2023年河南省南阳市邓州市中考一模数学试题

这是一份2023年河南省南阳市邓州市中考一模数学试题，共35页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

邓州市2022~2023学年中招第一次模拟考试
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．
1. 的绝对值是（　　）
A. B. C. D. 2
2. 国务院总理李克强在2023年3月5日政府工作报告中指出：我国国内生产总值增加到121万亿元，数据“121万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
3. 下列是初中化学实验室常用四种仪器的主视图，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，与平行．

A. 54 B. 64 C. 74 D. 114
6. 已知关于的方程，要使方程有两个不相等的实数根，则可以取的数是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，矩形对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长度为（ ）

A. 1.5 B. 3 C. 2 D. 5
8. 将分别标有“最”、“美”、“新”、“疆”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不向外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上汉字可以组成“新疆”的概率是（ ）
A B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线l2：交于点A（，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）

A. B. C. D.
10. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为（时），记忆留存率记为，则根据实验数据可绘制出曲线（如图①所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．下列说法正确的是（ ）

A. 是关于的反比例函数
B. 点的实际意义是复习后小时，记忆留存率为
C. 根据图象，在“、、、”四段中，段遗忘的速度最快
D. 若不复习，一天后记忆留存率会比按艾宾浩斯记忆规律复习的少
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 _____
12. 一个不等式组的解集如图所示，该不等式组的整数解的个数为_________个．

13. 将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标为_________．
14. 如图，在扇形中，，，半径平分，点为半径中点，点为半径上一动点，当取得最小值时，由，，围成的阴影部分的面积为_________．

15. 如图中，，，，点，分别是，的中点，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，，当，，三点共线时，的长为_________．

三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16. 计算或化简：
（1）计算：；
（2）化简：．
17. “坐位体前屈”是我市中招体育考试加试项目，某校为了解九年级男生“坐位体前屈”训练状况，随机抽取了名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下：
．成绩频数分布表
成绩（）





频数





．成绩在这组的数据是（单位：）

根据以上信息，回答下列问题：
（1） _________，这次测试成绩的中位数是_________．
（2）小明的测试成绩为．小强评价说：小明的成绩低于平均数，所以在抽取的名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高，你认同小强的说法吗？请说明理由．
（3）已知九年级男生“坐位体前屈”成绩达到为满分，请你为该校提出一条训练建议．
18. 如图，等边三角形的顶点A在反比例函数的图像上，顶点在轴上，且的面积为．

（1）_________．
（2）①请用无刻度直尺和圆规作第一象限的夹角平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
②将①中的角平分线反向延长得直线，设直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，求点，的坐标．
（3）直接写出不等式的解集．
19. 邓州彩虹大桥（如图①）横跨湍河两岸，是我市标志性建筑之一，晚上灯火璀璨，形如彩虹，给我市增添了一道亮丽的风景．周末，小亮在爸爸的帮助下，测量彩虹大桥弓顶距水面的高度（如图②），先在水岸处测得弓顶的仰角为，然后沿方向后退米至处后（米），又走上观光台的点处，米，且；接着在点处测得弓顶的仰角为，根据以上小亮的测量数据，请你帮助他算出彩虹大桥弓顶距水面的高度．（结果精确到米，参考数据：，，）

20. “双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共套进行销售，它们的进价和售价如下表：

进价
售价
乒乓球拍（元／套）


羽毛球拍（元／套）


已知购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元．
（1）求出，的值；
（2）该体育用品商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的，若这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
21. 某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面．

（1） 建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式，并通过计算判断此球能否准确投中；
（2） （2）此时，若对方队员乙跳起拦截，手与地面距离为，恰好拦住此球．求乙与甲的水平距离．
22. 将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由它抽象出的几何图形，，点B在半圆O的直径的延长线上滑动，边始终与半圆相切，设切点为点F，且．

（1）求证：；
（2）当时，若以O、B、F为顶点的三角形与相似，求的长．
23. 综合与实践
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题探究活动，如图1．已知矩形纸片，其中，．

（1）操作判断
将矩形纸片按图1折叠，使点落在边上的点处，可得到一个的角，请你写出一个的角．
（2）探究发现
将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点，将沿折叠得到，延长交于点，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）拓展应用
改变图2中点的位置，令点为射线上一动点，按照（2）中方式将沿折叠得到，所在直线交于点，若点为的三分点，请直接写出此时的长．
邓州市2022~2023学年中招第一次模拟考试
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．
1. 的绝对值是（　　）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数进行求解即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
2. 国务院总理李克强在2023年3月5日政府工作报告中指出：我国国内生产总值增加到121万亿元，数据“121万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：121万亿元元，
用科学记数法表示为元．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
3. 下列是初中化学实验室常用四种仪器的主视图，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，逐项分析计算即可求解．
详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，与平行．

A. 54 B. 64 C. 74 D. 114
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
6. 已知关于的方程，要使方程有两个不相等的实数根，则可以取的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得且，
解得：且，
即的取值范围是且，
∴可以取数是．
故选：B．
【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．也考查了一元二次方程的定义．
7. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长度为（ ）

A. 1.5 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可得到．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点P、Q是，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．
【点睛】主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
8. 将分别标有“最”、“美”、“新”、“疆”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不向外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上汉字可以组成“新疆”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“新疆”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“新疆”的结果有2种，
两次摸出的球上的汉字可以组成“新疆”的概率为，
故选：A．

【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线l2：交于点A（，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把点A代入直线求出b，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；
【详解】∵直线l1：与直线l2：交于点A（，b），
∴，
∴，
∴，
∴关于x，y的方程组的解为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．
10. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为（时），记忆留存率记为，则根据实验数据可绘制出曲线（如图①所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．下列说法正确的是（ ）

A. 是关于的反比例函数
B. 点的实际意义是复习后小时，记忆留存率为
C. 根据图象，在“、、、”四段中，段遗忘的速度最快
D. 若不复习，一天后记忆留存率会比按艾宾浩斯记忆规律复习的少
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的概念，点的坐标的意义，函数的图象及题意所提供的信息进行分析即可．
【详解】解：A．如图，当时，，
∴，
∴不是关于的反比例函数，
故此选项不符合题意；
B．点的实际意义是学习第小时，记忆留存率为，故此选项不符合题意；
C．根据图象，在“、、、”四段中，段遗忘的速度最快，故此选项不符合题意；
D．若不复习，一天后记忆留存率为，而按艾宾浩斯记忆规律复习，一天后记忆留存率为，
∵，
∴若不复习，一天后记忆留存率会比按艾宾浩斯记忆规律复习的少，
故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 _____
【答案】x≥1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x-1≥0，即可求得．
【详解】解：∵代数式有意义
∴x-1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12. 一个不等式组的解集如图所示，该不等式组的整数解的个数为_________个．

【答案】4
【解析】
【分析】根据不等式组的解集在数轴上的表示得出解集，再判断整式个数即可．
【详解】解：观察图象可知，不等式组的解集为，
∴该不等式组的整数解有共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了不等式组的解集在数轴上的表示，熟练掌握不等式组的解集在数轴上的表示是解题的关键．
13. 将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图像的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标是，则其向左平移个单位，再向上平移个单位后的顶点坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．掌握抛物线的平移及解析式的变化规律是解题的关键．
14. 如图，在扇形中，，，半径平分，点为半径中点，点为半径上一动点，当取得最小值时，由，，围成的阴影部分的面积为_________．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，交于点，连接，，可得当，重合时，取得最小值，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，连接，，

∵半径平分，
∴关于对称，
∴，
∵，
∴当，重合时，取得最小值，
记当取得最小值时，由，，围成的阴影部分的面积为，
则，
∵，，半径平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
15. 如图中，，，，点，分别是，的中点，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，，当，，三点共线时，的长为_________．

【答案】或
【解析】
【分析】先根据直角三角形的性质及中点的定义说明为等边三角形，可得，，然后再分：①当点在，之间，②当点不在，之间（设为）两种情况利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵中，，，，
∴，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴为等边三角形，
∵将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，
∴，
当，，三点共线时，有以下两种情况：
①当点在，之间，
∴，
∴，
在中，；
②当点不在，之间（设为），
∴，
∴，
由①可得：
在中，；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．

【点睛】本题考查直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质及勾股定理的灵活运用是解题的关键．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16. 计算或化简：
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根，负整数幂，立方根和零指数幂进行计算即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：原式

；
【小问2详解】
解：原式

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算和分式的化简，熟练掌握算术平方根、负整数幂、立方根、零指数幂的运算法则和平方差公式是解题的关键．
17. “坐位体前屈”是我市中招体育考试加试项目，某校为了解九年级男生“坐位体前屈”训练状况，随机抽取了名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下：
．成绩频数分布表
成绩（）





频数





．成绩在这组的数据是（单位：）

根据以上信息，回答下列问题：
（1） _________，这次测试成绩的中位数是_________．
（2）小明的测试成绩为．小强评价说：小明的成绩低于平均数，所以在抽取的名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高，你认同小强的说法吗？请说明理由．
（3）已知九年级男生“坐位体前屈”成绩达到为满分，请你为该校提出一条训练建议．
【答案】（1）；
（2）不认同，理由：小明的测试成绩高于中位数，说明他比一半九年级所测男生成绩好．
（3）在保证训练时间的条件下进行科学训练，从而逐渐提高“坐位体前屈”的成绩．（答案不唯一．合理即可）
【解析】
【分析】（1）根据所有的频数之和等于数据总数即可求出，根据频数分布表和的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、，继而依据中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
【小问1详解】
解：，
∵成绩在内的频数为，成绩在内的频数为，且，
而在的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、，
∴这次测试成绩的中位数是：，
故答案为：；．
【小问2详解】
不认同．
理由：∵，
∴小明的测试成绩高于中位数，说明他比一半九年级所测男生成绩好．
【小问3详解】
在保证训练时间条件下进行科学训练，从而逐渐提高“坐位体前屈”的成绩，第一步超过中位数，然后再向满分冲刺．（答案不唯一．合理即可）
【点睛】本题考查频数分布表、中位数，解题的关键是根据表格得出解题所需数据，掌握中位数的定义和意义．
18. 如图，等边三角形的顶点A在反比例函数的图像上，顶点在轴上，且的面积为．

（1）_________．
（2）①请用无刻度的直尺和圆规作第一象限的夹角平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
②将①中的角平分线反向延长得直线，设直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，求点，的坐标．
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）①作图见解析；②，
（3）或
【解析】
【分析】（1）如图，过点作轴于点，由等边三角形的性质可得的面积，再利用反比例函数值的几何意义即可得出结论；
（2）①如图，以点为圆心，作弧交轴、轴于点、，分别以点、为圆心大于为半径作弧，交于点，则射线为第一象限的夹角平分线；
②解由直线和双曲线的两个解析式所构成的方程组，所得的解即为所求的交点坐标；
（3）观察图像即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图，过点作轴于点，
∵等边三角形的顶点A在反比例函数的图像上，顶点在轴上，且的面积为，
∴是等边三角形的边上的中线，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
①如上图所示，第一象限的夹角平分线射线即为所作；
②∵直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为；
【小问3详解】
∵直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，
∴即的解集为：或．
【点睛】本题考查尺规作图，反比例函数的比例系数的几何意义，直线与反比例 函数的交点坐标，利用图像解不等式．掌握反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键．
19. 邓州彩虹大桥（如图①）横跨湍河两岸，是我市标志性建筑之一，晚上灯火璀璨，形如彩虹，给我市增添了一道亮丽的风景．周末，小亮在爸爸的帮助下，测量彩虹大桥弓顶距水面的高度（如图②），先在水岸处测得弓顶的仰角为，然后沿方向后退米至处后（米），又走上观光台的点处，米，且；接着在点处测得弓顶的仰角为，根据以上小亮的测量数据，请你帮助他算出彩虹大桥弓顶距水面的高度．（结果精确到米，参考数据：，，）

【答案】米
【解析】
【分析】设，过点作于点，易证四边形为矩形，可得，，在中，，可得，
在中，可得，再根据，可得，求出即可得出答案．
【详解】解：设，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即（米），
∴彩虹大桥弓顶距水面的高度约为米．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，锐角三角函数．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20. “双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共套进行销售，它们的进价和售价如下表：

进价
售价
乒乓球拍（元／套）


羽毛球拍（元／套）


已知购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元．
（1）求出，的值；
（2）该体育用品商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的，若这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）、的值分别是元、元
（2）购进乒乓球拍套，羽毛球拍套，获利最大，最大利润为元
【解析】
【分析】（1）根据购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据总利润＝乒乓球拍的利润＋羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
解得：，
答：、值分别是元、元．
【小问2详解】
设购进乒乓球拍套，羽毛球拍套．总利润为元，
由题意得：，
解得：，
∵
，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最大，且最大值为：（元），
此时，
答：购进乒乓球拍套，羽毛球拍套，获利最大，最大利润为元．
【点睛】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组．
21. 某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时，到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面．

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式，并通过计算判断此球能否准确投中；
（2）此时，若对方队员乙跳起拦截，手与地面距离为，恰好拦住此球．求乙与甲的水平距离．
【答案】（1），能
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，由待定系数法可确定抛物线的解析式，令，求出y的值，与比较即可作出判断；
（2）将代入，进而得出答案．
【小问1详解】
由题意得，抛物线顶点为且过，
设抛物线为，
把代入，得，
∴，
当时，，
∴此球能准确命中；
【小问2详解】
把代入，
得，
解得，，
∴乙与甲的水平距离为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数实际应用，根据题意求得函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由它抽象出的几何图形，，点B在半圆O的直径的延长线上滑动，边始终与半圆相切，设切点为点F，且．

（1）求证：；
（2）当时，若以O、B、F为顶点的三角形与相似，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）或2
【解析】
【分析】（1）根据切线性质得出，推出，，得出平行四边形，根据平行四边形性质推出即可．
（2）分为两种情况，根据相似三角形的性质求出即可．
【小问1详解】
证明：连结，如图所示：

∵切半圆于点F
∴
∵
∴
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
【小问2详解】
解：在中，
∵，，
∴
由（1）得：．
①当时，，
在中，，
∴，
∴．
②当时，，
在中，，
∴．
故：当或2时，以O、B、F为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，切线的性质，平行四边形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
23. 综合与实践
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1．已知矩形纸片，其中，．

（1）操作判断
将矩形纸片按图1折叠，使点落在边上的点处，可得到一个的角，请你写出一个的角．
（2）探究发现
将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点，将沿折叠得到，延长交于点，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）拓展应用
改变图2中点的位置，令点为射线上一动点，按照（2）中方式将沿折叠得到，所在直线交于点，若点为的三分点，请直接写出此时的长．
【答案】（1）（或，，）
（2）是定值，
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用矩形的性质和折叠的性质证明四边形是正方形，然后利用正方形的性质即可得出结论；
（2）周长为定值．连结，先证明四边形是矩形，可得，，由折叠性质并结合为的中点可得到，，，然后证明可得到，最后计算可知是一常数，结论得证；
（3）分两种情况计算：①当点为的三分点且靠近点时，②当点为的三分点且靠近点时，利用勾股定理和折叠的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片按图1折叠，使点落在边上的点处，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴的角有（或，，）．
【小问2详解】
周长为定值．
解：连结，
∵四边形是矩形，，，
，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
由折叠性质得：，，，
∵为的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴的周长为：





，
即：的周长为定值．
【小问3详解】
①如图，当点为的三分点且靠近点时，连接，
∴，
∴，
在中，，
∴；

②如图，当点为的三分点且靠近点时，连接，
∴，
在中，，
∴；
综上所述，的长为或．

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键