2023年北京市东城区广渠门中学中考一检数学试卷

这是一份2023年北京市东城区广渠门中学中考一检数学试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市东城区广渠门中学中考一检数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（    ）

A．长方体 B．圆锥 C．三棱柱 D．圆柱
2．国家统计局发布2021年国内生产总值达到1140000亿元，比上年增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为（    ）
A． B． C． D．
3．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
4．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．
5．五边形的内角和是（    ）
A． B． C． D．
6．不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．已知a、b表示下表第一行中两个相邻的数，且，那么a的值是（    ）
x
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4

9
9.61
10.24
10.89
11.56
12.25
12.96
13.69
14.44
15.21
16

A．3.5 B．3.6 C．3.7 D．3.8
8．用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ）
A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系

二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
10．分解因式：______．
11．方程的解为___________．
12．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为______．
13．如图，点B，E，C，F在一条直线上，BC＝EF，∠B＝∠DEF．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是 _____（写出一个即可）．

14．如图，点A，B，C是上的三点．若，，则的度数为______．

15．如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2___s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）

16．如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．


三、解答题
17．计算：
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．已知：线段AB．

求作：，使得，．
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取；
③连接AC．
则为所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接AD．
∵，
∴为等边三角形（              ）．（填推理的依据）
∴．
∵，
∴．
∴__________（              ）．（填推理的依据）
∴．
∴．
在中，
∴．
21．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
22．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．

(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)若AC=4，AD=2，，求BC的长．
23．在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．

(1)求证：HF是⊙O的切线；
(2)若，BM=1，求AF的长．
25．如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：

x（米）
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
y（米）
3.00
3.44
3.76
3.94
3.99
3.92
3.78
3.42
3.00
(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．

(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．

26．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
(1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
(2)若存在，使得，求的取值范围．
27．如图，在中，，，点D在边上，将射线绕点B逆时针旋转得到射线，过点D作于E，延长到F，使，连接．

(1)依题意，补全图形，判断线段与的位置关系与数量关系，并证明；
(2)若H为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线和线段BC，给出如下定义：若将线段BC沿直线l翻折可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段BC是以直线l为轴的的“关联线段”．例如：在图1中，线段BC的是以直线l为轴的的“关联线段”．

(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，以直线l为轴的的“关联线段”是______；
(2)△ABC是边长为a的等边三角形，点，若BC是以直线l为轴的的“关联线段”，求a的值；
(3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围．

参考答案：
1．D
【分析】首先根据俯视图排除正方体、三棱柱，然后跟主视图和左视图排除圆锥，即可得到结论．
【详解】∵俯视图是圆，
∴排除A和C，
∵主视图与左视图均是长方形，
∴排除B，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
2．C
【分析】用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果．
【详解】解：的绝对值大于表示成的形式，
∵，，
∴表示成，
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值．
3．B
【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得的度数，然后求得的度数．
【详解】解：如图，
∵，直尺两边互相平行，
∴，
∴．
故选：B．

【点睛】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
4．C
【分析】根据a，b在数轴上的位置，得，然后对四个选项逐一分析即可．
【详解】A、∵，∴，，故此选项错误；
B、∵，∴，故此选项错误；
C、∵，∴，故此选项正确；
D、∵，∴，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、实数加减、乘法的综合应用，熟练掌握离原点越远绝对值越大；异号相加减，取绝对值较大的符号，再相加减；两数相乘，同号为正，异号为负是解此题的关键．
5．B
【分析】根据边形的内角和为，将代入，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，五边形的内角和为，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和．解题的关键在于明确边形的内角和为．
6．D
【分析】利用列表法或树状图法列出所有结果，找出满足条件的结果，即可得出结果．
【详解】解：列表如下，

红
黄
绿
红
（红，红）
（红，黄）
（红，绿）
黄
（黄，红）
（黄，黄）
（黄，绿）
绿
（绿，红）
（绿，黄）
（绿，绿）
由表可知，共有9种等可能结果，其中满足条件的两次都是红球的结果只有1种，
∴P（两次都是红球）=，
故选：D．
【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
7．B
【分析】根据无理数的估算以及表格内的数即可得到答案．
【详解】 a、b表示下表第一行中两个相邻的数，且

由表得

故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法-夹逼法是解题的关键．
8．D
【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．
【详解】解：由题意可得：，
即：，
∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
9．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可解得．
【详解】解:∵在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
10．
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】


故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
11．x=5
【分析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．
【详解】解：
方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0.
故答案为：x=5.
【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根.
12．
【分析】先将A点坐标分别代入两个解析式中求解得到正比例函数与反比例函数的解析式，然后联立求解即可得到交点坐标．
【详解】解：将代入得
解得
∴
将代入得
解得
∴
联立直线与双曲线得
∴
整理得
解得或
∴方程组的解为或
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数与反比例函数的交点坐标．解题的关键在于求出函数解析式．
13．AB=DE（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理结合图形即可得出结果．
【详解】解：添加条件为AB=DE，
在△ABC与△DEF中，

△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为AB=DE（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
14．/度
【分析】首先根据圆周角定理求得的度数，根据的度数求即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得的度数是解题的关键．
15．＞
【分析】从统计图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．
【详解】解：由图中知，甲的成绩为7，10，7，9，10，9，8，10，8，7，
乙的成绩为9，8，10，9，9，8，9，7，7，9，
，
，
甲的方差，
乙的方差，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查方差的定义与意义，解题的关键是熟记方差的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16．丙，丁，甲，乙
【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．
【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．
丁选：5，7，9，11，13．
甲选：6，8．
乙选：10，12，14．
∴顺序为丙，丁，甲，乙．
（答案不唯一）
【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．
17．4
【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．
18．
【分析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴此不等式组的解集为．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19．2
【分析】根据平方差公式、合并同类项，化简代数式即可求解．
【详解】解：



原式
【点睛】本题考查了代数式、整式加减、合并同类项、平方差公式等知识点，熟练的正确运算是解决问题的关键．
20．(1)见解析
(2)等边三角形的定义；；三角形中等边对等角

【分析】(1)根据题意和作法即可画出图形；
(2) 连接AD，根据等边三角形的定义及性质，可得，再根据三角形中等边对等角，可证得，根据三角形外角的性质即可求得，据此即可证得为所求作的三角形．
【详解】（1）解：如图：
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取；
③连接AC．
则为所求作的三角形．

（2）证明：如图：连接AD．

∵，
∴为等边三角形（等边三角形的定义）．
∴．
∵，
∴．
∴（三角形中等边对等角）．
．
∴．
在中，
∴．
【点睛】本题考查了作直角三角形，等边三角形的判定及性质，等边对等角，三角形内角和定理及外角的性质，按要求作出图形是解决本题的关键．
21．(1)
(2)k=2，方程的两个根为，

【分析】(1)根据题意和一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可求得；
(2)首先根据(1)可知，k的值只能是1或2，分别代入方程，解方程，再根据方程的两个根均为整数，即可解答．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根

解得
故k的取值范围为
（2）解：且k为正整数
k的值只能是1或2
当k=1时，方程为
解得
方程的两个根均为整数
k=1不合题意，舍去
当k=2时，方程为
解得，  
方程的两个根均为整数，符合题意
故k=2，方程的两个根为，
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)BC的长为

【分析】（1）先判定，再根据题中所给的条件即可利用平行四边形判定定理证出；
（2）根据三角函数值设，，利用平行四边形性质得到平行及线段相等，从而根据确定的相似比代值求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
，
在四边形ABCD中，，
四边形ACED是平行四边形；
（2）解：在中，，设，，
在中，，，，
，
，即，解得（舍弃）或，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．(1)
(2)

【分析】（1）根据一次函数图象平移时k不变可知，再把点A（2，2）代入求出b的值，进而可得出结论．
（2）由函数解析式可知其经过点（0，-1），由题意可得临界值为当，两条直线都过点A（2，2），将点A（2，2）代入到一次函数，可求出m的值，结合函数图象的性质即可得出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与函数的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象过点A（2，2），
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）对于一次函数，当时，有，可知其经过点（0，-1）．
当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，即一次函数图象在函数的图像上方，由下图可知：

临界值为当时，两条直线都过点A（2，2），
将点A（2，2）代入到函数中，
可得 ，解得，
结合函数图象及性质可知，当，时，一次函数的值大于一次函数的值，
又∵如下图，当时，，根据一次函数的图象可知，不符合题意．

∴m的取值范围为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质，学会运用数形结合的思想思考问题是解题关键．
24．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG =∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；
（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接OF，

∵CD⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∴∠A+∠AGE=90°，
∵HG=HF，
∴∠HFG=∠HGF，
∵∠HGF=∠AGE，
∴∠HFG =∠AGE，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，
∴HF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BF，

由（1）得：∠OFM=90°，
∴∠BFO+∠BFM=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠A+∠ABF=90°，
∵OB=OF，
∴∠ABF=∠BFO，
∴∠BFM=∠A，
∵∠M=∠M，
∴△BFM∽△FAM，
∴，
∵，
∴，
∵BM=1，OB=OF，
∴，
解得：OF=4，
∴OM=5，AM=9，AB=8，
∴FM=，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
25．(1)3.99
(2)见解析
(3)是

【分析】（1）根据二次函数的对称性可知：当时，有最大值；
（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系；
（3）在中，令，求得相应的值，结合其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．从而判断该货车是否能安全通过.
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知：当时，有最大值为3.99；
故答案为：3.99；
（2）解：如图，建立直角坐标系，

（3）解：将代入，得：
，解得：，
抛物线的表达式为；
在中，令，得：
，

车厢最高点到隧道顶面的距离大于0.5米，
该货车能安全通过；
故答案为：是．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
26．(1)
(2)

【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；
（2）根据题意得出，，，根据，得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：，
（2）解：∵点，在抛物线，
当时，，
当时， ，
当时，，
∵存在，使得，
∴或，
解得：或，
∴.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．(1)图见解析，，且；理由见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）根据题意补全图形，证明，即可得到结论；
（2）延长到点T，使，连接、、、，证明，推出，，求得，证明，即可求解．
【详解】（1）解：补全图形，如图，，且；理由如下，

∵将射线绕点B逆时针旋转得到射线，过点D作于E，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设与相交于点G，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，且；
（2）解：．理由见解析，
延长到点T，使，连接、、、，

∵H为线段的中点，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
28．(1)，，
(2)
(3)或

【分析】（1）根据定义作关于的对称点，若线段是的弦，则再次对称（依题意定义）即为的弦，据此求解即可；
（2）根据（1）的方法，根据等边三角形的对称性，可知轴，设交轴于点，交于点，解进而求得的长，即的值；
（3）根据题意，作的切线，，求得直线解析式，即可求得的取值范围．
【详解】（1）根据定义作关于的对称点，若线段是的弦，则再次对称（依题意定义）即为的弦，如图，是的弦，与关于轴对称，则是以直线l为轴的的“关联线段”

故答案为：
（2）如图，设1交轴于点，交于点，

的半径为2

,，则
在中，

∴所在直线是等边三角形的对称轴，则


，

在中，

（3）如图，过点作的切线，与交于点，取的中点,连接，

,

的半径为2，

是与的交点

是等边三角形
同理也是等边三角形


是等边三角形





设直线的解析式为，的解析式为

解得
直线的解析式为，的解析式为
根据定义可知，经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，则直线与相交，
或
【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，解直角三角形，圆的性质，待定系数法求解析式，等边三角形的性质，勾股定理，切线的性质，理解定义，将圆心对称是解题的关键．