2021-2022学年天津市静海区运河学校九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2021-2022学年天津市静海区运河学校九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年天津市静海区运河学校
九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．在下列方程中，一元二次方程是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+（1﹣x）（1+x）＝0
C．x（x﹣4）＝0 D．x+＝0
2．一元二次方程4x2﹣1＝5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．4，﹣1，5 B．4，﹣5，﹣1 C．4，5，﹣1 D．4，﹣1，﹣5
3．将抛物线y＝2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣4）2﹣1 B．y＝2（x+4）2+1
C．y＝2（x﹣4）2+1 D．y＝2（x+4）2﹣1
4．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知一元二次方程x2+kx﹣5＝0有一个根为1，k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
6．关于抛物线y＝x2﹣4x+4，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上
B．与x轴只有一个交点
C．对称轴是直线x＝2
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
7．将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（　　）
A．y＝（x﹣6）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣9
8．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝（x+2）2+1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
9．若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a且a≠0 B．a C．a D．a且a≠0
10．若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．13 B．16 C．12或13 D．11或16
11．如图，在△ABC中，∠CAB＝64°，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB'的大小为（　　）

A．64° B．52° C．62° D．68°
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如右图所示则下列结论中正确的个数是（　　）
①ab＞0；②a+2b＝0；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根．

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标为　 　．
14．二次函数y＝（k﹣1）的图象开口向上，则k＝　 　．
15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请 　 　支球队参加比赛．
16．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为　 　m．

17．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点O（0，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为　 　．
18．已知抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上有三点（﹣3，y1），B（，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 　 　（用“＜”连接）．
三、解答题（本大题共7小题，共60分）
19．解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）x2﹣x﹣12＝0．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6），B（5，2），C（2，1）．
（1）在图中画出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A′，点B′，点C′的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．

21．如图，E点是正方形ABCD的边BC上一点，AB＝12，BE＝5，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合．
（1）旋转中心是　 　，旋转角为　 　度；
（2）△AEF是　 　三角形；
（3）求EF的长．

22．国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，受益于支持政策的影响，某大学生自主创立的公司利润逐年提高，据统计，2017年利润为200万元，2019年利润为288万元．求该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率．
23．已知抛物线y＝ax2﹣2x+c，经过（﹣3，0）（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴及顶点坐标．
24．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得最大的利润，售价应定为多少？这时最大的利润是多少元？
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，求∠ABC的度数；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P到x轴的距离等于4时，求动点P的坐标．



参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．在下列方程中，一元二次方程是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+（1﹣x）（1+x）＝0
C．x（x﹣4）＝0 D．x+＝0
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
解：A选项：若a＝0，则ax2+bx+c＝0不是一元二次方程．
B选项：化简后，得1＝0，不成立．
C选项：整理得x2﹣4x＝0，是一元二次方程．
D选项：，不是一元二次方程．
故选：C．
2．一元二次方程4x2﹣1＝5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．4，﹣1，5 B．4，﹣5，﹣1 C．4，5，﹣1 D．4，﹣1，﹣5
【分析】直接将方程整理为一般形式，进而利用二次项系数、一次项系数、常数项的定义分析得出答案．
解：∵一元二次方程4x2﹣1＝5x，
∴整理为：4x2﹣5x﹣1＝0，
故一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：4，﹣5，﹣1．
故选：B．
3．将抛物线y＝2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣4）2﹣1 B．y＝2（x+4）2+1
C．y＝2（x﹣4）2+1 D．y＝2（x+4）2﹣1
【分析】把抛物线y＝2x2的顶点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点的坐标为（﹣4，1），即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．
解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（﹣4，1）
所以平移后所得的抛物线的解析式y＝2（x+4）2+1，
故选：B．
4．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解．
解：根据中心对称的定义可得：A、C、D都不符合中心对称的定义．
故选：B．
5．已知一元二次方程x2+kx﹣5＝0有一个根为1，k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝1代入方程得关于k的一次方程1﹣5+k＝0，然后解一次方程即可．
解：把x＝1代入方程得1+k﹣5＝0，
解得k＝4．
故选：D．
6．关于抛物线y＝x2﹣4x+4，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上
B．与x轴只有一个交点
C．对称轴是直线x＝2
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】根据题目中的抛物线，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵抛物线y＝x2﹣4x+4，
∴该抛物线的开口向上，故选项A正确，
（﹣4）2﹣4×1×4＝0，故该抛物线与x轴只有一个交点，故选项B正确，
对称轴是直线x＝﹣＝2，故选项C正确，
当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项D错误，
故选：D．
7．将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（　　）
A．y＝（x﹣6）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣9
【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．
解：y＝x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，
故选：C．
8．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝（x+2）2+1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝﹣2，利用二次函数的性质即可判断．
解：∵二次函数y＝（x+2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，
∴A（﹣3，y1）关于对称轴的对称点为（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
9．若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a且a≠0 B．a C．a D．a且a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝12﹣4×a×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得a≠0且Δ＝12﹣4×a×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣且a≠0．
故选：A．
10．若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．13 B．16 C．12或13 D．11或16
【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝3，x2＝2，
∵三角形的两边长分别是4和6，
当x＝3时，3+4＞6，能组成三角形；
当x＝2时，2+4＝6，不能组成三角形．
∴这个三角形的第三边长是3，
∴这个三角形的周长为：4+6+3＝13
故选：A．
11．如图，在△ABC中，∠CAB＝64°，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB'的大小为（　　）

A．64° B．52° C．62° D．68°
【分析】由平行线的性质可得∠C'CA＝∠CAB＝64°，由折叠的性质可得AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，可得∠ACC'＝∠C'CA＝64°，由三角形内角和定理可求解．
解：∵CC′∥AB，
∴∠C'CA＝∠CAB＝64°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝64°，
∴∠C'AC＝180°﹣2×64°＝52°，
故选：B．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如右图所示则下列结论中正确的个数是（　　）
①ab＞0；②a+2b＝0；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根．

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据抛物线的对称轴位置判断①与②；根据x＝1时，y＝a+b+c的正负判断③；根据抛物线与直线y＝﹣3的交点情况判断④．从而得出答案．
解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴，
∴b＝2a＜0，
∴ab＞0，a+2b＝5a＜0，
故①正确；②错误；
由函数图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故③正确；
由函数图象可知，抛物线与直线y＝﹣3有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标为　（﹣1，3）　．
【分析】抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），直接根据抛物线y＝2（x+1）2+3写出顶点坐标则可．
解：顶点坐标是（﹣1，3）．
14．二次函数y＝（k﹣1）的图象开口向上，则k＝　　．
【分析】由二次函数的定义以及抛物线开口向上，可得k﹣1＞0，k2＝2，解得即可．
解：∵二次函数y＝（k﹣1）的图象开口向上，
∴k﹣1＞0，k2＝2，
∴k＝，
故答案为：．
15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请 　6　支球队参加比赛．
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1＝15，
即＝15，
∴x2﹣x﹣30＝0，
∴x＝6或x＝﹣5（不合题意，舍去）．
即应邀请6个球队参加比赛．
故答案为：6．
16．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为　16　m．

【分析】根据题意，把y＝﹣4直接代入解析式即可解答．
解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣x2，
得x＝±8，
∴A（﹣8，﹣4），B（8，﹣4），
∴AB＝16m．
即水面宽度AB为16m．
故答案为：16．
17．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点O（0，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为　（2，3）　．
【分析】根据旋转中心为点O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，作出点P的对称图形P′，可得所求点的坐标．
解：如图所示，由图中可以看出点P′的坐标为（2，3）．

故答案为：（2，3）．
18．已知抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上有三点（﹣3，y1），B（，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 　y2＜y1＜y3　（用“＜”连接）．
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性即可得出结论．
解：∵y＝a（x+1）2+k（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴是：直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵点（﹣3，y1）故对称轴的对称点为（1，y1），而﹣1＜＜1＜2，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3．
三、解答题（本大题共7小题，共60分）
19．解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）x2﹣x﹣12＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；

（2）x2﹣x﹣12＝0，
（x﹣4）（x+3）＝0，
∴x﹣4＝0或x+3＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣3．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6），B（5，2），C（2，1）．
（1）在图中画出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A′，点B′，点C′的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．

【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．

点A'（﹣4，﹣6），B'（﹣5，﹣2），C'（﹣2，﹣1）．
（2）△A′B′C′的面积为3×5﹣﹣﹣＝．
21．如图，E点是正方形ABCD的边BC上一点，AB＝12，BE＝5，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合．
（1）旋转中心是　点A　，旋转角为　90　度；
（2）△AEF是　等腰直角　三角形；
（3）求EF的长．

【分析】（1）根据图形和已知即可得出答案．
（2）根据旋转得出全等，根据全等三角形的性质得出∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，求出∠EAF＝∠BAD，即可得出答案．
（3）求出AE，求出AF，根据勾股定理求出EF即可．
解：（1）从图形和已知可知：旋转中心是点A，旋转角的度数等于∠BAD的度数，是90°，
故答案为：点A，90；

（2）等腰直角三角形，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠BAE+∠DAE＝∠BAD＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．

（3）由旋转可知∠EAF＝90°，△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，△EAF是等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，∵AB＝12，BE＝5，
∴＝＝13，
∴＝＝．
22．国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，受益于支持政策的影响，某大学生自主创立的公司利润逐年提高，据统计，2017年利润为200万元，2019年利润为288万元．求该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率．
【分析】设这两年该公司年利润平均增长率为x．根据题意得200（1+x）2＝288，解方程即可求得增长率．
解：设该科技外贸公司从2015年到2017年利润的年平均增长率为x．根据题意得
200（1+x）2＝288，
解得 x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2 （不合题意，舍去）．
答：这该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率为20%．
23．已知抛物线y＝ax2﹣2x+c，经过（﹣3，0）（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴及顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）把解析式化成顶点式，即可求得对称轴和顶点坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过（﹣3，0）（0，3）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，4）．
24．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得最大的利润，售价应定为多少？这时最大的利润是多少元？
【分析】根据总利润＝销售量×每个利润．设售价为x元，总利润为W元，则销售量为500﹣10（x﹣50），每个利润为（x﹣40），据此表示总利润，然后根据函数性质求最大值．
解：设售价为x元，总利润为W元，则W＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000，
∵﹣10＜0，
∴函数有最大值，
当x＝﹣＝70时，W最大，最大的利润W＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10×4900+98000﹣40000＝9000元；
即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，求∠ABC的度数；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P到x轴的距离等于4时，求动点P的坐标．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出C点坐标，可知OB＝OC，则△OBC是等腰直角三角形，由此求角即可；
（3）设P（t，t2﹣2t﹣3），由题意可得|t2﹣2t﹣3|＝4，解方程即可求解．
解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵OC＝OB＝3，
∴∠ABC＝45°；
（3）设P（t，t2﹣2t﹣3），
∵点P到x轴的距离等于4，
∴|t2﹣2t﹣3|＝4，
解得t＝1+2或t＝1﹣2或t＝1，
∴P点坐标为（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）．