，b）
解：（a，b）⊗（0，1）=（a•0+b•1，a•1-b•0）=（b，a）．
故选A．
5.如图，在中，弦，相交于点，若，，则的度数是（    ）

A．25° B．30° C．35° D．40°
解：，
，
，，
.
故答案选：B .
6． 将一副三角尺如图放置，∠ACB=∠CBD=90°，∠A=30°，∠D=45°，边AB、CD交于O，
若OB=1，则OA的长度是（　　）

A． B．2 C．1 D．
解：设
在中，

在中，

又



，即
解得
故选：A
7．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
m
3
…
以下结论正确的是（     ）
A．抛物线的开口向下
B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2
D．当时，x的取值范围是
解：将代入抛物线的解析式得；
，
解得：，
所以抛物线的解析式为：，
A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；
C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意；
D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
8.如图，等腰中，，点是边的中点，点，分别在上运动，
且，连接，在此运动变化过程中，下列结论：
①图形全等的三角形只有两对；
②的面积是四边形面积的2倍；
③是等腰直角三角形．其中错误的个数是（   ）

A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵等腰中，，点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
同理可证，故①错误；
∴，，
∴是等腰直角三角形，
，
故②③正确；
∴错误的只有1个，
故选B．
二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，
其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为_______
解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，
10.如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．

解：该正九边形内角和，
则每个内角的度数．
故答案为140°．
11．分解因式：3x2y﹣3y＝_______．
解：3x2y﹣3y
＝3y（x2﹣1）
＝3y（x+1）（x﹣1）．
故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．
12．化简＋的结果是_______

解：＋＝＋＝＝＝．

13.解组 解集是____________
解: 由①，得x≤3．
由②，得x≥－2．
∴解不等式组的解集为：－2≤x≤3．

14.关于x的方程3x﹣2m＝1的解为正数，则m的取值范围是_______
解：解方程3x﹣2m＝1得：x＝，
∵关于x的方程3x﹣2m＝1的解为正数，
∴＞0，
解得：m＞﹣，
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．
若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为_________

解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC＝•BC•AD＝10，
∴AD＝＝5，
∴BM+MD长度的最小值为5．

16.如图，把三角板中角的顶点A放在半径为3的⊙O上移动，
三角板的长直角边和斜边与⊙O始终相交，且交点分别为P，Q，则长为________．

解：如图，连结OP、OQ，则∠POQ＝2∠A＝60°．
∵⊙O的半径为3，

∴长为＝．
故答案为．
17．如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，
再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，
则山高CD=____（结果用根号表示）．

解：过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，如图：

∵在山顶C处测得景点B的俯角为45°，
∴∠BCE=45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∵BC=200m，
∴CE=BC=100m；
∵∠A=30°，AB=600m，
∴BF=AB=300m，
∴CD=CE+ED=CE+BF=（300+100）m．
故答案为：（300+100）m．
18.如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF＝3，
则tan∠B'AC′＝　 　．

解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝．

故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）计算：
（1）．
解：

．
（2）解方程组
解：
将第一个方程和第二个方程相加，得，
．
把代入第二个方程，得．
原方程组的解是
故答案为：
20．（6分）解不等式组
解：解不等式，得．
解不等式，得．
原不等式组的解集是．
故答案为：．
21（8分）为庆祝中国共青团成立周年，某校团委开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每位学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图：

(1)本次调查的样本容量是_____，项活动所在扇形的圆心角的大小是_____；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校有名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
解：（1）条形图中“项”有人，扇形统计图中“项”的百分比是，
∴样本容量为，
∴“项”的百分比为，
∴“项”的圆心角为，
故答案为：．
（2）解：样本容量是，
∴项的人数为（人），补全条形统计图，如图所示，

（3）解：参加“参观学习”的人数是人，占样本的百分比为，
∴该校有名学生，参加“参观学习”活动的人数估计为（人）．
22．（8分）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，
它沿着点的南偏东的方向航行．

（1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？
（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，
渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，
最短航程是多少(结果保留根号)？
解：（1）过点作的垂线交于点，

∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，
由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，
∴，
∴渔船航行时，距离小岛最近．
（2） 在中，，
∠DBC=60°，

∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，
∴，
.
答：从处沿南偏东出发，最短行程.
23． （8分）如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点B是弧的中点，
在线段的延长线上取一点E，使.

(1)求证：为的切线；
(2)若，，求线段的长．
解：（1）∵为的直径，
∴，
∴，即，
∵点B是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴为的切线；
（2）∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，有，
又在中，有，
∴，即．
24． （8分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．
已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，
购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，
依题意得：﹣＝50，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
则2x＝8，
依题意得：8m+4（200﹣m）≤1150，
答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元．
（2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，
解得：m≤87.5，
答：最多购进87个甲种粽子．

25．(10分）一直线上有A、B、C不同三地，甲、乙两人分别从A、B两地同时同向出发前往距离B地150米的C地，甲、乙两人距离B地的距离y（米）与行走试卷x（分）之间的关系图象如图所示，若甲的速度一直保持不变，乙出发2分钟后加速行走，且乙在加速后的速度是甲速度的4倍.
（1）乙加速之后的速度为 米/分；
（2）求当乙追上甲时两人与B地的距离；
（3）当甲出发多少分钟时，两人相距10米？

解：（1）如图，

由题意甲的速度为（150-50）÷10=10米/分，
∴乙加速后的速度为40米/分，
故答案为40
(2) 由题意A（2，30），
乙从A到B的时间
∴B（5，150），
∴直线AB的解析式为y=40x-50，
∵C（0，50），D（10，150），
∴直线CD的解析式为y=10x+50，
由解得
∴那么他们出发分钟时，乙追上了甲．此时两人与B地的距离为米．
（3）设当甲出发t分钟时，两人相距10米,
①若乙在甲的后面，列方程得：
15×2+40（t-2）-10t=50-10
解得：t=3
②若乙在甲的前面，列方程得：
15×2+40（t-2）-10t=50+10
解得：t=
综上，当甲出发3分钟或分钟时，两人相距10米．
26. （10分）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，
反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三角形，求所有满足条件的m的值．

解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，
∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，
∴a＝4，∴B（2，4），
将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；
（2） ①由（1）知，B（2，4），k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝，
当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D（2+3，4），即D（5，4），
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，
∴E（5，）；
②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，

∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A（0，8），B（2，4），
∴C（m，8），D（m+2，4），
当BC＝CD时，BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
当BC＝BD时，B（2，4），C（m，8），
∴BC＝，∴＝m，
∴m＝5，
当BD＝AB＝CD时，m＝AB＝＝2，
综上所述，△BCD是等腰三角形，满足条件的m的值为 4 或 5 或 2．
27． （10分）如图，二次函数的图像经过点，
与x轴负半轴交于点，与y轴交于点，连接，

(1)填空：______；
(2)点是直线下方抛物线上一个动点，过点作轴，垂足为，交于点，
线段的最大值；
(3)点是y轴正半轴上一点，若，求点的坐标．
解：（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）令，
解方程，得，，
∴．
设直线的函数表达式是，
直线交y轴于点．
∵，
∴把，和，
代入，
得，解得，
∴直线的函数表达式是．
设点，
则．
∴．
当时，的最大值是4．
（3）过点作，垂足为．

∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴D．
28． （10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D在斜边BC上，且满足BD＝BC，
将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接CE，BE，
以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，连接AF．
（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段AF的数量关系 　BE＝2AF　；
（2）当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②当B，E，F三点共线时，如图3，连接AE，若AE＝3，请直接写出cos∠EFA的值及线段BC的值．

解：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝BC，
∵BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，
∴BD＝DE＝BC，BE＝CB，
∴CE＝CB，
∵∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝CB，
∴AF＝AC﹣CF＝CB，
∴BE＝2AF；
故答案为：BE＝2AF；
（2）①结论仍然成立，理由如下：
∵∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
又∵，
∴△CBE∽△CAF，
∴，
∴BE＝2AF；
②∵B，E，F三点共线，
∴∠CEB+∠CEF＝180°，
∴∠CEB＝150°，
∵△CBE∽△CAF，
∴∠CEB＝∠AFC＝150°，
∴∠EFA＝150°﹣90°＝60°，
∴cos∠EFA＝cos60°＝；
如图3，过点D作DH⊥BE于H，

∵BD＝DE，DH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BE＝2AF，
∴BH＝HE＝AF，
∵DH⊥BE，CF⊥BE，
∴DH∥CF，
∴，
∴HF＝2BH，
∴EF＝HE＝BH，
∴EF＝AF，
∴△EFA是等边三角形，
∴EF＝AE＝AF＝3，
∴BE＝6，CF＝，
∴BC＝＝2．