2023年广东省深圳市宝安中学九年级下学期中考二模数学试题

2023年广东省深圳市宝安中学九年级下学期中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列实数中，比3大的数是（    ）

A．5 B．1 C．0 D．－2

2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列算式中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．今年1月，深圳召开全市高质量发展大会，同时举行首批266个重大项目开工活动，预计本年度计划投资约535.6亿元，以高质量投资助力高质量发展．亿用科学记数法表示（  ）

A． B． C． D．

5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE＝4．则四边形BDEC的面积为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16

6．下列命题是真命题的是（    ）

A．四边相等的四边形是正方形 B．物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的

C．如果，则 D．有一个角为120°的两个等腰三角形相似

7．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）

A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3

8．如图所示，满足函数和的大致图象是（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

9．如图，的直径的延长线与过点B的切线相交于点D，点C为上一点，且，则的度数是（    ）

A．60° B．50° C．40° D．30°

10．如图，射线都垂直于线段，E为上一动点，于点F，交于点C，于点D，设，设时，k的值为（    ）

A．1 B． C． D．不存在

二、填空题

11．因式分解：=_______________.

12．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为________．

13．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则计算出树的高度是__________米．

14．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF＝4，则k的值为_______．

15．在中，，，点D是的中点，点P是内一点，且，连接是的中点，则的最小值是__________．

三、解答题

16．计算：．

17．化简分式：，并当代入求值．

18．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：背年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽取了____________名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；

(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.

19．如图，在平行四边形中，，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，求四边形的面积．

20．学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．

(1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元；

(2)若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用最低时的购买方案？

21．如图1，对于平面上小于或等于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边上，作于点，于点F，则将称为点P与的“点角距”，记作．如图2，在平面直角坐标系中，x、y正半轴所组成的角记为．

(1)已知点、点，则 ， ．

(2)若点P为内部或边上的动点，且满足，在图2中画出点P运动所形成的图形．

(3)如图3，在平面直角坐标系中，射线的函数关系式为．抛物线经过，与射线交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当取最大值时点Q的坐标．

22．【基础巩固】

(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，，交于点G，求证：．

【尝试应用】

(2)如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的值．

【拓展提高】

(3)如图3，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．

参考答案：

1．A

【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可．

【详解】解：因为－2＜0＜1＜3＜5，

所以比3大的数是5，

故选：A．

【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键．

2．B

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；

B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误；

D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，

3．B

【分析】根据完全平方公式、合并同类项、幂的运算法则逐个计算排除选择．

【详解】解：A、该选项不正确，不符合题意；

B、该选项正确，符合题意；

C、该选项不正确，不符合题意；

D、该选项不正确，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了完全平方公式、合并同类项、幂的运算，熟练运用幂的运算公式是解题的关键．

4．D

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数．

【详解】解：亿．

故选：D．

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．

5．C

【分析】根据点D，E分别是边AB，AC的中点，可以得到DE是三角形ABC的中位线，即可得到△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质求解即可.

【详解】∵点D，E分别是边AB，AC的中点，

∴DE是三角形ABC的中位线

∴DE＝BC，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴

∴S△ABC＝16，

∴四边形BDEC的面积＝16﹣4＝12，

故选C．

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

6．D

【分析】根据正方形的判定判断A；根据平行投影和中心投影的特点和规律判断B；根据比例的性质判断C；根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定判断D．

【详解】解：A、四边相等的矩形是正方形，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；

B、物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；

C、如果，当时，则不成立，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；

D、有一个角为120°的等腰三角形底角为30°，所以有一个角为120°的两个等腰三角形一定相似，故本选项中的命题是真命题，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查正方形的判定、投影、比例的性质、相似三角形，正确理解以上性质和定义是解题的关键．

7．A

【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．

【详解】将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，

所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．

故选A．

【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．

8．B

【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案．

【详解】解：一次函数y＝k（x−1）＝kx−k．

∵反比例函数的图象经过第二、四象限，

∴k＜0；

∴−k＞0，

∴一次函数y＝kx−k位于第一、二、四象限；

故图①错误，图②正确；

∵反比例函数的图象经过第一、三象限，

∴k＞0；

∴−k＜0，

∴一次函数y＝kx−k位于第一、三、四象限；

故图③正确，图④错误，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

9．B

【分析】连接，根据圆周角定理可求得，再根据是的切线，可得，据此即可求得∠D的度数．

【详解】解：如图：连接，

∵，

∴，

∵是的切线，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】此题考查了圆周角定理，切线的性质定理，正确理解各定理并熟练应用是解题的关键．

10．C

【分析】由于，易得，因此只需求得即可．可设；再证明得到，联立，即可求得的比例关系，由此得解．

【详解】解：设，则

∵射线都垂直于线段，

∴；

∴；

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

∴，

整理得，

解得,

∴

∴,

故选：C．

【点睛】此题主要考查了矩形的性质、直角三角形及相似三角形的性质．能够正确的在中求得的比例关系是解答此题的关键．

11．a(a+b)(a-b).

【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.

解析：原式= a(a+b)(a-b).

故答案为a(a+b)(a-b).

12．

【分析】根据题意可知：x株需要6210文，株的运费一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．

【详解】解：设这批椽的数量为x株，

由题意可得：，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．

13．10

【详解】解：

∴∠ACB=∠CAD，

∴AD=CD=20，

又

∴树的高度为10米.

故答案为：10.

14．6

【分析】过点F作FC⊥x轴于点C，设点F的坐标为（a，b），从而得出OC=a，FC=b，根据矩形的性质可得AB=FC=b， BF=AC，结合已知条件可得OA=3a，BF=AC=2a，根据点E、F都在反比例函数图象上可得EA，从而求出BE，然后根据三角形的面积公式即可求出ab的值，从而求出k的值．

【详解】解：过点F作FC⊥x轴于点C，设点F的坐标为（a，b）

∴OC=a，FC=b

∵∠OAB=∠B=∠FCA=90°

∴四边形FCAB是矩形

∴AB=FC=b， BF=AC

∵

∴，即

∴OC=OA－AC==a

解得：OA=3a，BF=AC=2a

∴点E的横坐标为3a

设点E的纵坐标为

∵点E、F都在反比例函数的图象上

∴k=ab=

∴点E的纵坐标，即EA=

∴BE=AB－EA=

∵SΔBEF=4

∴BE∙BF=4

即=4

解得：ab=6

∴k=ab=6

故答案为：6．

【点睛】此题考查的是反比例函数与图形的面积问题，掌握矩形的判定及性质、反比例函数的比例系数与图形的面积关系和三角形的面积公式是解决此题的关键．

15．

【分析】如图所示，取中点E，连接，证明得到，进而推出当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，在中，由勾股定理求出的长即可得到答案．

【详解】解：如图所示，取中点E，连接，

∵点D是的中点，，

∴，

∵是的中点，E是的中点，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴的最小值是

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

16．

【分析】依次计算“0次方”、、负整数指数幂、化简等，再进行合并同类项即可．

【详解】解：原式=．

【点睛】本题综合考查了非零数的零次幂、特殊角的三角函数、负整数指数幂以及二次根式的化简等内容，解决本题的关键是牢记相关计算公式等，本题易错点为对的化简，该项出现的“ -”较多，因此符号易出错，因此要注意．

17．，

【分析】先根据分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再代入x的值计算即可．

【详解】解：

＝

当时，原式

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

18．(1)200；

(2)见解析；

(3)估计参加B项活动的学生数有512名；

(4)画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为．

【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可；

（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；

（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；

（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概率公式计算即可．

【详解】（1）解：（名），

即在这次调查中，一共抽取了200名学生，

故答案为：200；

（2）参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），

补全条形统计图如图：

（3）（名），

答：估计参加B项活动的学生数有512名；

（4）画树状图如图：

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，

所以他们参加同一项活动的概率为．

【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．

19．(1)见解析

(2)6

【分析】（1）通过条件可证得，，得出四边形是平行四边形，通过邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；

（2）先利用勾股定理求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可得解．

【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，

，

，

点F是的中点，

，

在和中，

，

，

四边形是平行四边形，

又，

是菱形．

（2）解：四边形是平行四边形，

是菱形，

，

，

在中，，

．

【点睛】本题考查勾股定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

20．(1)甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元

(2)购买甲种办公桌30张，购买乙种办公桌10张时，总费用最低

【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元”列出方程组，解之即可；

（2）设购买甲种办公桌m张，根据“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，列出不等式组，解之可得．

【详解】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，

由题意可得，

解得，

∴甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；

（2）设购买甲种办公桌m张，

由题意可得，

解得，

∵甲种办公桌的单价低，

∴甲种办公桌购买越多费用越低，

∴当时，（张）总费用最低．

答：购买甲种办公桌30张，购买乙种办公桌10张时，总费用最低．

【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到题中蕴含的等量关系和不等关系．

21．(1)4，4

(2)见解析

(3)

【分析】（1）首先根据点到轴的距离是0，到轴的距离是4，可得；然后根据点到轴的距离是1，到轴的距离是3，求出的值是多少即可；

（2）首先设点的坐标是，然后根据，可得，据此求出点运动所形成的图形即可；

（3）首先作于点，轴于点，交于点，设点的坐标为，其中，则，然后判断出点的坐标，以及，的大小，再判断出，即可判断出，据此求出；最后求出的值，根据二次函数最值的求法，求出当取最大值时点的坐标即可．

【详解】（1）解：点到轴的距离是0，到轴的距离是4，

，

点到轴的距离是1，到轴的距离是3，

．

综上，可得，．

故答案为：4；4；

（2）解：设点的坐标是，

，

，

点运动所形成的图形是线段，如图2所示：

（3）解：如图4，作于点，轴于点，交于点，

，

把代入，得

．

解得．

设点的坐标为，其中，

则，

点的坐标为，，

，．

∵，

．

，

．

，

当时，取得最大值．

此时，点的坐标为．

【点睛】此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用，“点角距”的含义和求法以及二次函数最值的求法，要熟练掌握．

22．(1)见解析

(2)

(3)

【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得到＝，进而证明结论；

（2）根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案；

（3）延长交于M，连接，过点M作于N，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（3）解：延长交于M，连接，过点M作于N，

∵四边形为平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．