2023年北京市燕山区中考数学一模试卷（含解析）

2023年北京市燕山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列几何体中，是圆锥的为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  近年来，我国充电基础设施快速发展，已建成世界上数量最多、分布最广的充电基础设施网络，有效支撑了新能源汽车的快速发展年，我国充电基础设施累计数量达到万台左右将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的一元二次方程有实数根，则的值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  为了学习宣传党的二十大精神，某校学生宣讲团赴社区宣讲现从名男生名女生中任选人，则恰好选中名男生名女生的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下面的三个问题中都有两个变量：
正方形的周长与边长；
一个三角形的面积为，其底边上的高与底边长；
小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度与骑行时间；
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．

10.  分解因式          ．

11.  方程的解为______．

12.  在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______ ．

13.  如图，点，，，在上，，则 ______

14.  如图，在矩形中，点在边上，于点若，，则的长为______ ．

15.  甲、乙两名射击爱好者次射击测试成绩单位：环的统计图如图所示记甲、乙两人这次测试成绩数据的平均数分别为，，方差分别为，，则 ______ ， ______ 填“”，“”或“”．
 

16.  某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下：

现要用甲、乙两种原料共，制作个工艺品，且每种型号至少制作个．
若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为______ ；
若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号工艺品的个数依次为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

21.  本小题分
如图，四边形中，对角线与相交于点，，，点在上，且．
求证：四边形是菱形；
若，，，求的长．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
求该一次函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
在第四个国际数学日年月日到来之际，燕山地区举办了“数学节”，通过数学素养竞赛、数学创意市集、数学名师讲座等活动，展现数学魅力、传播数学文化为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从甲、乙两校各随机抽取了名学生成绩单位：分的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息：
乙校学生成绩数据的频数分布直方图如图所示数据分为四组：，，，
乙校学生成绩数据在这一组的是：，，，，，，，；
甲、乙两校学生成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
写出表中的值；
在甲、乙两校抽取的学生中，记成绩高于各自学校平均分的人数分别为，，则 ______ 填“”，“”或“”，理由是______ ；
若乙校共有名学生参加了该数学素养竞赛，且成绩不低于分的学生可获得“数学之星”的称号，估计乙校获得“数学之星”称号的学生有______ 人

24.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，点为的中点，连接，过点作，交的延长线于点．
求证：是的切线；
延长交的延长线于点，若，，求的半径和的长．

25.  本小题分
某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，弹珠从箱外投入箱子，弹珠的飞行轨迹可以看作是抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系正方形为箱子正面示意图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行．
某同学将弹珠从点处抛出，弹珠的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．
下面是弹珠的水平距离与竖直高度的几组数据：

直接写出弹珠竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
若点的坐标为，，则该同学抛出的弹珠______ 投入箱子填“能”或“不能”．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
求点的坐标及抛物线的对称轴；
已知点，，在该抛物线上，且，，中有且只有一个小于，求的取值范围．

27.  本小题分
如图，中，，，为边上一点不与点，重合，连接，过点作于点，过点作，交直线于点．
依题意补全图形；用等式表示线段与的数量关系，并证明；
点为中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，的半径为，为上一点，点．
对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
如图，已知点，点，点为点的“对应点”．
在图中画出点；
求证：；
点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提．
根据圆锥的特征进行判断即可．
【解答】
解：圆锥是由一个圆形的底面，和一个弯曲的侧面围成的，
因此选项B中的几何体符合题意，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：将万用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
利用补角、余角的定义计算即可．
本题考查的是补角、余角的定义，解题的关键是从图中找到互余的两个角、互补的两个角．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
不正确；
，
，
不正确；
由图可知，，
，
，
不正确；
，，
．
D正确．
故选：．
根据数轴得到和的取值判断各个选项即可．
本题考查了实数的运算，判断和的取值是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是多边形的外角和的运用，明确正多边形的每个外角的度数边数是解题的关键．
任意多边形的外角和为，用除以即为多边形的边数．
【解答】

解：因为多边形的外角和为，
所以该多边形的边数．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，

解得：．
故选：．
根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出，解之即可得出的取值范围，再比照四个选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设名男生分别记为，，名女生记为，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好选中名男生名女生的结果有：，，，，共种，
恰好选中名男生名女生的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中名男生名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，图中的是的反比例函数，
由题意得，，是的正比例函数，不符合题意；
由题意得，底边上的高与底边长的乘积一定，是的反比例函数，符合题意；
平均速度与骑行时间的乘积一定，是的反比例函数，符合题意；
所以可以利用如图所示的图象表示的是．
故选：．
分别求出对应的与的关系，再根据函数图象可知函数图象表示的是反比例函数，由此判断即可．
本题主要考查了函数的图象，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：

．
故答案是：．
提公因式，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

11.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点和点，
，解得，
即的值为．
故答案为：．
利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

13.【答案】 

【解析】解：为弧所对的圆周角，
，
，
．
故答案为：．
先作出弧所对的圆周角，如图，根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：．
．
．
．
．
．
．
故答案为：；．
根据图形给的数据计算平均数，再利用平均数计算方差即可．
本题考查了平均数和方差的应用，准确的计算和比较是解题关键．
 

16.【答案】个  ，， 

【解析】解：设制作型工艺品个，型工艺品和型工艺品共个，
根据题意得：，
解得：，
制作型工艺品的个数为个．
故答案为：个；
设制作型工艺品个，则制作型工艺品和型工艺品共个，
根据题意得：，
解得：，
每种型号至少制作个，
可以为，．
若，当制作型工艺品个，型工艺品个时，使用乙种原料；
当制作型工艺品个，型工艺品个时，使用乙种原料；
若，当制作型工艺品个，型工艺品个时，使用乙种原料．
，
制作方案中，，三种型号工艺品的个数依次为，，．
故答案为：，，．
设制作型工艺品个，型工艺品和型工艺品共个，根据“用甲、乙两种原料共，制作个工艺品”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设制作型工艺品个，则制作型工艺品和型工艺品共个，根据使用甲种原料不超过，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合每种型号至少制作个，可得出可以为，，分为和为两种情况，找出各制作方案使用乙种原料的重量，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：解得：
，
解得：
．
则不等式组的解集是：． 

【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，则两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法，关键是解一元一次不等式，解一元一次不等式的方法与解一元一次方程的方法基本相同，不同点是系数化成时，要注意不等号方向的变化．
 

19.【答案】解：

，
，
，
当时，原式


． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：选择方法一，
证明如下：在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，；
方法二，证明≌，
得到四边形为平行四边形，仿照方法一证明． 

【解析】证明≌，根据全等三角形的性质得到，，再证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
解：四边形是菱形，，
，
，，
，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】由，，根据等腰三角形的“三线合一”证明垂直平分，则，，所以，而，则，所以，则，所以四边形是菱形；
由菱形的性质得，，则，由，得，再根据勾股定理求得，则．
此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、菱形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据等腰三角形的性质证明垂直平分是解题的关键．
 

22.【答案】解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，
，
又一次函数的图象经过点，
．
，
这个一次函数的表达式为；
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值
；
直线与直线的交点为，
．
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
． 

【解析】先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式；
根据点结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】  乙校的中位数在平均数以上，而甲校的中位数在平均数以下   

【解析】解：将乙校的名学生的成绩从小到大排列后，处在第、位的两个数的平均数是，因此中位数是，即，
答：的值为；
由于甲校学生成绩的中位数是，平均数是，乙校学生成绩的中位数是，平均数是，因此乙校高于平均数的人数要比甲校高于平均数的人数要多，即，理由：乙校的中位数在平均数以上，而甲校的中位数在平均数以下．
故答案为：，乙校的中位数在平均数以上，而甲校的中位数在平均数以下；
人，
故答案为：．
根据中位数的定义进行计算即可；
通过对甲校、乙校学生成绩的中位数、平均数的大小进行比较，可得答案；
求出样本中获得“数学之星”的学生所占得出人数的百分比，进而估计总体人中获得“数学之星”所占的百分比，再利用频率进行计算即可．
本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、众数，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
 

24.【答案】证明：连接，如图，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：设的半径为，则，，
，
，
，
解得：．
的半径为；
，．
，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质与垂直的定义得到，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
设的半径为，则，，利用的结论和勾股定理列出方程解答即可求得圆的半径；利用相似三角形的判定与性质，理财比例式即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，锤击点性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

25.【答案】能 

【解析】解：观察表格可知时，取最大值，
弹珠竖直高度最大为；
把代入得：
，
解得，
；
在中，令得，
，，
弹珠落在的右侧，
在中，令得：
，
解得或小于，舍去，
，
弹珠能投入箱子；
故答案为：能．
观察表格可得弹珠竖直高度最大为；用待定系数法可得；
在中，令得，知弹珠落在的右侧，令得或小于，舍去，又，故弹珠能投入箱子．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数关系式．
 

26.【答案】解：在中，令得，
，
，
抛物线的对称轴为直线；
在中，
令得，
令得，
令得，
当时，
，，中有且只有一个小于，
，
解得；
当时，
，，中有且只有一个小于，
，
解得，
综上所述，的范围是或． 

【解析】在中，令得，由，知对称轴为直线；
求得，，，分两种情况，根据，，中有且只有一个小于，列出不等式组，即可解得答案．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是分类讨论思想的应用．
 

27.【答案】解：如图，过点作于点，过点作，交直线于点，
，
证明：于点，交直线于点，
，
，
在和中，
，
≌，
．
，
证明：连接、，
，，
，
点为中点，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
． 

【解析】根据题意补全图形，则，所以，而，即可证明≌，得；
连接、，由等腰直角三角形的性质得，因为点为中点，所以，，，因为，所以，即可证明≌，得，，，可推导出，则，所以．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

28.【答案】解：如图，点即为所求；

证明：过点作轴于点，
点，点，
，，
由旋转得：，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
设，又点，
点关于点的对称点为，
，，
解得：，，
，
由两点间距离公式可得：，
；
解：点绕点顺时针旋转后得到点，

，，
设，当点在第四象限时，过点作轴于，过点作于，
则，，
，，
，
≌，
，，
，
，
在上，
，
，
在以为圆心，为半径的圆上，
设点关于点的对称点为，则，
，，
点在以为圆心为半径的圆上，
的最大值为，的最小值为，
长的最大值与最小值的积为，
故答案为：． 

【解析】根据定义，先确定点的位置，再得出点的位置；
过点作轴于点，利用证明≌，设，利用中点坐标公式可求得，再运用两点间距离公式可求得，即可证得结论；
点绕点顺时针旋转后得到点，可求得，则在以为圆心，为半径的圆上，设点关于点的对称点为，则，求得，则点在以为圆心为半径的圆上，再根据点到圆上各点距离的最大值和最小值即可求得答案．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，两个相交圆的性质，图形旋转的性质，弄清定义，并能够判断出、点的运动轨迹是解题的关键．