高中物理新教材同步选修第一册课件+讲义 第2章 2.3　简谐运动的回复力和能量

高中物理新教材特点分析及教学策略

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3　简谐运动的回复力和能量

[学习目标]　1.理解回复力的概念，知道回复力在机械振动中的特征.2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律.3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律．

一、简谐运动的回复力

1．回复力

(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力．

(2)方向：总是指向平衡位置．

(3)表达式：F＝－kx.“－”号表示F与x方向相反．

2．简谐运动

如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．

二、简谐运动的能量

1．能量转化

弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程．

(1)在最大位移处，势能最大，动能为零．

(2)在平衡位置处，动能最大，势能为零．

2．能量特点

在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．

3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大．

1．判断下列说法的正误．

(1)简谐运动的回复力F＝－kx公式中的k为弹簧的劲度系数，是由弹簧的性质决定的．(　×　)

(2)小球做简谐运动，它的位移方向和加速度的方向相反．(　√　)

(3)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小．(　×　)

(4)振幅越大的弹簧振子，系统机械能也一定越大．(　×　)

2.如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐______．(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)

答案　正　减小　负　减小　负　增大　增大　减小

一、简谐运动的回复力

导学探究

如图所示为水平方向的弹簧振子模型．

(1)当小球离开O点后，是什么力使其回到平衡位置的？

(2)使小球回到平衡位置的力与小球离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？

答案　(1)弹簧的弹力使小球回到平衡位置．

(2)弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反．

知识深化

1．简谐运动的回复力

(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．

(2)回复力的性质

回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供．

2．简谐运动的回复力公式：F＝－kx.

(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关．

(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．

3．简谐运动的加速度

由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．

4．物体做简谐运动的判断方法

(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；

(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线．

例1　(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　)

A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用

B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用

C．小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大

D．小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置

答案　AD

解析　弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．

例2　(多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是(　　)

A．m做简谐运动，OC＝OB

B．m做简谐运动，OC≠OB

C．回复力F＝－kx

D．回复力F＝－3kx

答案　AD

解析　以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力：F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB，故A、D正确．

二、简谐运动的能量

导学探究

如图所示为水平弹簧振子，小球在A、B之间往复运动．

(1)从A到B的运动过程中，小球的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？

(2)如果使小球振动的振幅增大，小球回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？

(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？

答案　(1)小球的动能先增大后减小　弹簧的弹性势能先减小后增大　总机械能保持不变

(2)小球回到平衡位置的动能增大　振动系统的机械能增大　振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关

(3)实际的振动系统，能量逐渐减小　理想化的弹簧振动系统，能量不变

知识深化

简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和．在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒．

1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大．

2．在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有机械能损耗，它将永不停息地振动下去．

3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能．

例3　如图所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知物体的质量为M.

(1)同一振动系统简谐运动的能量取决于________，物体振动时动能和________相互转化，总机械能________．

(2)物体在振动过程中，下列说法中正确的是________．

A．物体在平衡位置，动能最大，弹性势能最小

B．物体在最大位移处，弹性势能最大，动能最小

C．物体在向平衡位置运动时，由于物体振幅减小，故总机械能减小

D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变

(3)若物体运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是________．

A．振幅不变   B．振幅减小

C．最大动能不变   D．最大动能减小

答案　(1)振幅　弹性势能　守恒　(2)ABD　(3)AC

解析　(1)简谐运动的能量取决于振幅，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．

(2)物体在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A正确；在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，所以B正确；振幅的大小与物体的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，故机械能守恒，所以C错误，D正确．

(3)物体运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不变，选项C正确，D错误．

三、简谐运动中各物理量的变化

1.如图所示为水平的弹簧振子示意图．

(1)当小球远离平衡位置过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；当小球靠近平衡位置过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．

(2)当小球位于A′到O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右；当小球位于O到A点之间时位移方向向右，回复力和加速度方向均向左；A′→O→A过程中，速度方向向右，A→O→A′过程中，速度方向向左．

2．说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同．位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同，关键看各矢量的方向性．

(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大．

例4　(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，(t2－t1)<，如图所示，则(　　)

A．t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反

B．在t1～t2时间内，小球的加速度先减小后增大

C．在t1～t2时间内，小球的动能先增大后减小

D．在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大

答案　ABC

解析　由题图可知t1、t2时刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正确；在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速度先减小后增大，B正确；在t1～t2时间内，小球的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确；简谐运动的机械能守恒，D错误．

分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧

1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化．另外，各矢量均在其值为零时改变方向．

2．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性．位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定．

考点一　简谐运动的回复力

1．下列关于简谐运动回复力的说法正确的是(　　)

A．回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供

B．回复力可以是物体所受到的某一个力的分力

C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同

D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反

答案　B

解析　回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，D错误．

2．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是(　　)

答案　C

解析　由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，C正确．

考点二　简谐运动的能量

3.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示．下列结论正确的是(　　)

A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小

B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大

C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功

D．小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量

答案　A

解析　小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，A正确；小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大，B错误；小球靠近平衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置时，回复力做负功，C错误；在小球振动过程中系统的总能量不变，D错误．

4.如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知(　　)

A．在0.1 s时，由于位移为零，所以弹簧振子的能量为零

B．在0.2 s时，弹簧振子具有最大势能

C．在0.35 s时，弹簧振子的能量尚未达到最大值

D．在0.4 s时，振子的动能最大

答案　B

解析　弹簧振子做简谐运动，弹簧振子的能量不变，不为零，选项A错；在0.2 s时位移最大，弹簧振子具有最大势能，选项B对；弹簧振子的能量不变，在0.35 s时弹簧振子的能量与其他时刻相同，选项C错；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，选项D错．

5.(多选)在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示．现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是(　　)

A．OB越长，系统的机械能越大

B．在运动过程中，物块A的机械能守恒

C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小

D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小

答案　AC

解析　做简谐运动的物体的机械能跟振幅有关，对确定的振动系统，振幅越大，系统的机械能越大，A正确；在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，物块A的机械能不守恒，B错误；在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处动能最大，势能最小，C正确，D错误．

考点三　简谐运动中各物理量的变化

6.一质点做简谐运动，其振动图像如图所示，在t1和t2时刻的位移为x1＝x2＝7 cm，在t3时刻的振动位移为x3＝－5 cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分别表示t1、t2、t3时刻质点振动速度大小和加速度大小，则以下关系正确的是(　　)

A．v1＝v2＞v3　a1＝a2＞a3

B．v1＝v2＜v3　a1＝a2＜a3

C．v1＝v2＞v3　a1＝a2＜a3

D．v1＝v2＜v3　a1＝a2＞a3

答案　D

解析　由题图可知，t1和t2时刻的位移大小相等且大于t3时刻的位移的大小，所以t1、t2、t3时刻的势能关系为Ep1＝Ep2＞Ep3，根据机械能守恒定律，相应三个时刻的动能关系为：Ek1＝Ek2＜Ek3，则v1＝v2＜v3；加速度大小与振子的位移大小成正相关，由a＝可知，a1＝a2＞a3，故选D.

7．物体做简谐运动的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．当物体的位移减小时，其速度和加速度的方向一定相同

B．当物体的速度变化最快时，其动能最大

C．当物体的加速度与速度反向时，其回复力正在减小

D．在物体的动能相等的两个时刻，其加速度相同

答案　A

解析　当物体的位移减小时，物体向平衡位置运动，速度的方向指向平衡位置，加速度的方向始终指向平衡位置，所以其速度和加速度的方向一定相同，故A正确；当物体的速度变化最快时，其加速度最大，物体处于最大位移处，速度为零，所以其动能也为零，故B错误；加速度方向始终指向平衡位置，当加速度与速度反向时，速度的方向指向最大位移处，位移增大，回复力增大，故C错误；动能相等的两个时刻，速度大小相等，位移不一定相同，其加速度也不一定相同，故D错误．

8.(2022·石家庄市辛集中学月考)如图所示是弹簧振子在0～0.4 s时间内做简谐运动的图像，由图像可知(　　)

A．在0.25～0.3 s时间内，回复力越来越小

B．t＝0.7 s时刻，振子的速度最大

C．弹簧振子的动能和势能相互转化的周期为0.4 s

D．弹簧振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s

答案　D

解析　在0.25～0.3 s时间内，振子的位移增大，回复力越来越大，故A错误；由题图可知，该振子的周期为0.4 s，则振子在t＝0.7 s时的情形与t＝0.3 s时相同，且t＝0.3 s时，振子位移最大，可知在t＝0.7 s时刻振子的位移最大，速度为零，故B错误；弹簧振子动能与势能相互转化的周期等于简谐运动周期的一半，即0.2 s，故C错误，D正确．

9．一弹簧振子振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置，若振子从平衡位置处经过时间时的加速度大小和动能分别为a1和E1，而振子位移为时的加速度大小和动能分别为a2和E2，则a1、a2和E1、E2的大小关系为(　　)

A．a1>a2，E1<E2   B．a1>a2，E1>E2

C．a1<a2，E1<E2   D．a1<a2，E1>E2

答案　A

解析　振子从平衡位置向最大位移处运动时，振子做减速运动，并且加速度增大，所以经过时间通过的位移大于，所以a1>a2，E1<E2，A正确．

10.(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)

A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的

B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的

C．物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k

D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为

答案　ACD

解析　物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有：kA＝(M＋m)a，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得：μmg＝ma，联立解得A＝，故D正确．

11.如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端悬挂一物块，取物块静止时所处位置为坐标原点O，向下为正方向，建立Ox坐标轴．现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放，不计空气阻力．已知物块的质量为m，弹簧的劲度系数为k，A位置的坐标为x1，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)

A．该简谐振动的振幅为2x1

B．在任意周期内物块通过的路程一定等于x1

C．物块在A位置时的回复力大小为kx1

D．物块在A位置的回复力大小为kx1－mg

答案　C

解析　该简谐振动的振幅为x1，A错误；物块运动过程中，其快慢是不同的，靠近平衡位置运动比较快，远离平衡位置运动比较慢，所以在不包含平衡位置的周期内物块通过的路程小于x1，B错误；物块在O位置时受力平衡，有kx0＝mg，x0为弹簧伸长量，在A位置时的回复力大小为F＝k(x0＋x1)－mg＝kx1，C正确，D错误．

12.如图所示，轻弹簧的下端系着A、B两球，mA＝100 g，mB＝500 g，系统静止时弹簧伸长x＝15 cm，未超出弹性限度．若剪断A、B间细绳，则A在竖直方向做简谐运动．问：

(1)A球的振幅为多大？

(2)A球的最大加速度为多大？(g取10 m/s2)

答案　(1)12.5 cm　(2)50 m/s2

解析　(1)假设只挂A，静止时弹簧伸长量

x1＝，

由(mA＋mB)g＝kx，

得k＝，

即x1＝x＝2.5 cm.

则A球的振幅A＝x－x1＝12.5 cm.

(2)剪断细绳瞬间，A受弹力最大，合力最大，加速度最大．

F＝(mA＋mB)g－mAg＝mBg＝mAam，

则am＝＝50 m/s2.