2023北京朝阳高三二模数学（教师版）含答案解析

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2023北京朝阳高三二模数    学023.5（考试时间120分钟   满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题  共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，集合，则 （A）    （B）     （C）      （D）（2）若复数为纯虚数，则（A）          （B）           （C）          （D） （3）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（A）           （B）         （C）        （D）（4）已知数列的前项和是，则（A）           （B）          （C）         （D）（5）已知，则（A）     （B）    （C）    （D）（6）已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件  （D）既不充分也不必要条件（7）在中，,分别是,的中点，若，则（A） （B）         （C） （D） （8）设函数，若对任意的恒成立，则（A）                  （B）             （C）              （D）（9）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（A）存在点，使得（B）存在点，使得平面   （C）三棱锥的体积是定值（D）存在点，使得与所成的角为（10）已知函数是上的奇函数，当时，．若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是（A）                 （B）    （C）                   （D）第二部分（非选择题  共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为       ． （12）已知的展开式中所有项的二项式系数的和为，则       ，展开式中的系数为       ．（13）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数的一个取值为       ． （14）已知圆，抛物线，则圆心到抛物线的准线的距离为       ；过圆心的直线与圆相交于,两点，与抛物线相交于,两点，若，则       ．（15）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．斐波那契数列满足，．给出下列四个结论：① 存在，使得，，成等差数列；② 存在，使得，，成等比数列；③ 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；④ 存在正整数，且，使得.其中所有正确结论的序号是       ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，，，．（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求及的值．      （17）（本小题13分）果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成．研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物．某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量．实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）：酵母菌类型该酯类化合物的含量A型X 27472688X X 28172679X26922721B型1151X 1308X 994XXX1002XC型2240XX 23402318X25192162XX根据发酵液中该酯类化合物的含量是否超过某一阈值来评定其品质，其标准如下：酵母菌类型品质高品质普通A型B型C型假设用频率估计概率．（Ⅰ）从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率；（Ⅱ）设事件为“从样本含A型，B型，C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件发生的概率；（Ⅲ）设事件为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，试比较事件发生的概率与（Ⅱ）中事件发生的概率的大小．（结论不要求证明）
（18）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且， 是的中点，平面与线段交于点．（Ⅰ）证明：为的中点；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．条件①：三角形的面积为；条件②：三棱锥的体积为．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．  （19）（本小题15分）已知点在椭圆上，且的离心率为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设为椭圆的右焦点，点是上的任意一点，直线与直线相交于点，求的值．  （20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）证明：；（Ⅱ）若函数的极大值大于，求的取值范围．  （21）（本小题15分）已知无穷数列满足，其中表示中最大的数，表示中最小的数．（Ⅰ）当时，写出的所有可能值；（Ⅱ）若数列中的项存在最大值，证明：为数列中的项；（Ⅲ）若，是否存在正实数，使得对任意的正整数，都有？如果存在，写出一个满足条件的；如果不存在，说明理由．
参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）C （3）C （4）B       （5）D       （6）A        （7）A （8）D （9）B       （10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）              （12）           （13） （答案不唯一）（14）                     （15）①③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为在中，，又，         所以．所以．                     ………6分（Ⅱ）由余弦定理，得．又，所以．由正弦定理，得                                  ………13分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件为“从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”．由题可知，未废弃的发酵液共瓶，其中品质高的有瓶，则．                                               ………4分（Ⅱ）设事件为“从样本含A型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，事件为“从样本含B型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，事件为“从样本含C型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”．由题可知，，，． 则． …10分（Ⅲ）．                                                ………13分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）在矩形中，，        又平面，平面，       所以平面．又因为平面，且平面平面，所以．故．又因为是的中点，所以是的中点．                      ………5分（Ⅱ）选择条件①：三角形的面积为．                                      因为平面，所以．又，且，所以平面．又平面，所以．因此．所以，即．故.因为平面，所以，．又在矩形中，，所以两两垂直．如图建立空间直角坐标系，则．所以．平面的一个法向量为．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．                 ………14分选择条件②：三棱锥的体积为．因为为的中点，所以，即，得．下同选择条件①．（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得解得所以椭圆的方程为．                                 ………5分（Ⅱ）因为点是椭圆上的任意一点，所以．　　　①当时，点或．当点为时，直线与直线相交于点．此时．当点为时，直线与直线相交于点．此时．②当时，直线的方程为．由得所以点．所以．所以．综上，．                                                ………15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）（ⅰ）当时，，所以，则．又．所以曲线在点处的切线方程为：，即．                                             ………4分（ⅱ）设函数，定义域为，当时，．所以．当时，，所以的单调递增区间为，当时，，所以的单调递减区间为．所以．所以．故．                                              ………9分（Ⅱ）① 当时，，所以，与的极大值大于矛盾，不符合题意．② 当时，，令，得，或（舍）．设，则．当时，，所以的单调递增区间为，当时，，所以的单调递减区间为．所以为的极大值点，且，．此时极大值，因为，所以，．所以，符合题意．综上，的取值范围为．                                  ………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）的所有可能值为．                                       ………4分（Ⅱ）因为，所以．所以．因为无穷数列中的项存在最大值，所以存在使得．因为，所以．故存在使得．所以为数列中的项．                                      ………9分（Ⅲ）不存在正实数，使得对任意的正整数，都有．理由如下．因为，所以．设集合．（1）若，则．对任意，取（其中表示不超过的最大整数），则当时， ．（2）若，且为有限集，设，则．对任意，取（其中表示不超过的最大整数），则当时， ．（3）若，且为无限集，设，．若，则，又，矛盾．所以．记．当时，．因为，所以．当时，．因为，所以．所以．因为，所以．所以，且．对任意，取（其中表示不超过的最大整数），则当时， ．  综上，不存在正实数，使得对任意的正整数，都有．    ………15分