初中浙教版4.1 比例线段当堂检测题

这是一份初中浙教版4.1 比例线段当堂检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共9小题）
1. 已知线段 a=4，b=16，线段 c 是 a，b 的比例中项，那么 c 等于
A. 10B. 8C. -8D. ±8

2. 已知 C 是线段 AB 上的一个点，且满足 AC2=BC⋅AB，则下列式子成立的是
A. ACBC=5-12B. ACAB=5-12C. BCAB=5-12D. BCAC=5+12

3. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近 0.618 时会给人一种美感．已知某女士 160 cm，下半身长与身高的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为
A. 6 cmB. 10 cmC. 4 cmD. 8 cm

4. 已知 P，Q 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AB=10 cm，则 PQ 长为
A. 55-1B. 55+1C. 105-2D. 53-5

5. 如图所示，P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PA>PB，如果 S1 表示以 PA 为一边的正方形的面积，S2 表示长为 AB，宽为 PB 的矩形的面积，那么 S1 与 S2 之间的大小关系是
A. S1=S2B. S1>S2C. S1
6. 若 b 是 a 和 c 的比例中项，则关于 x 的一元二次方程 ax2+2bx+c=0 的根的情况是
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断

7. 如图所示，P 为线段 AB 的黄金分割点 PB>PA，四边形 AMNB 、四边形 PBFE 都为正方形，且面积分别为 S1，S2．四边形 APHM 、四边形 APEQ 都为矩形，且面积分别为 S3，S4．下列说法中，正确的是
A. S2=5-12S1B. S2=S3C. S3=5-12S4D. S4=5-12S1

8. 已知线段 AB 及 AB 上一点 P，P 为 AB 的黄金分割点，给出下列结论：① AP2=AB⋅PB；② AP=5-12AB；③ PB=3-52AB；④ APPB=5-12；⑤ ABAP=5-12．其中正确的是
A. ①②③B. ①②③④C. ②③④⑤D. ①②③④⑤

9. 已知线段 AB=10，C 是线段 AB 的黄金分割点 AC>BC，则 AC 的长为
A. 55-10B. 15-55C. 55-5D. 10-25

二、填空题（共5小题）
10. 为了美观，通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比．若一本书的宽为 15 cm，则它的长为 cm（精确到 0.1 cm）．

11. 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高 2 m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 m（精确到 0.01 m，参考数据 2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）．

12. 已知 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC>BC，BC=3-5，则 AB 的长为 ．

13. 顶角为 36∘ 的等腰三角形称为黄金三角形．如图所示，五边形 ABCDE 的 5 条边相等，5 个内角相等，则图中的黄金三角形有 个．

14. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图所示，线段 AB=1，点 P1 是线段 AB 的黄金分割点（AP1
三、解答题（共5小题）
15. 如图所示，以长为 2 的定线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连接 PD，在 BA 的延长线上取点 F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在 AD 上．
（1）AM，DM 的长分别为 ， ．
（2）M 是 AD 的黄金分割点吗?请说明理由．

16. 如图1所示为一张宽与长之比为 5-12 的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形 ABEF 和一个矩形 EFDC，那么矩形 EFDC 还是黄金矩形吗?若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．

17. 如图所示，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片 ABCD，取 BC 的中点 E，折出线段 AE，然后通过折叠使 EB 落到线段 EA 上，折出点 B 的新位置 Bʹ，因而 EBʹ=EB．类似地，在 AB 上折出点 Bʺ 使 ABʺ=ABʹ．这时 Bʺ 就是线段 AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．

18. 如图所示，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，∠BOC=108∘，过点 C 作直线 CD 分别交直线 AB 和 ⊙O 于点 D，E，连接 OE，DE=12AB，OD=2．
（1）求 ∠CDB 的度数．
（2）我们把有一个内角等于 36∘ 的等腰三角形称为黄金三角形，它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比 5-12．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由．
②求弦 CE 的长．
③在直线 AB 或 CD 上是否存在点 P（点 C，D 除外），使 △POE 是黄金三角形?若存在，画出点 P，简要说明画出点 P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

19. 如图1所示，点 C 将线段 AB 分成两部分，若 ACAB=BCAC，点 C 为线段 AB 的黄金分割点．某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线，给出“黄金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S2，如果 S1S=S2S1，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线，如图2所示，在 △ABC 中，D 是 AB 的黄金分割点．
（1）研究小组猜想：直线 CD 是 △ABC 的黄金分割线，你认为对吗?为什么?
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?
（3）研究小组探究发现：过点 C 作直线交 AB 于点 E，过点 D 作 DF∥CE，交 AC 于点 F，连接 EF（如图3所示），则直线 EF 也是 △ABC 的黄金分割线，请你说明理由．
答案
1. B
2. B
3. D
4. C
5. A
6. A
7. B
8. A
9. C
10. 24.3
11. 1.24
12. 2
13. 20
14. 3-52n
15. （1） 5-1；3-5
（2） ∵ AMAD=5-12，DMAM=3-55-1=5-12，
∴ M 是 AD 的黄金分割点．
16. 矩形 EFDC 是黄金矩形．理由如下：
∵ 四边形 ABEF 是正方形，
∴AB=DC=AF．
∵ABAD=5-12，
∴AFAD=5-12，
即 F 是线段 AD 的黄金分割点．
∵FDAF=AFAD=5-12．
∴FDDC=5-12．
∴ 矩形 EFDC 是黄金矩形．
17. 设正方形 ABCD 的边长为 2．
∵ E 为 BC 的中点，
∴ BE=1．
∴ AE=AB2+BE2=5．
∵ BʹE=BE=1，
∴ ABʺ=ABʹ=AE-BʹE=5-1．
∴ ABʺ:ABʹ=5-1:2．
∴ Bʺ 是线段 AB 的黄金分割点．
18. （1） ∵ AB 是 ⊙O 的直径，DE=12AB，
∴ OA=OC=OE=DE．
则 ∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC．
设 ∠CDB=x，则 ∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x．
∵ ∠BOC=108∘，
∴ ∠CDB+∠OCD=108∘．
∴ x+2x=108∘，x=36∘．
∴ ∠CDB=36∘．
（2） ①有三个：△DOE，△COE，△COD．
∵ OE=DE，∠CDB=36∘，
∴ △DOE 是黄金三角形．
② ∵ △COD 是黄金三角形，
∴ OCOD=5-12．
∵ OD=2，
∴ OC=5-1．
∴ CD=OD=2，DE=OC=5-1．
∴ CE=CD-DE=2-5-1=3-5．
③存在，有三个符合条件的点 P1，P2，P3，
如图所示，以 OE 为底边的黄金三角形：作 OE 的垂直平分线分别交直线 AB，CD 得到点 P1，P2；以 OE 为腰的黄金三角形：点 P3 与点 A 重合．
19. （1） 直线 CD 是 △ABC 的黄金分割线．理由如下：
∵D 是 AB 的黄金分割点，
∴ADAB=BDAD．
∵S△ADCS△ABC=ADAB，S△BDCS△ADC=BDAD，
∴S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC．
∴ 直线 CD 是 △ABC 的黄金分割线．
（2） ∵ 三角形 AB 边的中点 Dʹ 把 AB 分成相等的两条线段，即 ADʹ=BDʹ，
∴S△ADʹCS△ABC=ADʹAB=12，S△BDʹCS△ADʹC=BDʹADʹ=1，
∴ 三角形的中线不是该三角形的黄金分割线．
（3） ∵DF∥CE，
∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，
∴S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC．
∵S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC，
∴S△AEFS△ABC=S四边形BEFCS△AEF．
∴ 直线 EF 是 △ABC 的黄金分割线．