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浙江省金华市义乌市五校2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）(解析版)
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这是一份浙江省金华市义乌市五校2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）(解析版)，共31页。试卷主要包含了下列计算正确的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省金华市义乌市五校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．以下为四个银行的logo，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣ab2）4＝﹣16a4b6 B．（﹣a3）2﹣（a2）3＝0
C．﹣4a3b2÷2ab2＝﹣2a2b D．（a+2）2＝a2+4
3．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
5．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上．下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心
C．点O是△ABD的内心 D．点O是△ABD的外心
6．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝66°，则∠OAC的度数为（ ）
A．24° B．29° C．33° D．132°
7．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形
B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的面积之比为4꞉1
D．△ABC与△DEF的周长之比为4꞉1
8．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），下列结论中：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中：m≠1）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．在实数范围内分解因式：4x3y﹣4xy＝ ．
12．不透明的袋子里装有一个黑球，两个红球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中取出一个球，不放回，再取出一个球，记下颜色，两次摸出的球是一红一黑的概率是 ．
13．在不等式组的解集中，最大的整数解是 ．
14．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则该反比例函数的解析式为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ．
16．某小区为方便垃圾分类投放垃圾，通过招标选择了一种双层长方体垃圾桶，上层采用手动翻盖，下层采安装旋转出桶装置，如图所示．已知整体AB＝112cm，BC＝40cm，CP＝50cm，侧面如图1所示，EG为隔板，等分上下两层．下方内桶BCGH绕底部轴（CP）旋转打开，若点H恰好能卡在原来点G的位置，则内桶边BH的长度应设计为 cm；现将BH调整为40cm，打开最大角度时，点H卡在隔板上，如图2所示，可完全放入下方内桶的球体的直径不大于 cm．
三．解答题（共8小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题6分，22、23每小题6分，24小题12分，共66分.）
17．（1）计算：|﹣|+（）﹣1﹣+2cos30°．
（2）解方程：＝4．
18．已知a是方程x2+4x﹣1＝0的根，求代数式的值．
19．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
（1）如图1，A、B、C均为格点，请在网格内取格点D，使A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形；
（2）如图2，平行四边形ABCD中，E在BC边上，A、B、E均为格点，C、D在小正方形内部，请作出∠BCD的平分线；
（3）如图3，△ABC的顶点均为格点，请在AB上取中点D，作线段DE（E点在D点右侧），使DE⊥AC，DE＝AB．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我区开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，诵读活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）这次抽样调查的总人数为 ；
（2）若该校有1200名学生，估计选择参加书法的有 人；
（3）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数；
（4）学校准备从推荐的5位同学（两男三女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．
21．抗疫期间，全国人民众志成城，温州某商家决定将一个月的利润全部捐给当地医疗机构用于抗疫．该商家购进一批产品，成本10元/件，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为12元时，月销量1200件，售价每增加1元，月销量减少100件．设月销量y（件），线下售价x（元）．（12≤x≤24，且x为整数）
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上月销量固定为500件．当售价x为多少时，线上和线下的月利润总和最大？并求出最大利润．
22．如图，△ABC是以AB为直径的⊙O的内接三角形，BD与⊙O相切于点B，与AC的延长线交于点D，E是BD的中点，CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，2EF＝3BE．求BF的长和⊙O的半径．
23．已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．
①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；
②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．
24．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A，C两点的直线分别交x轴、y轴于点E，F，抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；
（3）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．以下为四个银行的logo，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣ab2）4＝﹣16a4b6 B．（﹣a3）2﹣（a2）3＝0
C．﹣4a3b2÷2ab2＝﹣2a2b D．（a+2）2＝a2+4
【分析】根据整式的加减运算、乘除运算、积的乘方以及完全平方公式即可求出答案．
解：A、原式＝a4b8，故A不符合题意．
B、原式＝a6﹣a6＝0，故B符合题意．
C、原式＝﹣2a2，故C不符合题意．
D、原式＝a2+4a+4，故D不合题意．
故选：B．
3．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
解：“阳马”的俯视图是一个矩形，还有一条看得见的棱，
故选：A．
4．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
【分析】利用众数、中位数的定义、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确，符合题意；
B、了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，因调查范围广，适合抽样调查，故错误，不符合题意；
C、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，因甲的方差小于乙的方差，所以甲的跳远成绩比乙稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、可能性是1%的事件在一次试验中不一定不会发生，故错误，不符合题意；
故选：A．
5．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上．下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心
C．点O是△ABD的内心 D．点O是△ABD的外心
【分析】根据三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心即可解决问题．
解：根据点A，B，C，D，O都在正方形网格的格点上．
可知：点O到点A，B，D三点的距离相等，
所以点O是△ABD的外心，
故选：D．
6．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝66°，则∠OAC的度数为（ ）
A．24° B．29° C．33° D．132°
【分析】根据圆周角定理，由∠B＝66°，可得∠AOC＝2∠B的度数，再由OA＝OC，根据等腰三角形的性质进行计算即可得出答案．
解：∵∠B＝66°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×66°＝132°，
∵OA＝OC，
∴＝＝24°．
故选：A．
7．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形
B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的面积之比为4꞉1
D．△ABC与△DEF的周长之比为4꞉1
【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出；△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
解：根据位似性质得出：A．△ABC与△DEF是位似图形，则A选项正确，不合题意；
B．△ABC与△DEF是相似图形，则B选项正确，不合题意；
∵将△ABC的三边缩小的原来的 ，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故D选项错误，符合题意；
根据面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，则C选项正确，不合题意．
故选：D．
8．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，AC＝5m，
由勾股定理得BD＝CE＝＝4（m），
故离门4米远的地方，门铃恰好自动响起．
故选：B．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），下列结论中：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中：m≠1）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①由开口向下得到a＜0，由对称轴在y轴右侧得到b＞0，由函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上得到c＞0，然后得到abc＜0；
②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0；
③由函数图象的对称轴为x＝1和x＝0时，y＞0得到x＝2时的函数值的正负；
④由函数图象的对称轴为x＝1得到a与b的关系，然后代入a﹣b+c中，即可得到2c与3b的关系；
⑤由函数图象的对称轴为x＝1和开口向下得到当x＝1时，函数值取得最大值，得到a+b+c＞m（am+b）+c，然后判断⑤．
解：①∵开口向下，对称轴在y轴右侧，函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；
③∵函数图象的对称轴为x＝1，
∴x＝0时和x＝2时的函数值相等，
∵x＝0时，y＞0，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；
④∵函数图象的对称轴为x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＝0，
∴﹣2a+2b﹣2c＝0，
∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＝0，故④错误，不符合题意；
⑤∵函数图象的对称轴为x＝1，开口向下，
∴当x＝1时，函数值取得最大值，
∴a+b+c＞m（am+b）+c，
∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，符合题意，
∴正确的结论有2个，
故选：A．
10．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】①证明∠DAE＝∠CDF，进而得∠DAF+∠ADG＝90°，便可判断①的正误；
②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EF∥CD，便可判断②的正误；
③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判断③的正误；
④证明EF＝ED＝，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误．
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝∠BDC＝45°，
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠DAF+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，即AG⊥DF，
故①结论正确；
②在△AGF和△AGD中，
，
∴△AGF≌△AGD（ASA），
∴GF＝GD，
∵AG⊥DF，
∴EF＝ED，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，
∴EF∥CD∥AB，
故②正确；
③∵△AGF≌△AGD（ASA），
∴AD＝AF＝AB，
故③正确；
④∵EF∥CD，
∴∠OEF＝∠ODC＝45°，
∵∠COD＝90°，
∴EF＝ED＝，
∴，
∴AB＝CD＝（+1）EF，
故④错误．
故选：C．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．在实数范围内分解因式：4x3y﹣4xy＝ 4xy（x+1）（x﹣1） ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
解：4x3y﹣4xy
＝4xy（x2﹣1）
＝4xy（x+1）（x﹣1）．
故答案为：4xy（x+1）（x﹣1）．
12．不透明的袋子里装有一个黑球，两个红球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中取出一个球，不放回，再取出一个球，记下颜色，两次摸出的球是一红一黑的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中两次摸出的球是一红一黑的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两次摸出的球是一红一黑的结果有4种，
∴两次摸出的球是一红一黑的概率为＝，
故答案为：．
13．在不等式组的解集中，最大的整数解是 x＝4 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
解：，
解不等式①，得x≥2，
解不等式②，得x≤，
所以不等式组的解集是2≤x≤，
所以最大整数解是4，
故答案为：x＝4．
14．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则该反比例函数的解析式为 y＝﹣ ．
【分析】设反比例函数的解析式为y＝，点A的坐标为（x，y），根据三角形的面积求出xy＝﹣4，即可得出答案．
解：设反比例函数的解析式为y＝，点A的坐标为（x，y），
∵A点在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∵AB⊥y轴，点P在x轴上，△ABP的面积为2，
∴×（﹣x）×y＝2，
即xy＝﹣4，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ．
【分析】如图，设MN交CQ于点K．首先证明AB＝BQ＝2，QK＝CK＝KG＝2，推出AQ＝QG＝2，AG＝4，再利用平行线分线段成比例定理求出MK，OG即可．
解：如图，设MN交CQ于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝2，∠BAD＝∠ABC＝90°，
由作图可知AQ平分∠BAD，
∴∠BAQ＝∠DAQ＝45°，
∴AB＝BQ＝2，CQ＝BC﹣BQ＝4，
由作图可知MN垂直平分线段CQ，
∴QK＝CK＝2，
∵∠AQB＝∠GQK＝45°，
∴AQ＝2，QG＝2，
∴AG＝4，
∵MK∥CD，
∴＝，
∴＝，
∴MK＝，
∴GM＝MK+KG＝，
∵AB∥GM，
∴＝＝＝，
∴OG＝AG＝．
故答案为：．
16．某小区为方便垃圾分类投放垃圾，通过招标选择了一种双层长方体垃圾桶，上层采用手动翻盖，下层采安装旋转出桶装置，如图所示．已知整体AB＝112cm，BC＝40cm，CP＝50cm，侧面如图1所示，EG为隔板，等分上下两层．下方内桶BCGH绕底部轴（CP）旋转打开，若点H恰好能卡在原来点G的位置，则内桶边BH的长度应设计为 16 cm；现将BH调整为40cm，打开最大角度时，点H卡在隔板上，如图2所示，可完全放入下方内桶的球体的直径不大于 33.6 cm．
【分析】如图1中，连接CH，过点H作HT⊥CG于T，z则四边形BCTH是矩形．利用勾股定理求出CT．如图2中，连接CH，过点G作GJ⊥CG′于J，过点B′作B′M⊥GH于M交BC于N．求出sin∠BCB′，再证明∠GCG′＝∠BCB′，求出GJ，可得结论．
解：如图1中，连接CH，过点H作HT⊥CG于T，则四边形BCTH是矩形．
∵CG＝CH＝CD＝AB＝56（cm），HT＝BC＝40cm，
∴BH＝CT＝＝＝16（cm），
如图2中，连接CH，过点G作GJ⊥CG′于J，过点B′作B′M⊥GH于M交BC于N．
∵∠HMB′＝∠B′NC＝∠CB′H＝90°，
∴∠B′HM+∠HB′M＝90°，∠HB′M+∠CB′N＝90°，
∴∠B′HM＝∠CB′N，
在△B′MH和△CNB′中，
，
∴△B′MH≌△CNB′（AAS），
∴MH＝NB′，MB′＝CN，
∵CH＝40cm，CG＝56cm，
∴HG＝＝＝8，
设HM＝x，则CN＝MB′＝x+8，
在Rt△MHB′中，则有x2+（x+8）2＝402，
∴x＝24（负值舍去），
∴CN＝32（cm），NB′＝24（cm），
∴tan∠BCB′＝＝，
∵∠B′CG′＝∠BCG＝90°，
∴∠GCG′＝∠BCB′，
∴tan∠GCG′＝，
∴sin∠GCG′＝，
∴GJ＝CG•sin∠GCG′＝56×＝33.6（cm），
∴可完全放入下方内桶的球体的直径不大于33.6cm，
故答案为：16，33.6．
三．解答题（共8小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题6分，22、23每小题6分，24小题12分，共66分.）
17．（1）计算：|﹣|+（）﹣1﹣+2cos30°．
（2）解方程：＝4．
【分析】（1）先根据绝对值，负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）方程两边都乘2x﹣3得出x﹣5＝4（2x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可．
解：（1）|﹣|+（）﹣1﹣+2cos30°．
＝+2﹣2+2×
＝+2﹣2+
＝2；
（2）＝4，
﹣＝4，
方程两边都乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣3≠0，
所以x＝1是原方程的解，
即原方程的解是x＝1．
18．已知a是方程x2+4x﹣1＝0的根，求代数式的值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知方程整理后代入计算即可求出值．
解：∵a是方程x2+4x﹣1＝0的根，
∴a2+4a﹣1＝0，即a（a+4）＝1，
则原式＝÷＝•＝＝．
19．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
（1）如图1，A、B、C均为格点，请在网格内取格点D，使A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形；
（2）如图2，平行四边形ABCD中，E在BC边上，A、B、E均为格点，C、D在小正方形内部，请作出∠BCD的平分线；
（3）如图3，△ABC的顶点均为格点，请在AB上取中点D，作线段DE（E点在D点右侧），使DE⊥AC，DE＝AB．
【分析】（1）根据平行四边形的性质：对边分别平行即可找到格点D，D'，即可作出图形；
（2）连接AE，得出AE平分∠BAD，连接BD交AE于O，再连接并延长交AD于D，连接CF，即可作出图形；
（3）取格点F，G，连接FG交网格线于D，再取格点M，N，连接MF，GN，确定出点E，即为所求作．
解：（1）如图1所示，点D，D'为所求作的图形；
（2）如图2所示，CF即为所求作的图形；
（3）如图3所示，点E即为所求作的图形．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我区开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，诵读活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）这次抽样调查的总人数为 200 ；
（2）若该校有1200名学生，估计选择参加书法的有 240 人；
（3）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数；
（4）学校准备从推荐的5位同学（两男三女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．
【分析】（1）由参加唱歌的人数和所占百分比求出这次抽样调查的总人数；
（2）由该校学生人数乘以参加书法的学生所占的比例即可；
（3）用总人数减去其他人数，求出舞蹈的人数，再补全统计图；用360°乘以“诵读”的学生所占的百分比即可得出“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数；
（4）画树状图，共有20种等可能的结果，恰为一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
解：（1）这次抽样调查的总人数为：80÷40%＝200（人），
故答案为：200；
（2）估计选择参加书法的有：1200×＝240（人），
故答案为：240；
（3）参加舞蹈”的学生人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），
则，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数：360°×＝36°，
补全统计图如下：
（4）画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰为一男一女的结果有12种，
∴恰为一男一女的概率为＝．
21．抗疫期间，全国人民众志成城，温州某商家决定将一个月的利润全部捐给当地医疗机构用于抗疫．该商家购进一批产品，成本10元/件，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为12元时，月销量1200件，售价每增加1元，月销量减少100件．设月销量y（件），线下售价x（元）．（12≤x≤24，且x为整数）
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上月销量固定为500件．当售价x为多少时，线上和线下的月利润总和最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据月销量＝1200﹣月销量减少件数求解．
（2）根据月利润总和＝线上利润+线下利润列出利润总和与x的关系，解析式化为顶点式求解．
解：（1）根据题意得：y＝1200﹣100（x﹣12）＝﹣100x+2400，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+2400；
（2）①设线上和线下的月利润总和为w元，
则w＝500（x﹣10﹣2）+y（x﹣10）
＝500x﹣6000+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100x2+3900x﹣30000，
＝﹣100（x﹣）2+8025，
∵﹣100＜0，12≤x≤24，且x为整数，
∴当x＝19或20时，w有最大值，最大值为8000，
∴当x为19或20时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为8000元．
22．如图，△ABC是以AB为直径的⊙O的内接三角形，BD与⊙O相切于点B，与AC的延长线交于点D，E是BD的中点，CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，2EF＝3BE．求BF的长和⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠ABD＝90°，根据直角三角形的性质得到BE＝CE，求得∠BCE＝∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，求得∠OCE＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到BE＝CE＝BD＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴∠ABD＝90°，
∴∠CBE+∠OBC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCD＝90°，
∵E是BD中点，
∴BE＝CE，
∴∠BCE＝∠CBE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCE+∠OCB＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵BD＝4，∠BCD＝90°，点E是BD中点，
∴BE＝CE＝BD＝2，
∵2EF＝3BE，
∴EF＝3，
在Rt△FBE中，BF＝＝，
由（1）得∠OCF＝∠ABD＝90°，
设OC＝x，则OF＝BF﹣OB＝﹣x，
∵OF2﹣OC2＝FC2，
∴（﹣x）2﹣x2＝12，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为．
23．已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．
①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；
②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．
【分析】（1）证明△DAE≌△DCF（ASA），可得结论．
（2）①证明△DAE≌△DCF（ASA），可得结论．
②如图2中，连接AC交DE于点O，过点D作DK⊥EC于点K，DJ⊥EA交EA的延长线于点J．利用全等三角形的性质证明EJ＝EK，AJ＝CK，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
（2）①（1）中的结论AE＝CF还成立．
证明：如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠DCF+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
②解：结论：EA+EC＝DE．
理由：如图2中，连接AC交DE于点O，过点D作DK⊥EC于点K，DJ⊥EA交EA的延长线于点J．
∵四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAO＝∠OEC＝45°，
∵∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴，
∴．
∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AOE∽△DOC，
∴∠AEO＝∠DCO＝45°，
∴∠DEJ＝∠DEK，
∵∠J＝∠DKE＝90°，ED＝ED，
∴△EDJ≌△EDK（AAS），
∴EJ＝EK，DJ＝DK，
∵∠J＝∠DKC＝90°，DJ＝DK，DA＝DC，
∴Rt△DJA≌Rt△DKC（HL），
∴AJ＝CK，
∴EA+EC＝EJ﹣AJ+EK+CK＝2EJ，
∵DE＝EJ，
∴EA+EC＝DE．
24．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A，C两点的直线分别交x轴、y轴于点E，F，抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；
（3）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据Rt△AOB≌Rt△OCD，可得出C（4，2），再运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．设G点的横坐标为m（0＜m＜4），则G（m，﹣）．运用待定系数法求出直线OC的解析式为y＝x，得出GK＝﹣m2+3m，进而得出S△GOC＝﹣（m﹣2）2+6，
运用二次函数的性质可求得答案；
（3）如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T，先证明Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），得出AR＝BT，设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则M（t，﹣），P（t，），进而可得：AR＝|4﹣（﹣t2+t）|，BT＝t，建立方程求解即可．
解：（1）∵A（2，4），
∴OB＝2，AB＝4，
∵Rt△AOB≌Rt△OCD，
∴OD＝AB＝4，CD＝OB＝2，
∴C（4，2），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x；
（2）如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．
令G点的横坐标为m（0＜m＜4），则G（m，﹣）．
设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，2），代入得：4k＝2，
解得：k＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
∴K（m，），
∴GK＝﹣m2+m﹣m＝﹣m2+3m，
∴S△GOC＝S△GOK+S△GKC
＝×（﹣m2+3m）
＝﹣6m
＝﹣（m﹣2）2+6，
∴当m＝2时，S△GOC的值最大为6，此时GH的值为最大，
∵OC＝＝2，
∴2GH＝6，
∴GH＝，
∴G点到直线OC的最大距离为，此时G（2，4）；
（3）存在．如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T，
∴∠ARM＝∠MRT＝∠PTR＝∠BTP＝90°，
∴MR∥PT，
由题意：MN∥AB，
∴四边形MPTR是矩形，
∴MR＝PT，
∵AM＝BP，
∴Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），
∴AR＝BT，
设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则M（t，﹣）．
由（2）知：直线OC的解析式为y＝x，则P（t，），
∴AR＝|4﹣（﹣t2+t）|，BT＝t，
∴|4﹣（﹣t2+t）|＝t，
当＝t时，解得：t1＝，t2＝4（舍），
当＝t时，无实数解．
∴t＝，此时P（，），
∴P点的坐标为（，）．
2021-2022学年浙江省金华市义乌市五校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．以下为四个银行的logo，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣ab2）4＝﹣16a4b6 B．（﹣a3）2﹣（a2）3＝0
C．﹣4a3b2÷2ab2＝﹣2a2b D．（a+2）2＝a2+4
3．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
5．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上．下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心
C．点O是△ABD的内心 D．点O是△ABD的外心
6．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝66°，则∠OAC的度数为（ ）
A．24° B．29° C．33° D．132°
7．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形
B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的面积之比为4꞉1
D．△ABC与△DEF的周长之比为4꞉1
8．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），下列结论中：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中：m≠1）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．在实数范围内分解因式：4x3y﹣4xy＝ ．
12．不透明的袋子里装有一个黑球，两个红球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中取出一个球，不放回，再取出一个球，记下颜色，两次摸出的球是一红一黑的概率是 ．
13．在不等式组的解集中，最大的整数解是 ．
14．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则该反比例函数的解析式为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ．
16．某小区为方便垃圾分类投放垃圾，通过招标选择了一种双层长方体垃圾桶，上层采用手动翻盖，下层采安装旋转出桶装置，如图所示．已知整体AB＝112cm，BC＝40cm，CP＝50cm，侧面如图1所示，EG为隔板，等分上下两层．下方内桶BCGH绕底部轴（CP）旋转打开，若点H恰好能卡在原来点G的位置，则内桶边BH的长度应设计为 cm；现将BH调整为40cm，打开最大角度时，点H卡在隔板上，如图2所示，可完全放入下方内桶的球体的直径不大于 cm．
三．解答题（共8小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题6分，22、23每小题6分，24小题12分，共66分.）
17．（1）计算：|﹣|+（）﹣1﹣+2cos30°．
（2）解方程：＝4．
18．已知a是方程x2+4x﹣1＝0的根，求代数式的值．
19．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
（1）如图1，A、B、C均为格点，请在网格内取格点D，使A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形；
（2）如图2，平行四边形ABCD中，E在BC边上，A、B、E均为格点，C、D在小正方形内部，请作出∠BCD的平分线；
（3）如图3，△ABC的顶点均为格点，请在AB上取中点D，作线段DE（E点在D点右侧），使DE⊥AC，DE＝AB．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我区开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，诵读活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）这次抽样调查的总人数为 ；
（2）若该校有1200名学生，估计选择参加书法的有 人；
（3）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数；
（4）学校准备从推荐的5位同学（两男三女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．
21．抗疫期间，全国人民众志成城，温州某商家决定将一个月的利润全部捐给当地医疗机构用于抗疫．该商家购进一批产品，成本10元/件，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为12元时，月销量1200件，售价每增加1元，月销量减少100件．设月销量y（件），线下售价x（元）．（12≤x≤24，且x为整数）
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上月销量固定为500件．当售价x为多少时，线上和线下的月利润总和最大？并求出最大利润．
22．如图，△ABC是以AB为直径的⊙O的内接三角形，BD与⊙O相切于点B，与AC的延长线交于点D，E是BD的中点，CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，2EF＝3BE．求BF的长和⊙O的半径．
23．已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．
①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；
②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．
24．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A，C两点的直线分别交x轴、y轴于点E，F，抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；
（3）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．以下为四个银行的logo，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣ab2）4＝﹣16a4b6 B．（﹣a3）2﹣（a2）3＝0
C．﹣4a3b2÷2ab2＝﹣2a2b D．（a+2）2＝a2+4
【分析】根据整式的加减运算、乘除运算、积的乘方以及完全平方公式即可求出答案．
解：A、原式＝a4b8，故A不符合题意．
B、原式＝a6﹣a6＝0，故B符合题意．
C、原式＝﹣2a2，故C不符合题意．
D、原式＝a2+4a+4，故D不合题意．
故选：B．
3．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
解：“阳马”的俯视图是一个矩形，还有一条看得见的棱，
故选：A．
4．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
【分析】利用众数、中位数的定义、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确，符合题意；
B、了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，因调查范围广，适合抽样调查，故错误，不符合题意；
C、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，因甲的方差小于乙的方差，所以甲的跳远成绩比乙稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、可能性是1%的事件在一次试验中不一定不会发生，故错误，不符合题意；
故选：A．
5．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上．下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心
C．点O是△ABD的内心 D．点O是△ABD的外心
【分析】根据三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心即可解决问题．
解：根据点A，B，C，D，O都在正方形网格的格点上．
可知：点O到点A，B，D三点的距离相等，
所以点O是△ABD的外心，
故选：D．
6．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝66°，则∠OAC的度数为（ ）
A．24° B．29° C．33° D．132°
【分析】根据圆周角定理，由∠B＝66°，可得∠AOC＝2∠B的度数，再由OA＝OC，根据等腰三角形的性质进行计算即可得出答案．
解：∵∠B＝66°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×66°＝132°，
∵OA＝OC，
∴＝＝24°．
故选：A．
7．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形
B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的面积之比为4꞉1
D．△ABC与△DEF的周长之比为4꞉1
【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出；△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
解：根据位似性质得出：A．△ABC与△DEF是位似图形，则A选项正确，不合题意；
B．△ABC与△DEF是相似图形，则B选项正确，不合题意；
∵将△ABC的三边缩小的原来的 ，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故D选项错误，符合题意；
根据面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，则C选项正确，不合题意．
故选：D．
8．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，AC＝5m，
由勾股定理得BD＝CE＝＝4（m），
故离门4米远的地方，门铃恰好自动响起．
故选：B．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），下列结论中：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中：m≠1）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①由开口向下得到a＜0，由对称轴在y轴右侧得到b＞0，由函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上得到c＞0，然后得到abc＜0；
②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0；
③由函数图象的对称轴为x＝1和x＝0时，y＞0得到x＝2时的函数值的正负；
④由函数图象的对称轴为x＝1得到a与b的关系，然后代入a﹣b+c中，即可得到2c与3b的关系；
⑤由函数图象的对称轴为x＝1和开口向下得到当x＝1时，函数值取得最大值，得到a+b+c＞m（am+b）+c，然后判断⑤．
解：①∵开口向下，对称轴在y轴右侧，函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；
③∵函数图象的对称轴为x＝1，
∴x＝0时和x＝2时的函数值相等，
∵x＝0时，y＞0，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；
④∵函数图象的对称轴为x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＝0，
∴﹣2a+2b﹣2c＝0，
∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＝0，故④错误，不符合题意；
⑤∵函数图象的对称轴为x＝1，开口向下，
∴当x＝1时，函数值取得最大值，
∴a+b+c＞m（am+b）+c，
∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，符合题意，
∴正确的结论有2个，
故选：A．
10．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】①证明∠DAE＝∠CDF，进而得∠DAF+∠ADG＝90°，便可判断①的正误；
②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EF∥CD，便可判断②的正误；
③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判断③的正误；
④证明EF＝ED＝，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误．
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝∠BDC＝45°，
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠DAF+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，即AG⊥DF，
故①结论正确；
②在△AGF和△AGD中，
，
∴△AGF≌△AGD（ASA），
∴GF＝GD，
∵AG⊥DF，
∴EF＝ED，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，
∴EF∥CD∥AB，
故②正确；
③∵△AGF≌△AGD（ASA），
∴AD＝AF＝AB，
故③正确；
④∵EF∥CD，
∴∠OEF＝∠ODC＝45°，
∵∠COD＝90°，
∴EF＝ED＝，
∴，
∴AB＝CD＝（+1）EF，
故④错误．
故选：C．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．在实数范围内分解因式：4x3y﹣4xy＝ 4xy（x+1）（x﹣1） ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
解：4x3y﹣4xy
＝4xy（x2﹣1）
＝4xy（x+1）（x﹣1）．
故答案为：4xy（x+1）（x﹣1）．
12．不透明的袋子里装有一个黑球，两个红球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中取出一个球，不放回，再取出一个球，记下颜色，两次摸出的球是一红一黑的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中两次摸出的球是一红一黑的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两次摸出的球是一红一黑的结果有4种，
∴两次摸出的球是一红一黑的概率为＝，
故答案为：．
13．在不等式组的解集中，最大的整数解是 x＝4 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
解：，
解不等式①，得x≥2，
解不等式②，得x≤，
所以不等式组的解集是2≤x≤，
所以最大整数解是4，
故答案为：x＝4．
14．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则该反比例函数的解析式为 y＝﹣ ．
【分析】设反比例函数的解析式为y＝，点A的坐标为（x，y），根据三角形的面积求出xy＝﹣4，即可得出答案．
解：设反比例函数的解析式为y＝，点A的坐标为（x，y），
∵A点在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∵AB⊥y轴，点P在x轴上，△ABP的面积为2，
∴×（﹣x）×y＝2，
即xy＝﹣4，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ．
【分析】如图，设MN交CQ于点K．首先证明AB＝BQ＝2，QK＝CK＝KG＝2，推出AQ＝QG＝2，AG＝4，再利用平行线分线段成比例定理求出MK，OG即可．
解：如图，设MN交CQ于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝2，∠BAD＝∠ABC＝90°，
由作图可知AQ平分∠BAD，
∴∠BAQ＝∠DAQ＝45°，
∴AB＝BQ＝2，CQ＝BC﹣BQ＝4，
由作图可知MN垂直平分线段CQ，
∴QK＝CK＝2，
∵∠AQB＝∠GQK＝45°，
∴AQ＝2，QG＝2，
∴AG＝4，
∵MK∥CD，
∴＝，
∴＝，
∴MK＝，
∴GM＝MK+KG＝，
∵AB∥GM，
∴＝＝＝，
∴OG＝AG＝．
故答案为：．
16．某小区为方便垃圾分类投放垃圾，通过招标选择了一种双层长方体垃圾桶，上层采用手动翻盖，下层采安装旋转出桶装置，如图所示．已知整体AB＝112cm，BC＝40cm，CP＝50cm，侧面如图1所示，EG为隔板，等分上下两层．下方内桶BCGH绕底部轴（CP）旋转打开，若点H恰好能卡在原来点G的位置，则内桶边BH的长度应设计为 16 cm；现将BH调整为40cm，打开最大角度时，点H卡在隔板上，如图2所示，可完全放入下方内桶的球体的直径不大于 33.6 cm．
【分析】如图1中，连接CH，过点H作HT⊥CG于T，z则四边形BCTH是矩形．利用勾股定理求出CT．如图2中，连接CH，过点G作GJ⊥CG′于J，过点B′作B′M⊥GH于M交BC于N．求出sin∠BCB′，再证明∠GCG′＝∠BCB′，求出GJ，可得结论．
解：如图1中，连接CH，过点H作HT⊥CG于T，则四边形BCTH是矩形．
∵CG＝CH＝CD＝AB＝56（cm），HT＝BC＝40cm，
∴BH＝CT＝＝＝16（cm），
如图2中，连接CH，过点G作GJ⊥CG′于J，过点B′作B′M⊥GH于M交BC于N．
∵∠HMB′＝∠B′NC＝∠CB′H＝90°，
∴∠B′HM+∠HB′M＝90°，∠HB′M+∠CB′N＝90°，
∴∠B′HM＝∠CB′N，
在△B′MH和△CNB′中，
，
∴△B′MH≌△CNB′（AAS），
∴MH＝NB′，MB′＝CN，
∵CH＝40cm，CG＝56cm，
∴HG＝＝＝8，
设HM＝x，则CN＝MB′＝x+8，
在Rt△MHB′中，则有x2+（x+8）2＝402，
∴x＝24（负值舍去），
∴CN＝32（cm），NB′＝24（cm），
∴tan∠BCB′＝＝，
∵∠B′CG′＝∠BCG＝90°，
∴∠GCG′＝∠BCB′，
∴tan∠GCG′＝，
∴sin∠GCG′＝，
∴GJ＝CG•sin∠GCG′＝56×＝33.6（cm），
∴可完全放入下方内桶的球体的直径不大于33.6cm，
故答案为：16，33.6．
三．解答题（共8小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题6分，22、23每小题6分，24小题12分，共66分.）
17．（1）计算：|﹣|+（）﹣1﹣+2cos30°．
（2）解方程：＝4．
【分析】（1）先根据绝对值，负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）方程两边都乘2x﹣3得出x﹣5＝4（2x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可．
解：（1）|﹣|+（）﹣1﹣+2cos30°．
＝+2﹣2+2×
＝+2﹣2+
＝2；
（2）＝4，
﹣＝4，
方程两边都乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣3≠0，
所以x＝1是原方程的解，
即原方程的解是x＝1．
18．已知a是方程x2+4x﹣1＝0的根，求代数式的值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知方程整理后代入计算即可求出值．
解：∵a是方程x2+4x﹣1＝0的根，
∴a2+4a﹣1＝0，即a（a+4）＝1，
则原式＝÷＝•＝＝．
19．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
（1）如图1，A、B、C均为格点，请在网格内取格点D，使A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形；
（2）如图2，平行四边形ABCD中，E在BC边上，A、B、E均为格点，C、D在小正方形内部，请作出∠BCD的平分线；
（3）如图3，△ABC的顶点均为格点，请在AB上取中点D，作线段DE（E点在D点右侧），使DE⊥AC，DE＝AB．
【分析】（1）根据平行四边形的性质：对边分别平行即可找到格点D，D'，即可作出图形；
（2）连接AE，得出AE平分∠BAD，连接BD交AE于O，再连接并延长交AD于D，连接CF，即可作出图形；
（3）取格点F，G，连接FG交网格线于D，再取格点M，N，连接MF，GN，确定出点E，即为所求作．
解：（1）如图1所示，点D，D'为所求作的图形；
（2）如图2所示，CF即为所求作的图形；
（3）如图3所示，点E即为所求作的图形．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我区开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，诵读活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）这次抽样调查的总人数为 200 ；
（2）若该校有1200名学生，估计选择参加书法的有 240 人；
（3）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数；
（4）学校准备从推荐的5位同学（两男三女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．
【分析】（1）由参加唱歌的人数和所占百分比求出这次抽样调查的总人数；
（2）由该校学生人数乘以参加书法的学生所占的比例即可；
（3）用总人数减去其他人数，求出舞蹈的人数，再补全统计图；用360°乘以“诵读”的学生所占的百分比即可得出“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数；
（4）画树状图，共有20种等可能的结果，恰为一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
解：（1）这次抽样调查的总人数为：80÷40%＝200（人），
故答案为：200；
（2）估计选择参加书法的有：1200×＝240（人），
故答案为：240；
（3）参加舞蹈”的学生人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），
则，“诵读”的学生人数所在扇形的圆心角的度数：360°×＝36°，
补全统计图如下：
（4）画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰为一男一女的结果有12种，
∴恰为一男一女的概率为＝．
21．抗疫期间，全国人民众志成城，温州某商家决定将一个月的利润全部捐给当地医疗机构用于抗疫．该商家购进一批产品，成本10元/件，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为12元时，月销量1200件，售价每增加1元，月销量减少100件．设月销量y（件），线下售价x（元）．（12≤x≤24，且x为整数）
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上月销量固定为500件．当售价x为多少时，线上和线下的月利润总和最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据月销量＝1200﹣月销量减少件数求解．
（2）根据月利润总和＝线上利润+线下利润列出利润总和与x的关系，解析式化为顶点式求解．
解：（1）根据题意得：y＝1200﹣100（x﹣12）＝﹣100x+2400，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+2400；
（2）①设线上和线下的月利润总和为w元，
则w＝500（x﹣10﹣2）+y（x﹣10）
＝500x﹣6000+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100x2+3900x﹣30000，
＝﹣100（x﹣）2+8025，
∵﹣100＜0，12≤x≤24，且x为整数，
∴当x＝19或20时，w有最大值，最大值为8000，
∴当x为19或20时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为8000元．
22．如图，△ABC是以AB为直径的⊙O的内接三角形，BD与⊙O相切于点B，与AC的延长线交于点D，E是BD的中点，CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，2EF＝3BE．求BF的长和⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠ABD＝90°，根据直角三角形的性质得到BE＝CE，求得∠BCE＝∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，求得∠OCE＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到BE＝CE＝BD＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴∠ABD＝90°，
∴∠CBE+∠OBC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCD＝90°，
∵E是BD中点，
∴BE＝CE，
∴∠BCE＝∠CBE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCE+∠OCB＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵BD＝4，∠BCD＝90°，点E是BD中点，
∴BE＝CE＝BD＝2，
∵2EF＝3BE，
∴EF＝3，
在Rt△FBE中，BF＝＝，
由（1）得∠OCF＝∠ABD＝90°，
设OC＝x，则OF＝BF﹣OB＝﹣x，
∵OF2﹣OC2＝FC2，
∴（﹣x）2﹣x2＝12，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为．
23．已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．
①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；
②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．
【分析】（1）证明△DAE≌△DCF（ASA），可得结论．
（2）①证明△DAE≌△DCF（ASA），可得结论．
②如图2中，连接AC交DE于点O，过点D作DK⊥EC于点K，DJ⊥EA交EA的延长线于点J．利用全等三角形的性质证明EJ＝EK，AJ＝CK，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
（2）①（1）中的结论AE＝CF还成立．
证明：如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠DCF+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
②解：结论：EA+EC＝DE．
理由：如图2中，连接AC交DE于点O，过点D作DK⊥EC于点K，DJ⊥EA交EA的延长线于点J．
∵四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAO＝∠OEC＝45°，
∵∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴，
∴．
∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AOE∽△DOC，
∴∠AEO＝∠DCO＝45°，
∴∠DEJ＝∠DEK，
∵∠J＝∠DKE＝90°，ED＝ED，
∴△EDJ≌△EDK（AAS），
∴EJ＝EK，DJ＝DK，
∵∠J＝∠DKC＝90°，DJ＝DK，DA＝DC，
∴Rt△DJA≌Rt△DKC（HL），
∴AJ＝CK，
∴EA+EC＝EJ﹣AJ+EK+CK＝2EJ，
∵DE＝EJ，
∴EA+EC＝DE．
24．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A，C两点的直线分别交x轴、y轴于点E，F，抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；
（3）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据Rt△AOB≌Rt△OCD，可得出C（4，2），再运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．设G点的横坐标为m（0＜m＜4），则G（m，﹣）．运用待定系数法求出直线OC的解析式为y＝x，得出GK＝﹣m2+3m，进而得出S△GOC＝﹣（m﹣2）2+6，
运用二次函数的性质可求得答案；
（3）如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T，先证明Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），得出AR＝BT，设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则M（t，﹣），P（t，），进而可得：AR＝|4﹣（﹣t2+t）|，BT＝t，建立方程求解即可．
解：（1）∵A（2，4），
∴OB＝2，AB＝4，
∵Rt△AOB≌Rt△OCD，
∴OD＝AB＝4，CD＝OB＝2，
∴C（4，2），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x；
（2）如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．
令G点的横坐标为m（0＜m＜4），则G（m，﹣）．
设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，2），代入得：4k＝2，
解得：k＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
∴K（m，），
∴GK＝﹣m2+m﹣m＝﹣m2+3m，
∴S△GOC＝S△GOK+S△GKC
＝×（﹣m2+3m）
＝﹣6m
＝﹣（m﹣2）2+6，
∴当m＝2时，S△GOC的值最大为6，此时GH的值为最大，
∵OC＝＝2，
∴2GH＝6，
∴GH＝，
∴G点到直线OC的最大距离为，此时G（2，4）；
（3）存在．如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T，
∴∠ARM＝∠MRT＝∠PTR＝∠BTP＝90°，
∴MR∥PT，
由题意：MN∥AB，
∴四边形MPTR是矩形，
∴MR＝PT，
∵AM＝BP，
∴Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），
∴AR＝BT，
设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则M（t，﹣）．
由（2）知：直线OC的解析式为y＝x，则P（t，），
∴AR＝|4﹣（﹣t2+t）|，BT＝t，
∴|4﹣（﹣t2+t）|＝t，
当＝t时，解得：t1＝，t2＝4（舍），
当＝t时，无实数解．
∴t＝，此时P（，），
∴P点的坐标为（，）．
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