2023北京东城高三二模数学（教师版）含答案解析

2023北京东城高三二模

数    学

2023.5

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则

(A) ⫋                      (B)           

(C)                                   (D)

（2）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为

（A）                                     （B）             

（C）                                    （D）

（3）已知数列中，，，为其前项和，则

（A）                                     （B）             

（C）                                      （D）

（4）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为

(A)                         (B)             

(C)                                          (D)

（5）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为

 （A）                                     （B）              

   （C）                  （D）

（6）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有

（A）种                   （B） 种              

（C）种                                   （D）种

（7）设函数 若为增函数，则实数的取值范围是

（A）                                     （B）             

（C）                  （D）

（8）“ ”是“函数为偶函数”的

    （A）充分而不必要条件                          （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件               （D）既不充分也不必要条件

（9）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有

（A） 个                                    （B）2 个            

（C） 个                                     （D）无数个

（10）设，其中为自然对数的底数，则

（A）                                （B）

（C）                                （D）

第二部分（非选择题   共110分）

二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知向量满足，与的夹角为，则      ;．

（12）函数在一个周期内的部分取值如下表：

则的最小正周期为     ； _______．

（13）若，则实数的一个取值为__________.

（14）如图，在正方体中，是的中点，

平面将正方体分成体积分别为，() 的两部分，则   .      

（15）定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：

①      若为递增数列，则存在最大值；

②      若为递增数列，则存在最小值；

③      若，且存在最小值，则存在最小值；

④      若，且存在最大值，则存在最大值.

其中所有错误结论的序号有_______．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

在△中，.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求及△的面积.

条件 ①： ；

条件 ②：；

条件 ③：.

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

（17）（本小题14分）

如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.

（Ⅰ）设为的中点，求证：；

（Ⅱ）若直线和平面所成角的正弦值为，求的值.

（18）（本小题13分）

某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：

（Ⅰ）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；

（Ⅱ）设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差．从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下：

（i）求的分布列和数学期望；

（ii）设随机变量，的的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明）

（19）（本小题15分）

已知焦点为的抛物线经过点．

（Ⅰ）设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积；

（Ⅱ）设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

（20）（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.

（21）（本小题15分）

已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为(约定空集的元素个数为0).

（Ⅰ）若，求及；

（Ⅱ）若，求证：互不相同；

（Ⅲ）已知，若对任意的正整数都有或，求的值.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）A （2）C （3）B （4）A          （5）D 

（6）C       （7）B         （8）C          （9）C         （10）A

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）     

（11）                                     （12）                 

（13）(答案不唯一)                        （14）

（15）① ③ ④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，

        ，

因为，所以

所以.

,.                                               ………………6分

（Ⅱ）选条件①：  

因为，

由正弦定理得，由余弦定理得，

解得.

所以．                           

由解得.                                                ………13分

 选条件②：．

已知由正弦定理得，

因为，

        所以,.

所以．

 （17）（共14分）

解：（I）由题设知

因为平面 平面，平面 平面，，

所以平面．

因为平面，

所以.

因为为等边三角形，是的中点，

所以.

因为，

所以平面．

所以.                                                ………………6分

（II）设，.

取的中点，的中点，连接，，

则，.

由（I）知平面，所以平面，

所以，.

如图建立空间直角坐标系，则

，，，．

所以， ，，，

.

设平面的法向量为，

则即

令，则，.于是.

因为直线和平面所成角的正弦值为，

所以，

整理得，

解得或.

因为，

所以，即.                                                ………………14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，

学生2，学生4，学生5，

则从数学学习小组7名学生中随机选取1名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为                                                                         ………3分

（Ⅱ）（i）随机变量可能的取值为0，1，2．

这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，，3，1，，.

；

；

．

则随机变量的分布列为：

的数学期望．                              ………11分

（ii）.                                                    ………13分

（19）（共15分）

解：（Ⅰ）因为抛物线过点，

所以，即．

故抛物线的方程为，焦点，准线方程为.

 所以                                          ………………6分

（Ⅱ）设直线的方程为．

由 得．

由有．

设

则，．

设的中点为，则.

到准线的距离，

  依题意有，

即，

整理得，

解得，满足．

            所以直线过定点．                           ………………15分

（20）（共15分）

解：（Ⅰ），

，.

所以曲线在点处的切线方程为.                         ………………5分

（Ⅱ）令，

则，

当时，，在上单调递增.

因为，，

所以，使得.

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

，，

所以.                                 ………………11分

（Ⅲ）满足条件的的最大整数值为.

理由如下：

不等式恒成立等价于恒成立.

令，

当时，，所以恒成立.

当时，令， ， ，

与的情况如下：

所以

当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，

所以的值域为.

因为，

所以的最小值小于且大于．

所以的最大整数值为.                                           ………………15分

（21）（共15分）

解：（Ⅰ）由题设知，.  ………………4分

（Ⅱ）依题意，

则有

因此

         又因为

所以

所以互不相同.                                   ………………9分

（Ⅲ）依题意

由或，知或.

令，可得或，对于成立，

故或.

①当时，

，

所以.

②当时，

或.

当时，由 或，有，.

同理，

所以.

当时，此时有，

令，可得或，即或.

令，可得或. 令，可得.

所以.

若，则令，可得，与矛盾.

所以有.

不妨设，

令，可得，因此.

令，则或.

         故.

所以.

综上，时，.

时，.

时，.                           ………………15分