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浙江省绍兴市柯桥区2022-2023学年八年级（上）月考数学试卷（10月份）(解析版)
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这是一份浙江省绍兴市柯桥区2022-2023学年八年级（上）月考数学试卷（10月份）(解析版)，共29页。试卷主要包含了下列图案中，是轴对称图形的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省绍兴市柯桥区八年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一．选择题（每小题2分，共20分）
1．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．5，5，11 C．1，2，3 D．3，7，4
3．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝45°，∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝40° D．∠1＝40°，∠2＝40°
4．在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，有一部分同学画出下列四种图形，请你判断一下，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠DAC，添加一个条件后不能保证△BAC≌△DCA的是（ ）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．AD＝BC
6．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1 B．1.5 C．2 D．3
8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
9．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二．填空题（每小题3分，共30分）
11．命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是 命题（填“真”或“假”）
12．已知一个等腰三角形两边分别为4和6，那么这个等腰三角形的周长为 ．
13．工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是 ．
14．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是 ．
15．将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝ 度．
16．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．
18．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 ．
19．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F．若BE＝AC，BF＝9，CF＝6，则AF的长度为 ．
20．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤OC平分∠AOE．一定成立的结论有 ．
三．解答题（共50分）
21．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF．
求证：（1）AF＝DE；
（2）AF∥DE．
22．两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．
23．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC②AD＝AE③∠1＝∠2 ④BD＝CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个正确的结论（要求写出已知，求证及证明过程）
24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，求∠DAE的度数．
25．如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，
（1）求∠BFC的度数．
（2）求证：BC＝BE+CD．
26．如图，△ABC与△ADE都是等边三角形（三条边都相等，三个内角都相等的三角形），连接BD、CE交点记为点F．
（1）BD与CE相等吗？请说明理由．
（2）你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗？
（3）若将已知条件改为：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连接BE、DG，交点记为点M（如图）．请直接写出线段BE和DG之间的关系？
27．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从C点出发，点P以原来的运动速度从B点同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇．
参考答案
一．选择题（每小题2分，共20分）
1．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．5，5，11 C．1，2，3 D．3，7，4
【分析】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
解：由2，3，4可得，2+3＞4，故能组成三角形；
由5，5，11可得，5+5＜11，故不能组成三角形；
由1，2，3可得，1+2＝3，故不能组成三角形；
由3，7，4可得，3+4＝7，故不能组成三角形；
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
3．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝45°，∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝40° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
解：当∠1＝50°，∠2＝40°时，有∠1+∠2＝90°，但∠1≠∠2”，
所以∠1＝50°，∠2＝40°可作为说明原命题是假命题的反例．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，有一部分同学画出下列四种图形，请你判断一下，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念直接观察图形进行判断即可得出答案．
解：AC边上的高应该是过B作垂线段AC，符合这个条件的是C；
A，B，D都不过B点，故错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用基本作图做三角形高的方法，比较简单．
5．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠DAC，添加一个条件后不能保证△BAC≌△DCA的是（ ）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．AD＝BC
【分析】由于∠ACB＝∠DAC，加上公共边AC，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：∵∠ACB＝∠DAC，AC＝CA，
∴当添加AB∥CD时，∠BAC＝∠DCA，则可根据“ASA”判断△BAC≌△DCA；
当添加∠B＝∠D时，则可根据“AAS”判断△BAC≌△DCA；
当添加AD＝BC时，则可根据“SAS”判断△BAC≌△DCA．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】根据题目所给条件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC．
解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
7．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【分析】（1）根据三角形中线的性质，先求得△ADC的面积，再求得△CDE的面积，即可求得△AEF的面积．
解：∵S△ABC＝12cm2，D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×12＝6（cm2），
∵E为AD的中点，
∴S△AEC＝S△ADC＝×6＝3（cm2），
∵F为EC的中点，
∴S△AEF＝S△AEC＝×3＝1.5（cm2），
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【分析】根据三角形的内角和为180°以及四边形的内角和为360°得到几个角之间的等量关系，整理化简即可得到所求角之间的关系．
解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；
在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；
在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；
∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
9．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可．
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
AP+BP的最小值是4．
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
10．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9．
故选：B．
【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
二．填空题（每小题3分，共30分）
11．命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是 假 命题（填“真”或“假”）
【分析】根据全等三角形的判定进行判断．
解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
12．已知一个等腰三角形两边分别为4和6，那么这个等腰三角形的周长为 14或16 ．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
解：（1）当等腰三角形的腰为4，底为6时，4，4，6能够组成三角形，此时周长为4+4+6＝14．
（2）当等腰三角形的腰为6，底为4时，4，6，6能够组成三角形，此时周长为6+6+4＝16．
则这个等腰三角形的周长是14或16．
故答案为：14或16．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是 三角形的稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
解：这样做的依据是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
14．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是 ∠ACB＝∠DBC（或AB＝CD） ．
【分析】要使△ABC≌△DCB，根据三角形全等的判定方法添加适合的条件即可．
解：∵AC＝BD，BC＝BC，
∴可添加∠ACB＝∠DBC或AB＝CD分别利用SAS，SSS判定△ABC≌△DCB．
故答案为：∠ACB＝∠DBC（或AB＝CD）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
15．将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝ 75 度．
【分析】根据三角形的内角和为180°，即可得出∠α的度数．
解：∵∠1＝45°，∠2＝60°，
∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为75．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中．
16．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为 80°或50°或130° ．
【分析】等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为40°，根据直角三角形两锐角互余求出底角的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．
解：如图，
∵一腰上的高与底边的夹角为40°，
∴底角∠C＝90°﹣40°＝50°，
∴顶角∠A＝180°﹣2×50°＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80°．如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故答案为：80°或50°或130°．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，需要注意等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为40°中等腰三角形是钝角三角形时不成立．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 19 cm．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．
故答案为19．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
18．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 2：3：4 ．
【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．
解：
过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝20，BC＝30，AC＝40，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝2：3：4．
故答案为：2：3：4．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．
19．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F．若BE＝AC，BF＝9，CF＝6，则AF的长度为 ．
【分析】延长AD到G使DG＝AD，连接BG，通过SAS证明△ACD≌△GBD，根据全等三角形的性质可得到∠CAD＝∠G，AC＝BG，等量代换得到BE＝BG，由等腰三角形的性质得到∠G＝∠BEG，推出EF＝AF即可得解决问题．
解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD与△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，
∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠G＝∠BEG，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAF．
∴EF＝AF，
∴AF+CF＝BF﹣AF，
即AF+6＝9﹣AF，
∴AF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤OC平分∠AOE．一定成立的结论有 ①②③⑤ ．
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE，可知①正确；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，加之∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ＝60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；
④根据∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；
⑤由BC∥DE，得到∠CBE＝∠BED，由∠CBE＝∠DAE，得到∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，同理可得出∠AOE＝120°，∠OAC＝∠OCD，求出∠DCE＝∠AOC＝60°，可知⑤正确．
解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴①正确，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠DAC，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，即∠ACP＝∠BCQ，
又∵AC＝BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE②正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP＝BQ③正确，
∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，
即DP＝QE，
∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④错误；
∵∠BAP+∠CAP+∠ABP＝120°，
又∵∠CAP＝∠CBQ，
∴∠BAP+∠CBQ+∠ABP＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠DOE＝∠DCE＝60°
∴D，O，C，E四点共圆，
∴∠OCD＝∠OED，∠ODC＝∠OEC，
∵∠OED+∠OEC＝60°，
∴∠OCD+∠ODC＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COE＝∠AOC＝60°，
∴OC平分∠AOE，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键．
三．解答题（共50分）
21．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF．
求证：（1）AF＝DE；
（2）AF∥DE．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠AFB＝∠DEC，证出∠AFE＝∠DEF，由平行线的判定可得出结论．
【解答】证明：（1）如图，∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
∵在△ABF与△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AF＝DE；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠AFB+∠AFE＝180°，∠DEC+∠DEF＝180°，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
【点评】本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△DCE是解题的关键．
22．两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．
【分析】依据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，即可得到点O的位置．
解：如图，点O即为所求．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
23．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC②AD＝AE③∠1＝∠2 ④BD＝CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个正确的结论（要求写出已知，求证及证明过程）
【分析】有两种情形①②③⇒④或①②④⇒③．根据SASH或SSS即可证明．
解：a、在△ABD和△ACE中，已知①AB＝AC②AD＝AE③∠1＝∠2 求证：④BD＝CE．
理由：∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE．
b、在△ABD和△ACE中，已知①AB＝AC②AD＝AE④BD＝CE，求证③∠1＝∠2．
理由：在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．
24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，求∠DAE的度数．
【分析】先根据△ABC各角的比求出∠BAC，∠B，∠C的度数，再利用AD⊥BC求出∠BAD的度数，利用AE平分∠BAC求出∠BAE的度数，利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD解答即可．
解：在△ABC中，
∵∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，
∴∠BAC＝180°×＝80°，∠B＝180°×＝60°，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，角平分线的定义是解题的关键．
25．如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，
（1）求∠BFC的度数．
（2）求证：BC＝BE+CD．
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠FBC+∠FCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
（2）在BC上取一点O使得BO＝BE，易证∠BFE＝∠CFD＝60°，即可证明△BFE≌△BFO，可得∠BFO＝∠BFE＝60°，即可证明△OCF≌△DCF，可得CO＝CD，根据BC＝BO+OC即可证明．
解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝60°，
在△BCF中，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣60°＝120°．
（2）证明：在BC上取一点O，使得BO＝BE，
∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BFC＝120°，
∴∠BFE＝∠CFD＝60°，
在△BFE和△BFO中，
，
∴△BFE≌△BFO，（SAS）
∴∠BFO＝∠BFE＝60°，
∴∠CFO＝∠BFC﹣∠BFO＝60°，
在△OCF和△DCF中，
，
∴△OCF≌△DCF（ASA），
∴CO＝CD，
∵BC＝BO+CO，
∴BC＝BE+CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质性质、三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．如图，△ABC与△ADE都是等边三角形（三条边都相等，三个内角都相等的三角形），连接BD、CE交点记为点F．
（1）BD与CE相等吗？请说明理由．
（2）你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗？
（3）若将已知条件改为：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连接BE、DG，交点记为点M（如图）．请直接写出线段BE和DG之间的关系？
【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，求出∠BAD＝∠CAE，证出△BAD≌△CAE即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ABD＝∠ACE，根据三角形的内角和定理得出∠ABD+∠BAH+∠AHB＝∠ACE+∠HFC+∠FHC＝180°即可得出∠HFC＝∠BAH＝60°；
（3）根据正方形性质得出AB﹣AD，AE＝AG，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根据SAS证△BAE≌△DAG即可．
解：（1）BD＝CE，
理由是：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE 中
∴△BAD≌△CAE （边角边 ），
∴BD＝CE；
（2）设BD与AC相交于点H
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠BAH+∠AHB＝∠ACE+∠HFC+∠FHC＝180°
又∵∠AHB＝∠FHC，
∴∠HFC＝∠BAH＝60°，
即BD与CE的夹角∠BFC为60°，
（3）线段BE和DG之间的关系是BE＝DG，BE⊥DG．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，正方形的性质，等边三角形的性质等知识点的综合应用．
27．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从C点出发，点P以原来的运动速度从B点同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇．
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等；
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）由题意列出方程，可求解．
解：（1）①△BPD与△CQP全等，
理由如下：依题意，BP＝CQ＝3，PC＝8﹣3＝5，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
∵AB＝10，D为AB的中点，
∴BD＝PC＝5，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
②）∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝5cm，
∴点P，点Q运动的时间t＝＝秒，
∴vQ＝＝＝（厘米/秒）；
（2）设Q点ts追上P点，则（﹣3）t＝2×10，
∴t＝s，
∴SQ＝×＝100＝3×28+16，
∴P、Q第一次在边AB上（距离A 6cm处）相遇．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质．解题时，主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．
2022-2023学年浙江省绍兴市柯桥区八年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一．选择题（每小题2分，共20分）
1．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．5，5，11 C．1，2，3 D．3，7，4
3．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝45°，∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝40° D．∠1＝40°，∠2＝40°
4．在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，有一部分同学画出下列四种图形，请你判断一下，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠DAC，添加一个条件后不能保证△BAC≌△DCA的是（ ）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．AD＝BC
6．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1 B．1.5 C．2 D．3
8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
9．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二．填空题（每小题3分，共30分）
11．命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是 命题（填“真”或“假”）
12．已知一个等腰三角形两边分别为4和6，那么这个等腰三角形的周长为 ．
13．工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是 ．
14．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是 ．
15．将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝ 度．
16．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．
18．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 ．
19．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F．若BE＝AC，BF＝9，CF＝6，则AF的长度为 ．
20．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤OC平分∠AOE．一定成立的结论有 ．
三．解答题（共50分）
21．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF．
求证：（1）AF＝DE；
（2）AF∥DE．
22．两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．
23．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC②AD＝AE③∠1＝∠2 ④BD＝CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个正确的结论（要求写出已知，求证及证明过程）
24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，求∠DAE的度数．
25．如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，
（1）求∠BFC的度数．
（2）求证：BC＝BE+CD．
26．如图，△ABC与△ADE都是等边三角形（三条边都相等，三个内角都相等的三角形），连接BD、CE交点记为点F．
（1）BD与CE相等吗？请说明理由．
（2）你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗？
（3）若将已知条件改为：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连接BE、DG，交点记为点M（如图）．请直接写出线段BE和DG之间的关系？
27．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从C点出发，点P以原来的运动速度从B点同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇．
参考答案
一．选择题（每小题2分，共20分）
1．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．5，5，11 C．1，2，3 D．3，7，4
【分析】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
解：由2，3，4可得，2+3＞4，故能组成三角形；
由5，5，11可得，5+5＜11，故不能组成三角形；
由1，2，3可得，1+2＝3，故不能组成三角形；
由3，7，4可得，3+4＝7，故不能组成三角形；
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
3．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝45°，∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝40° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
解：当∠1＝50°，∠2＝40°时，有∠1+∠2＝90°，但∠1≠∠2”，
所以∠1＝50°，∠2＝40°可作为说明原命题是假命题的反例．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，有一部分同学画出下列四种图形，请你判断一下，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念直接观察图形进行判断即可得出答案．
解：AC边上的高应该是过B作垂线段AC，符合这个条件的是C；
A，B，D都不过B点，故错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用基本作图做三角形高的方法，比较简单．
5．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠DAC，添加一个条件后不能保证△BAC≌△DCA的是（ ）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．AD＝BC
【分析】由于∠ACB＝∠DAC，加上公共边AC，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：∵∠ACB＝∠DAC，AC＝CA，
∴当添加AB∥CD时，∠BAC＝∠DCA，则可根据“ASA”判断△BAC≌△DCA；
当添加∠B＝∠D时，则可根据“AAS”判断△BAC≌△DCA；
当添加AD＝BC时，则可根据“SAS”判断△BAC≌△DCA．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】根据题目所给条件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC．
解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
7．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【分析】（1）根据三角形中线的性质，先求得△ADC的面积，再求得△CDE的面积，即可求得△AEF的面积．
解：∵S△ABC＝12cm2，D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×12＝6（cm2），
∵E为AD的中点，
∴S△AEC＝S△ADC＝×6＝3（cm2），
∵F为EC的中点，
∴S△AEF＝S△AEC＝×3＝1.5（cm2），
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【分析】根据三角形的内角和为180°以及四边形的内角和为360°得到几个角之间的等量关系，整理化简即可得到所求角之间的关系．
解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；
在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；
在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；
∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
9．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可．
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
AP+BP的最小值是4．
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
10．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9．
故选：B．
【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
二．填空题（每小题3分，共30分）
11．命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是 假 命题（填“真”或“假”）
【分析】根据全等三角形的判定进行判断．
解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
12．已知一个等腰三角形两边分别为4和6，那么这个等腰三角形的周长为 14或16 ．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
解：（1）当等腰三角形的腰为4，底为6时，4，4，6能够组成三角形，此时周长为4+4+6＝14．
（2）当等腰三角形的腰为6，底为4时，4，6，6能够组成三角形，此时周长为6+6+4＝16．
则这个等腰三角形的周长是14或16．
故答案为：14或16．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是 三角形的稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
解：这样做的依据是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
14．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是 ∠ACB＝∠DBC（或AB＝CD） ．
【分析】要使△ABC≌△DCB，根据三角形全等的判定方法添加适合的条件即可．
解：∵AC＝BD，BC＝BC，
∴可添加∠ACB＝∠DBC或AB＝CD分别利用SAS，SSS判定△ABC≌△DCB．
故答案为：∠ACB＝∠DBC（或AB＝CD）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
15．将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝ 75 度．
【分析】根据三角形的内角和为180°，即可得出∠α的度数．
解：∵∠1＝45°，∠2＝60°，
∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为75．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中．
16．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为 80°或50°或130° ．
【分析】等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为40°，根据直角三角形两锐角互余求出底角的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．
解：如图，
∵一腰上的高与底边的夹角为40°，
∴底角∠C＝90°﹣40°＝50°，
∴顶角∠A＝180°﹣2×50°＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80°．如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故答案为：80°或50°或130°．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，需要注意等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为40°中等腰三角形是钝角三角形时不成立．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 19 cm．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．
故答案为19．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
18．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 2：3：4 ．
【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．
解：
过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝20，BC＝30，AC＝40，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝2：3：4．
故答案为：2：3：4．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．
19．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F．若BE＝AC，BF＝9，CF＝6，则AF的长度为 ．
【分析】延长AD到G使DG＝AD，连接BG，通过SAS证明△ACD≌△GBD，根据全等三角形的性质可得到∠CAD＝∠G，AC＝BG，等量代换得到BE＝BG，由等腰三角形的性质得到∠G＝∠BEG，推出EF＝AF即可得解决问题．
解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD与△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，
∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠G＝∠BEG，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAF．
∴EF＝AF，
∴AF+CF＝BF﹣AF，
即AF+6＝9﹣AF，
∴AF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤OC平分∠AOE．一定成立的结论有 ①②③⑤ ．
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE，可知①正确；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，加之∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ＝60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；
④根据∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；
⑤由BC∥DE，得到∠CBE＝∠BED，由∠CBE＝∠DAE，得到∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，同理可得出∠AOE＝120°，∠OAC＝∠OCD，求出∠DCE＝∠AOC＝60°，可知⑤正确．
解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴①正确，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠DAC，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，即∠ACP＝∠BCQ，
又∵AC＝BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE②正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP＝BQ③正确，
∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，
即DP＝QE，
∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④错误；
∵∠BAP+∠CAP+∠ABP＝120°，
又∵∠CAP＝∠CBQ，
∴∠BAP+∠CBQ+∠ABP＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠DOE＝∠DCE＝60°
∴D，O，C，E四点共圆，
∴∠OCD＝∠OED，∠ODC＝∠OEC，
∵∠OED+∠OEC＝60°，
∴∠OCD+∠ODC＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COE＝∠AOC＝60°，
∴OC平分∠AOE，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键．
三．解答题（共50分）
21．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF．
求证：（1）AF＝DE；
（2）AF∥DE．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠AFB＝∠DEC，证出∠AFE＝∠DEF，由平行线的判定可得出结论．
【解答】证明：（1）如图，∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
∵在△ABF与△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AF＝DE；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠AFB+∠AFE＝180°，∠DEC+∠DEF＝180°，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
【点评】本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△DCE是解题的关键．
22．两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．
【分析】依据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，即可得到点O的位置．
解：如图，点O即为所求．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
23．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC②AD＝AE③∠1＝∠2 ④BD＝CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个正确的结论（要求写出已知，求证及证明过程）
【分析】有两种情形①②③⇒④或①②④⇒③．根据SASH或SSS即可证明．
解：a、在△ABD和△ACE中，已知①AB＝AC②AD＝AE③∠1＝∠2 求证：④BD＝CE．
理由：∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE．
b、在△ABD和△ACE中，已知①AB＝AC②AD＝AE④BD＝CE，求证③∠1＝∠2．
理由：在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．
24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，求∠DAE的度数．
【分析】先根据△ABC各角的比求出∠BAC，∠B，∠C的度数，再利用AD⊥BC求出∠BAD的度数，利用AE平分∠BAC求出∠BAE的度数，利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD解答即可．
解：在△ABC中，
∵∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，
∴∠BAC＝180°×＝80°，∠B＝180°×＝60°，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，角平分线的定义是解题的关键．
25．如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，
（1）求∠BFC的度数．
（2）求证：BC＝BE+CD．
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠FBC+∠FCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
（2）在BC上取一点O使得BO＝BE，易证∠BFE＝∠CFD＝60°，即可证明△BFE≌△BFO，可得∠BFO＝∠BFE＝60°，即可证明△OCF≌△DCF，可得CO＝CD，根据BC＝BO+OC即可证明．
解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝60°，
在△BCF中，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣60°＝120°．
（2）证明：在BC上取一点O，使得BO＝BE，
∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BFC＝120°，
∴∠BFE＝∠CFD＝60°，
在△BFE和△BFO中，
，
∴△BFE≌△BFO，（SAS）
∴∠BFO＝∠BFE＝60°，
∴∠CFO＝∠BFC﹣∠BFO＝60°，
在△OCF和△DCF中，
，
∴△OCF≌△DCF（ASA），
∴CO＝CD，
∵BC＝BO+CO，
∴BC＝BE+CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质性质、三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．如图，△ABC与△ADE都是等边三角形（三条边都相等，三个内角都相等的三角形），连接BD、CE交点记为点F．
（1）BD与CE相等吗？请说明理由．
（2）你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗？
（3）若将已知条件改为：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连接BE、DG，交点记为点M（如图）．请直接写出线段BE和DG之间的关系？
【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，求出∠BAD＝∠CAE，证出△BAD≌△CAE即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ABD＝∠ACE，根据三角形的内角和定理得出∠ABD+∠BAH+∠AHB＝∠ACE+∠HFC+∠FHC＝180°即可得出∠HFC＝∠BAH＝60°；
（3）根据正方形性质得出AB﹣AD，AE＝AG，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根据SAS证△BAE≌△DAG即可．
解：（1）BD＝CE，
理由是：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE 中
∴△BAD≌△CAE （边角边 ），
∴BD＝CE；
（2）设BD与AC相交于点H
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠BAH+∠AHB＝∠ACE+∠HFC+∠FHC＝180°
又∵∠AHB＝∠FHC，
∴∠HFC＝∠BAH＝60°，
即BD与CE的夹角∠BFC为60°，
（3）线段BE和DG之间的关系是BE＝DG，BE⊥DG．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，正方形的性质，等边三角形的性质等知识点的综合应用．
27．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从C点出发，点P以原来的运动速度从B点同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇．
【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等；
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）由题意列出方程，可求解．
解：（1）①△BPD与△CQP全等，
理由如下：依题意，BP＝CQ＝3，PC＝8﹣3＝5，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
∵AB＝10，D为AB的中点，
∴BD＝PC＝5，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
②）∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝5cm，
∴点P，点Q运动的时间t＝＝秒，
∴vQ＝＝＝（厘米/秒）；
（2）设Q点ts追上P点，则（﹣3）t＝2×10，
∴t＝s，
∴SQ＝×＝100＝3×28+16，
∴P、Q第一次在边AB上（距离A 6cm处）相遇．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质．解题时，主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．
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