2023年江苏省常州市第二十四中学中考一模数学试题

这是一份2023年江苏省常州市第二十四中学中考一模数学试题，共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级教学情况调研测试
数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 计算的结果是（ ）
A B. C. D. 5
2. 下列计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列几何体的左视图和俯视图相同的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 在中，，，，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与相似，且相似比为，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，，，则∠BDC的度数是（ ）

A. 16° B. 20° C. 24° D. 32°
7. 小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是（ ）

A. B. C. 4 D.
8. 已知抛物线（c为常数）经过点、、，当时，m的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9. 当x__________时，分式无意义．
10. 分解因式：______．
11. 年3月日，我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的“华龙一号”示范工程全面建成投运，每年减少二氧化碳排放约万吨，用科学记数法表示万是______．
12. 若关于x的方程3x2－2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为___．
13. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是____．

14. 如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，DEBC，△ADE与△ABC的周长比为2：5，则AD：DB＝_____．

15. 如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为______．

16. 已知线段AB，按照如下方法画图：①经过点B作BD⊥AB，使；②连接AD，在DA上截取DE＝DB，点E在AD上；③在AB上截取AC＝AE，点C在AB上．根据上述作图，如果AB＝2，那么AC的长等于______．

17. 如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上且，，将△AOB沿AB翻折得ADB，反比例函数的图像恰好经过D点，则k的值是_____．

18. 如图，已知正方形中，，点E为边上一动点（不与点B、C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，设与相交于点G，连接、，当最小时，四边形的面积是__________．

三、解答题（本大题共10小题，第19题6分，第20-25题每题8分，第26-28题每题10分，共84分）
19. 解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的整数解
20. （1）计算：；
（2）解方程：．
21. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
22. 只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17.
（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ；
（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率.
23. 如图，在中，，点分别在边上，且，.

（1）求证：等腰三角形；
（2）当时，求的度数；
24. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，

（1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）．
（2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
25. 已知是直线l和双曲线的交点．
（1）求m的值．
（2）若直线l分别和x轴、y轴交于E、F两点，且点A是外心，试确定直线l的解析式．
（3）在双曲线上另取一点B，过B作轴于K，试问：在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

26. 在平面直角坐标系中，的半径为1，A为任意一点，B为上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与的“关联距离”，记作．
（1）如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数．

①___；
②若点M在线段上，求的取值范围．
（2）若点N在直线上，求的取值范围．
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值．

27. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点G．

（1）求线段长．
（2）判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由．
（3）如图，M、N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设．是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

28. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第一象限的抛物线上一点，
①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；
②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．



九年级教学情况调研测试
数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用有理数的减法法则转化为加法，再计算即可．
【详解】解：
故选D．
【点睛】本题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．
2. 下列计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】，故选项A不合题意；
，故选项B不合题意；
，故选项C不合题意；
，正确，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
3. 下列几何体的左视图和俯视图相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过观察各几何体得到左视图与俯视图，进而进行判断即可得解．
【详解】A.该几何体左视图是：

俯视图是：

故A选项错误；
B.该几何体左视图是：

俯视图是：

故B选项错误；
C.该几何体左视图是：

俯视图是：

故C选项错误；
D.该几何体左视图是：

俯视图是：

故D选项正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，建立相关的空间思维是解决本题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【详解】∵x2＋2＞0，
∴点P（x2＋2，−3）所在的象限是第四象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
5. 在中，，，，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与相似，且相似比为，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．
【详解】解：A．∵，，
∴，
∴，
∴相似比为，故不合题意．
B．，，
，且，故不合题意；
C．，，
，且相似比为，故不合题意；
D．无法证明和相似，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
6. 如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，，，则∠BDC的度数是（ ）

A. 16° B. 20° C. 24° D. 32°
【答案】C
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得到的大小，在根据邻补角互补可得到的大小，最后根据三角形的内角和即可推出∠BDC的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查同弧所对的圆周角是圆心角的一半、邻补角互补和三角形内角和，熟练掌握这些知识点是解决本题的关键．
7. 小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是（ ）

A. B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，过点作于点，由七巧板的特点可得，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为1，由，得出，由平行线分线段成比例定理的推论求出的长度，进而即可得出答案．
【详解】解：如图2，过点作于点，过点作于点，

由题意得，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为1，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
与之间的距离，
故选：D．
【点睛】本题考查了七巧板，正方形的性质，掌握七巧板的特点，正方形的性质，平行线分线段成比例定理的推论是解决问题的关键．
8. 已知抛物线（c为常数）经过点、、，当时，m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求得抛物线的对称轴为直线，进而得到抛物线为，根据抛物线的对称性得出，即可得到，代入得到，根据图象上点的坐标特征即可求得．
【详解】解：抛物线为常数）经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线为，
抛物线为常数）经过点，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9. 当x__________时，分式无意义．
【答案】

【解析】
【分析】根据分式无意义的条件进行计算即可．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分式中的分母为0时，分式无意义是解题的关键．
10. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：


故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
11. 年3月日，我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的“华龙一号”示范工程全面建成投运，每年减少二氧化碳排放约万吨，用科学记数法表示万是______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，先确定的值，再找出的值，就可求解．
【详解】万
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12. 若关于x的方程3x2－2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得，即可列出关于m的不等式求解．
【详解】解：由题意得，
解得．
故答案为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
13. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是____．

【答案】25°##25度
【解析】
【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，
，
三角形是等腰直角三角形，
，
故答案是：25°．

【点睛】本题考查了平行线性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
14. 如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，DEBC，△ADE与△ABC的周长比为2：5，则AD：DB＝_____．

【答案】##
【解析】
【分析】根据已知可知字模型相似三角形，然后利用相似三角形的性质进行计算计算即可解答．
【详解】解：，
，，
，
与的周长比为，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握字模型相似三角形．
15. 如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接OC，根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，再根据AAS证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质得到OD=OE，从而得到矩形CDOE是正方形，求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接OC，

∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，
∴四边形CDOE是矩形，
∵点C是的中点，
∴∠AOC=∠BOC，
在△COD与△COE中，
，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC=OA=，
∴，
得出OE=1，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
16. 已知线段AB，按照如下方法画图：①经过点B作BD⊥AB，使；②连接AD，在DA上截取DE＝DB，点E在AD上；③在AB上截取AC＝AE，点C在AB上．根据上述作图，如果AB＝2，那么AC的长等于______．

【答案】##
【解析】
【分析】由勾股定理得AD=，则AC=AE=-1．
【详解】解：∵AB=2，BD=AB，
∴BD=1，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∴AD=，
∵DE=DB=1，
∴AC=AE=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了勾股定理以及作图等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17. 如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上且，，将△AOB沿AB翻折得ADB，反比例函数的图像恰好经过D点，则k的值是_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到AO＝ABcos30°＝＝6，根据折叠的性质得到∠DAB＝∠OAB＝30°，AD＝AO＝6，求得∠DAO＝60°，过D作DC⊥OA于C，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，AB＝，
∴AO＝ABcos30°＝＝6，
∵将△AOB沿AB翻折得△ADB，
∴∠DAB＝∠OAB＝30°，AD＝AO＝6，
∴∠DAO＝60°，
过D作DC⊥OA于C，

∴∠ACD＝90°，
∴AC＝AD＝3，CD＝AD＝，
∴D（3，），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过D点，
∴k＝3×＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数点的坐标特征，翻折变换（折叠问题），直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
18. 如图，已知正方形中，，点E为边上一动点（不与点B、C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，设与相交于点G，连接、，当最小时，四边形的面积是__________．

【答案】##
【解析】
【分析】通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，可求的度数，由相似三角形的性质和全等三角形的性质可求，，的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：如图，连接，

四边形是正方形，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
当时，有最小值，
过点作，交的延长线于，的延长线于，

，，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，第19题6分，第20-25题每题8分，第26-28题每题10分，共84分）
19. 解不等式组：在数轴上表示出它解集，并求出它的整数解
【答案】，数轴见解析，整数解为，0，1，2
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，最后求出该不等式组的非负整数解即可．
【详解】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
所以，原不等式组的解集是，
在数轴上表示为：

故不等式组的整数解为，0，1，2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
20. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）1；（2）无解
【解析】
【分析】（1）分别根据零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简计算即可；
（2）方程的两边同时乘，把分式方程化为整式方程，再解方程，最后验根即可．
【详解】解：（1）


；
（2），
方程的两边同时乘，得，
解这个方程，得，
当时，，
是原方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题考查了实数的运算以及解分式方程，掌握相关定义以及解分式方程的基本步骤是解答本题的关键．
21. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【答案】（1）100，图形见解析
（2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【解析】
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【小问1详解】
这次调查的样本容量是：25÷25%=100，
D组的人数为：100-10-20-25-5=40，
补全的条形统计图如图所示：

故答案为：100；
【小问2详解】
在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
【小问3详解】
1800×=1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22. 只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17.
（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ；
（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率.
【答案】（1）；（2）抽到两个素数之和等于30的概率是
【解析】
【分析】(1)四个数中，抽到7只有一种可能，根据概率公式直接计算即可得；
(2)画树状图得到所有等可能的情况，然后再从中找出符合条件的结果数，利用概率公式进行计算即可.
【详解】(1)总共有四个数，7是其中的一个数，
所以从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，抽到的数是7的概率是1÷4=，
故答案为；
(2)画树状图如图所示：

共有12各等可能的结果，其中抽到两个数的和为30的有4种可能，
∴抽到两个素数之和等于30的概率是4÷12=.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，在中，，点分别在边上，且，.

（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数；
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明，然后根据全等三角形对应边相等可得，最后根据等腰三角形的定义即可证明结论；
（2）根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据等腰三角形的性质求得，最后再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴是等腰三角形．
【小问2详解】
（2）∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴；
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质并证明出全等三角形是解题的关键．
24. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，

（1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）．
（2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
【答案】（1）106cm；（2）能碰到，见解析
【解析】
【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；
（2）求出端点D能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．
【详解】解：（1）过点C作于点P，
过点B作于点Q，如图1，
，
，
在中，， ．
，
．
∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm．


（2）能．
理由：当点B，C，D共线时，如图2，
，，
在中，，
．
手臂端点D能碰到点M．

【点睛】本题考查了直角三角形的应用，涉及到了解直角三角形等知识，解决本题的关键是能读懂题意，并通过作辅助线构造直角三角形，能正确利用三角函数值解直角三角形等，考查了学生的综合分析与知识应用的能力．
25. 已知是直线l和双曲线的交点．
（1）求m的值．
（2）若直线l分别和x轴、y轴交于E、F两点，且点A是的外心，试确定直线l的解析式．
（3）在双曲线上另取一点B，过B作轴于K，试问：在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）直接把点坐标代入可计算出；
（2）由于为直角三角形，点是的外心，根据直角三角形外心为斜边的中点得到点，为的中点，再根据线段中点的坐标公式得到点坐标为，点坐标为，然后利用待定系数法确定的解析式；
（3）根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，设，利用三角形面积公式得到，然后求出即可得到点坐标．
【小问1详解】
解：把代入得，
解得；
【小问2详解】
为直角三角形，点是的外心，
点，为的中点，
点坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为；
小问3详解】
存在．理由如下：
连接，设，

，
，
，
或
满足条件的点坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数的比例系数的几何意义．
26. 在平面直角坐标系中，的半径为1，A为任意一点，B为上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与的“关联距离”，记作．
（1）如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数．

①___；
②若点M在线段上，求的取值范围．
（2）若点N在直线上，求的取值范围．
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值．

【答案】（1）①2；②
（2）
（3）最小值为，最大值为
【解析】
分析】（1）①运用新定义“关联距离”，即可求得答案；②根据新定义“关联距离”，分别求出，，即可得出答案；
（2）设，可得，，运用新定义“关联距离”，可得，再利用，即可求得答案；
（3）如图2，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案．
【小问1详解】
解：①到的距离的最小值，最大值，
，
故答案为：2；
②当在点处，，
当在点处，，
；
【小问2详解】
设，
，，
，
点在直线上，
设直线交轴于点，交轴于点，如图1，

则时，，时，，
，，，
，，
，
当时，最小，
，即，
，
无最大值，
；
【小问3详解】
如图2，的最小值为1，最大值为，
两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为，
，
的最小值是，
在中，，，，
，
解得：（舍去）或；

的最小值为，最大值为．
【点睛】此题考查考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
27. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点G．

（1）求线段的长．
（2）判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由．
（3）如图，M、N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设．是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）3 （2）菱形，理由见解析
（3）或2
【解析】
【分析】（1）由翻折可知：．，设，则．在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再根据邻边相等推出四边形是菱形．
（3）是直角三角形，，只有或．分两种情形画出图形分别求解即可．
【小问1详解】
解：如图1中，

四边形是矩形，
，，
，
由翻折可知：．，设，则．
在中，，
，
在中，则有：，
，
．
【小问2详解】
菱形，理由是：
证明：如图2中，

四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【小问3详解】
是直角三角形，，
只有或．
如图中，当时，

，
∴，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
如图中，当时，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或2．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
28. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第一象限的抛物线上一点，
①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；
②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．
【答案】（1）；
（2）①0＜DE≤；②
【解析】
【分析】（1）直接用待定系数法将A、B、C三点的坐标代入即可；
（2）①作直线LM∥AB，与抛物线相切于D，交y轴于M，此时D到AB的距离最大，过A作AN⊥LM于N，可知直线LM与抛物线有唯一交点，此时△=0，可求出M点的坐标，进而根据，列式求出AN的长，即可求解；②分当AFGD是矩形和菱形时满足要求，从而求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．
∴
解得
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：①作直线LM∥AB，与抛物线相切于D，交y轴于M，此时D到AB的距离最大，过A作AN⊥LM于N，

设直线AB的解析式为y=kx+4，则直线LM的解析式为y=kx+n，
∵直线AB过A、B点，
∴0=2k+4，解得k=-2
∴直线LM的解析式为y=-2x+n，
∵直线LM与抛物线相切，只有一个交点，
∴，
即
∴△=
∴n=6，
∴M（0，6），
则AM=6-4=2
∵LM∥AB
∴，
∴
∴，即
∴AN=
∴DE=AN=
∵D在第一象限，
∴0