初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形4.2 由平行线截得的比例线段练习题

这是一份初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形4.2 由平行线截得的比例线段练习题，共20页。试卷主要包含了如图，AG等内容，欢迎下载使用。

4.2平行线分线段成比例培优练习题

一．选择题
1．如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（　　）

A． B． C．2 D．3
2．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为（　　）

A． B． C． D．1
3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（　　）

A．CF B．FD C．BE D．EC
4．如图所示，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（　　）

A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5
6．如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝9，BC＝6，DF＝10，则DE的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED＝EC，ED与AC交于点F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于（　　）

A． B． C． D．
二．填空题
9．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　 　m．

10．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　 　．

11．如图，一组平行线l1、l2、l3相交于直线l4、l5，则＝　 　．

12．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝　 　．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 　．




三．解答题
14．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）求AB的长．

15．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH．将矩形纸片沿BE折叠，得到△BA′E（点A折叠到A′处），展开纸片；再沿BA′折叠，折痕与GH，AD分别交于点M，N，然后将纸片展开．
（1）连接EM，证明A′M＝MG；
（2）设A′M＝MG＝x，求x值．

16．在△ABC中，已知点D是∠A的内角平分线上的一点，E，F分别为AB，AC延长线上的点．若CD∥BF，且CD与AB交于点G，BD∥CE，且BD与AC交于点H．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若M，N分别为CE，BF的中点，求证：AD⊥MN．


17．如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．

18．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF＝∠DAE，AE与BD交于点G．
（1）求证：BE＝DF；
（2）当＝时，求证：四边形BEFG是平行四边形．

19．在平行四边形DECF中，B是CE延长线上一点，A是CF延长线上一点，连接AB恰过点D，求证：．

20．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24．
（1）求AB的长；
（2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长．


21．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM＝MN＝NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求的值．

22．如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，
求证：MN+PQ＝2PN．

23．在四边形ABCD中，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，点E、F、G、H分别是在四边形ABCD的四边上的动点，但E、F、G、H不与A、B、C、D重合，且EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE．
（1）若对角线AC＝BD＝a（定值），求证：四边形EFGH的周长是定值；
（2）若AC＝m，BD＝n，m、n为定值，但m≠n，则四边形EFGH的周长是定值吗？请指出，并说明理由．




24．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．



参考答案
一．选择题
1．解：∵BN∥AM，＝，
∴＝，
∵DN∥CM，
∴＝＝，
故选：B．
2．解：∵AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，
∴＝＝＝，
故选：A．
3．解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，
∴AD＝8+5+4＝17，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD＝AD＝17，
∵AE∥HC，AD∥BC，
∴四边形AECH为平行四边形，
∴CE＝AH＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，
∵HC∥GF，
∴＝，即＝，
解得：DF＝，
∴FC＝17﹣＝，
∵＞9＞8＞，
∴CF长度最长，
故选：A．
4．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
解得，EF＝4，
故选：D．
5．解：过点D作DF∥BE交AC于点F，
则＝＝，＝＝3，
∴AE：EC＝6：5，
故选：D．

6．解：∵a∥b∥c，
∴＝，即＝，
解得，DE＝6，
故选：C．
7．解：方法1：过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，如图所示：
∵D为BC中点，DG∥AC，
∴G为AB的中点，∠EAC＝∠DGE，
∴DG是△ABC的中位线，
∴AC＝2DG，
∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠B＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC＝∠B+∠DEG，∠ECD＝∠ACB+∠ACE，
∴∠ACE＝∠DEG，
在△ACE和△GED中，，
∴△ACE≌△GED（AAS），
∴AE＝DG，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴DG＝AB＝AG＝BG，
∴AE＝AG，
∵DG∥AC，
∴AF：DG＝AE：GE＝1：2，
即DG＝2AF，
∴AC＝4AF，
∴＝；
方法2：过点D作DG∥AC，交EB于点G，如图所示：

∵D为BC中点，DG∥AC，
∴G为AB的中点，
∴AG＝BG，DG是△ABC的中位线，
∴DG＝AC，
由方法1得：△ACE≌△GED（AAS），
∴AC＝GE，
∵AB＝AC，
∴GE＝AB，
∴BG＝AE，
∴AG＝AE，
∵DG∥AC，
∴AF是△DEG的中位线，
∴AF＝DG＝AC，
∴AF＝CF，
∴＝；
故选：B．

8．解：∵AG＝2，GD＝1，DF＝5，
∴AD＝AG+GD＝3，GF＝GD+DF＝6，
∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝＝，
故选：A．
二．填空题
9．解：∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
10．解：∵点O是线段AG的中点，
∴OA＝OG＝AG，
∵DE∥BC，AD：DB＝3：1，
∴＝＝＝，＝＝，
∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG，
∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，
故答案为：2：1．
11．解：∵l1∥l2，
∴＝①，
∵l2∥l3，
∴＝②，
①×②，得＝，
故答案为：．
12．解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴＝，＝，
∵EF∥BC，＝，
∴＝．
故答案为：．
13．解：如图，过点D作DF∥AE，

则＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故答案为：．
三．解答题
14．解：（1）∵FE∥CD，
∴＝，即＝，
解得，AC＝，
则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝．
15．解：（1）证明：连接EM，如图．
由折叠可知EA＝EA'，
∵AE＝EG，∠EA'B＝∠A＝90°
∴A'E＝EG，
∵四边形ABCD为矩形，AB∥EF∥GH，
∴∠EGM＝90°
∴∠EGM＝∠EA'M，
∴Rt△EA'M≌Rt△EGM（HL），
∴A′M＝MG；
（2）∵AB＝8，AE＝EG＝GD＝4，AB∥EF∥GH，
∴GH＝8，A'B＝AB＝8，MH＝8﹣x，BH＝8，BM＝BA'+A'M＝8+x
在Rt△BHM中，
BH2+HM2＝BM2，
即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，
解得x＝2，
即x的值为2．

16．（1）证明：过点G作GQ⊥BD于Q，过点H作HP⊥CD于P．
∵D是∠A的内角平分线上的一点，
∴点D到AB，AC的距离相等，
∴＝＝＝＝①，
∵EC∥DB，BF∥CD，
∴＝，＝，
∴＝②，
由①②得到，＝1，
∴BE＝CF．
（2）证明：取BC的中点K，连接KM，KN．
∵CM＝EM，BN＝NC，
∴MK＝BE．MK∥BE，KN＝CF，KN∥BC，
作∠MKN的角平分线KJ，则KJ⊥MN，
∵MK∥AE，KN∥AF，
∴AD∥KJ，
∵KJ⊥MN，
∴AD⊥MN．

17．解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴＝，
∵AF：BF＝1：2，
∴＝，
∴＝，
即FE＝BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD＝BC，
∵FE∥BD，
∴＝＝＝．
即FN：ND＝2：3．
证法二、连接CF、AD，
∵AF：BF＝1：2，BC：CD＝2：1，
∴＝＝，
∵∠B＝∠B，
∴＝＝，∠BCF＝∠BDA，
∴FC∥AD，
∴＝＝．

18．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADF，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF，
即：∠BAE＝∠DAF，
∴△BAE≌△DAF
∴BE＝DF；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG
∴＝
又∵BE＝DF，＝
∴＝＝
∴，又∠BDC＝∠GDF
故△BDC∽△GDF，再由对应角相等有∠DBC＝∠DGF
∴GF∥BC （同位角相等则两直线平行）
∴∠DGF＝∠DBC
∵BC＝CD
∴∠BDC＝∠DBC＝∠DGF
∴GF＝DF＝BE
∵GF∥BC，GF＝BE
∴四边形BEFG是平行四边形
19．证明：∵四边形DECF是平行四边形，
∴DE∥CF，DF∥CE，
即DE∥AC，DF∥BC，
∴＝，＝，
∴＝．
20．（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF＝5：8，AC＝24，
∴＝＝，
∴＝，
∴BC＝15，
∴AB＝AC﹣BC＝24﹣15＝9．
（2）解：∵l1∥l2∥l3
∴＝＝，
∴＝，
∴OB＝3，
∴OC＝BC﹣OB＝15﹣3＝12，
∴＝＝，
∴＝，
∴CF＝4．
21．解：过N、M分别作AC的平行线交AB于H、G，交AM于K，如图，
∵BM＝MN＝NC，
∴BG＝GH＝AH，
∵HK∥GM，
∴KH＝GM，GM＝NH，
∴HK＝NH，
∴＝，
∴DF∥NH，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝＝3．

22．证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，
∵F是AC的中点，
∴DF的延长线必过O点，且．
∵AB∥CD，
∴．
∵AD∥CE，
∴．
∴＝＝．
又∵＝，
∴OQ＝3DN．
∴CQ＝OQ﹣OC＝3DN﹣OC＝3DN﹣AD，AN＝AD﹣DN．
∴AN+CQ＝2DN．
∴＝＝2．
即MN+PQ＝2PN．

23．解：（1）∵EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE
∴四边形EFGH是平行四边形，
设GH为x，GF为y，AH＝p，BH＝q
∵GH∥BD，BD＝a
∴，
即，
∵HE∥AC，AC＝a
∴，
即，
∴，
故四边形EFGH的周长＝2（x+y）＝2a；
（2）∵AC＝m，BD＝n，
则有，，
∴x+y＝＝，
∵m、n为确定的值，H是AB上的动点，是变量，
而x+y随的变化而变化，
∴x+y不能确定，即四边形EFGH的周长不是定值．

24．（1）成立．
证明：∵AB∥EF
∴
∵CD∥EF
∴
∴＝
∴；

（2）关系式为：
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K
由题设可得：
∴＝
即＝
又∵•BD•AM＝S△ABD，＝S△BCD
∴BD•EN＝S△BED
∴．