浙江省杭州市桐庐实验中学2021-2022学年九年级（上）第一次段考数学试卷(解析版)

这是一份浙江省杭州市桐庐实验中学2021-2022学年九年级（上）第一次段考数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了下列函数中，是二次函数的是，已知抛物线的解析式为y＝﹣3，已知，下列说法正确的是，关于函数y＝等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市桐庐实验中学九年级第一学期第一次段考数学试卷
一．选择题
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B．y＝x2 C．y＝2x+1 D．2y＝x
2．已知抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2
3．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（　　）
A．y＝2（x+5）2﹣3 B．y＝2（x+5）2+3
C．y＝2（x﹣5）2﹣3 D．y＝2（x﹣5）2+3
4．用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为x cm，面积是S cm2，则S与x的函数关系式为（　　）
A．S＝x（20﹣x） B．S＝x（20﹣2x） C．S＝10x﹣x2 D．S＝2x（10﹣x）
5．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
6．下列说法正确的是（　　）
A．可能性很大的事情是必然发生的
B．可能性很小的事情是不可能发生的
C．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是6“是不可能事件
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜2时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，0），（x1，y1），（x2，y2），下列说法正确的是（　　）

A．bc＞0
B．当x1＞x2≥﹣时，y1＞y2
C．a＝2b
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜
9．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣1，当1＜x≤5时，对应的函数值y不可能是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
10．关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（　　）
A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2）
B．当m≠时，函数图象与x轴总有2个交点
C．若m＞，则当x＜1时，y随x的增大而减小
D．若m＞0时，函数有最小值是﹣m+1
二．填空题
11．二次函数y＝（x+2）2﹣4的顶点坐标是 　 　．
12．从，﹣1，1，3，5这五个数中任取一数作为a的值，使抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的开口向下的概率为 　 　．
13．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 　 　．

14．抛物线y＝x2+2x+m﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是　 　．
15．已知二次函数y＝x2+（m﹣3）x+m+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　 　．
16．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 　 　．
三．解答题
17．已知抛物线的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．求该抛物线的解析式．
18．已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上．
19．目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，我市某中学九年级数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的看法，统计整理并制作了如图的统计图：

（1）这次调查的家长总数为 　 　人．家长表示“不赞同”的人数为 　 　人；
（2）请在图①中把条形统计图补充完整；
（3）从这次接受调查的家长中随机抽查一个，恰好是“赞同”的家长的概率是 　 　；
（4）求图②中表示家长“无所谓”的扇形圆心角的度数．
20．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）用配方法将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．
（3）当﹣2＜x＜3时，直接写出函数y的取值范围．
21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上的顶点，求△ABP的面积．

22．某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y（件）与销售单价x（元）（50≤x≤90）之间的函数关系如图中的线段AB．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）
（1）求出y与x之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？

23．已知二次函数y＝ax2+bx+b﹣a（a≠0）．
（1）若a＝b时，求二次函数与x轴的交点坐标；
（2）若a＞0，二次函数的对称轴为直线x＝2，求该函数的最小值（用字母a表示）；
（3）若该抛物线与直线y＝ax+a（a≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，都有y1＜y2，求证：b＜2a．


参考答案
一．选择题
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B．y＝x2 C．y＝2x+1 D．2y＝x
【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义判断即可．
解：A、y＝，是反比例函数，故A不符合题意；
B、y＝x2，是二次函数，故B符合题意；
C、y＝2x+1是一次函数，故C不符合题意；
D、2y＝x，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．已知抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【分析】根据抛物线的顶点式可直线得出抛物线的对称轴．
解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式方程是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k）．
3．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（　　）
A．y＝2（x+5）2﹣3 B．y＝2（x+5）2+3
C．y＝2（x﹣5）2﹣3 D．y＝2（x﹣5）2+3
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
解：将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为y＝2（x+5）2+3，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4．用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为x cm，面积是S cm2，则S与x的函数关系式为（　　）
A．S＝x（20﹣x） B．S＝x（20﹣2x） C．S＝10x﹣x2 D．S＝2x（10﹣x）
【分析】根据题意可得矩形的宽为（10﹣x）cm，再根据矩形的面积公式S＝长×宽可得函数解析式．
解：由题意得：S＝x（10﹣x）＝10x﹣x2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，表示矩形的宽．
5．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1）
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
6．下列说法正确的是（　　）
A．可能性很大的事情是必然发生的
B．可能性很小的事情是不可能发生的
C．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是6“是不可能事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、可能性很大的事情不一定是必然发生的，本选项说法错误，不符合题意；
B、可能性很小的事情是可能发生的，本选项说法错误，不符合题意；
C、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，本选项说法正确，符合题意；
D、“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜2时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据表格数据求出二次函数解析式，即可判断①，再将解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可判断②、③，当y＝0时，解方程即可判断④．
解：根据题意：将点（﹣1，﹣3）、（0，1）、（1，3）代入二次函数y＝ax2+bx+c中，
，
解得，
所以二次函数y＝﹣x2+3x+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
所以①正确；
∵y＝﹣x2+3x+1＝﹣（x﹣）2+，
则图象的对称轴为直线x＝，
所以②错误；
∵图象的对称轴为直线x＝，
∴当x＜时，函数值y随x的增大而增大，
所以③错误；
当y＝0时，﹣（x﹣）2+＝0，
解得x1＝，x2＝，
∵3＜＜4，
∴3＜＜，
所以方程ax2+bx+c＝0有一个根小于4，
所以④错误．
综上所述：其中正确的结论有①．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，0），（x1，y1），（x2，y2），下列说法正确的是（　　）

A．bc＞0
B．当x1＞x2≥﹣时，y1＞y2
C．a＝2b
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜
【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：由图象可得，
b＞0，c＜0，则bc＜0，故选项A错误；
∵该函数图象开口向上，该函数的对称轴为x＝﹣，
∴x≥﹣时，y随x的增大而增大，
当x1＞x2≥﹣时，y1＞y2，故选项B正确；
∵该函数的对称轴为x＝﹣，
∴−＝﹣，
化简得b＝a，故选项C错误；
∵图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，0），
∴图象与x轴另一个交点为（1，0），
不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜1，故选项D错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与不等式、二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣1，当1＜x≤5时，对应的函数值y不可能是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当1＜x≤5时的函数取值范围，进而求解．
解：∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣5），
将x＝5代入y＝x2﹣4x﹣1得y＝4，
∴当1＜x≤5时，﹣5≤y≤4，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与方程及不等式的关系．
10．关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（　　）
A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2）
B．当m≠时，函数图象与x轴总有2个交点
C．若m＞，则当x＜1时，y随x的增大而减小
D．若m＞0时，函数有最小值是﹣m+1
【分析】根据函数的性质逐个求解即可．
解：A．当x＝1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝0，当x＝﹣1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝2，
故图象过（1，0）和（﹣1，2），
故A错误，不符合题意；
B．当m＝0时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝1﹣x，该函数与x轴只有一个交点，
故B错误，不符合题意；
C．m＞，则函数为开口向上的抛物线，则y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝m（x+）（x﹣1），
则该函数的对称轴为直线x＝（1+）＝＜1，
故x＜1时，y随x的增大而即可能减小也可能增大，故C错误，不符合题意；
D．若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值，
当x＝时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝﹣m+1，
故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
二．填空题
11．二次函数y＝（x+2）2﹣4的顶点坐标是 　（﹣2，﹣4）　．
【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣4，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．从，﹣1，1，3，5这五个数中任取一数作为a的值，使抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的开口向下的概率为 　　．
【分析】使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下的条件是a＜0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．
解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下的有﹣，﹣1共2种结果，
∴使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．
13．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 　x1＝﹣1，x2＝3　．

【分析】根据抛物线的对称性即可求解．
解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是：x＝1，
（﹣1，0）关于x＝1的对称点是：（3，0），
则抛物线与x轴的交点是：（﹣1，0）和（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．
14．抛物线y＝x2+2x+m﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是　m≤2　．
【分析】由抛物线与x轴有交点可得出方程x2+2x+m﹣1＝0有解，利用根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
解：∵抛物线y＝x2+2x+m﹣1与x轴有交点，
∴关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有解，
∴△＝22﹣4（m﹣1）＝8﹣4m≥0，
解得：m≤2．
故答案为：m≤2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△≥0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．
15．已知二次函数y＝x2+（m﹣3）x+m+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　m≥1　．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
解：∵y＝x2+（m﹣3）x+m+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＞﹣时，y随x增大而增大，
∴1≥﹣，
解得m≥1，
故答案为：m≥1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
16．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 　﹣1或　．
【分析】先求出而二次函数的对称轴，再分a≤﹣1，﹣1＜a＜2，a≥2三种情况讨论，根据函数最大值时列方程求出a的值．
解：二次函数y＝x2﹣2ax﹣2的对称轴为x＝﹣＝a，
由题意，分以下三种情况：
（1）当a≤﹣1时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y取得最大值，最大值为22﹣4a﹣2＝2﹣4a，
∴2﹣4a＝6，
解得：a＝﹣1，符合题设；
（2）当﹣1＜a＜2时，
在﹣1≤x≤2内，当﹣1≤x≤a时，y随x的增大而减小，
当a＜x≤2时，y随x的增大而增大，
则当x＝﹣1或x＝2时，y取得最大值，
因此有1+2a﹣2＝6或22﹣4a﹣2＝6，
解得：a＝或a＝﹣1 （均不符题设，舍去）；
（3）当a≥2时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值为1+2a﹣2＝2a﹣1，
因此有2a﹣1＝6，解得a＝，符合题设；
综上，a＝﹣1或a＝．
故答案为：﹣1或．
【点评】本题考查了二次函数求最值问题，根据题意正确分三种情况讨论是解题关键．
三．解答题
17．已知抛物线的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．求该抛物线的解析式．
【分析】根据顶点坐标设出顶点形式，把B坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵抛物线经过点B（3，0），
∴a（3﹣1）2﹣4＝0，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18．已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上．
【分析】（1）把点（﹣2，﹣1）代入二次函数y＝ax2+2x，求出a的值，即可确定函数的关系式，
（2）代入验证即可，当点的坐标满足关系式时，此点在函数的图象上，否则就不在函数的图象上．
解：（1）把点（﹣2，﹣1）代入二次函数y＝ax2+2x得，﹣1＝4a﹣4，
解得，a＝，
∴二次函数的关系式为y＝x2+2x；
（2）当x＝﹣1时，y＝×1+2×（﹣1）＝﹣≠﹣，
∴点（﹣1，﹣）不在抛物线上．
【点评】考查二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数的关系式，把点的坐标代入是常用的方法．
19．目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，我市某中学九年级数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的看法，统计整理并制作了如图的统计图：

（1）这次调查的家长总数为 　600　人．家长表示“不赞同”的人数为 　80　人；
（2）请在图①中把条形统计图补充完整；
（3）从这次接受调查的家长中随机抽查一个，恰好是“赞同”的家长的概率是 　　；
（4）求图②中表示家长“无所谓”的扇形圆心角的度数．
【分析】（1）根据赞同的人数与所占的百分比求出调查的总人数，再根据很赞同的人数所占的百分比求出很赞同的人数，然后求出不赞成的人数；
（2）根据（1）求出的很赞同的人数，从而补全统计图；
（3）用“赞同”的人数除以调查的总人数即可得出“赞同”的家长的概率；
（4）求出无所谓的人数所占的百分比，再乘以360°，计算即可得解．
解：（1）这次调查的家长总数为：＝600（人）；
很赞同的人数有：600×20%＝120（人），
家长表示“不赞同”的人数为：600﹣120﹣360﹣40＝80（人）；
故答案为：600，80；

（2）根据（1）求出的很赞同的人数有120人，补图如下：


（3）随机抽查一个，恰好是“赞同”的家长的概率是：＝；
故答案为：；

（4）表示家长“无所谓”的扇形圆心角的度数是：360°×＝24°．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）用配方法将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．
（3）当﹣2＜x＜3时，直接写出函数y的取值范围．
【分析】（1）用完全平方差公式转化为顶点式；
（2）由顶点式写出顶点坐标，由二次项系数得开口方向；
（3）利用二次函数的增减性求出y的取值范围．
解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．
（2）由y＝（x﹣1）2﹣4得顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，
由a＝1＞0，得开口向上．
（3）∵对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴当x≤1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣4，当x＝﹣2时，y最大值＝5，
∴当﹣2＜x＜3时，函数y的取值范围为﹣4≤y＜5．
【点评】本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的性质，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质．
21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上的顶点，求△ABP的面积．

【分析】（1）将交点B（4，m）代入直线y＝x+1得B（4，5），由题意可设抛物线解析式y＝a（x+1）（x﹣5），把B（4，m）代入得a＝﹣1，即可求解；
（2）把解析式化成顶点式求得P的坐标，进而求得E的坐标，然后根据S△APB＝S△APE+S△BPE即可求得．
解：（1）将交点B（4，m）代入直线y＝x+1得B（4，5），
由题意可设抛物线解析式y＝a（x+1）（x﹣5），
把B（4，5）代入得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣5），即y＝﹣x2+4x+5；

（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴P（2，9），
∵过点P作y轴的平行线交AB于点E，
∴E（2，3），
∴PE＝9﹣3＝6，
∴S△APB＝S△APE+S△BPE＝×6×（4+1）＝15．
【点评】主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
22．某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y（件）与销售单价x（元）（50≤x≤90）之间的函数关系如图中的线段AB．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）
（1）求出y与x之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少；
（3）根据题意，可以得到利润与单价之间的函数关系式，然后即可得到销售单价定为多少，当月月利润最大．
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（50，500），（90，100）在函数y＝kx+b上，
∴，
解得，
即y与x的函数关系式为y＝﹣10x+1000；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时﹣10x+1000＝300，
即w关于x的函数表达式是w＝﹣10（x﹣70）2+9000，销售单价x为70元时利润w最大，该月进货数量应定为300件；
（3）设销售利润为W元，
W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）﹣36[350﹣（﹣10x+1000）]＝﹣10（x﹣52）2+10440，
∵该商店进货350件，
∴﹣10x+1000≤350，
解得x≥65，
∴当x＝65时，W取得最大值，
即销售单价定为65元时，当月月利润最大．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+b﹣a（a≠0）．
（1）若a＝b时，求二次函数与x轴的交点坐标；
（2）若a＞0，二次函数的对称轴为直线x＝2，求该函数的最小值（用字母a表示）；
（3）若该抛物线与直线y＝ax+a（a≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，都有y1＜y2，求证：b＜2a．
【分析】（1）把b＝a代入函数解析式，再令y＝0求解．
（2）由抛物线对称轴为直线x＝﹣可得b与a的等量关系，再将二次函数解析式化为顶点式求解．
（3）由x1＜0＜x2时，y1＜y2可得a＞0，即抛物线开口向上，由点A，B在y轴两侧可得抛物线与y轴交点在直线与y轴交点下方，进而求解．
解：（1）若a＝b，则y＝ax2+bx+b﹣a＝ax2+ax，
令ax2+ax＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣1，
∴二次函数图象与x轴交点坐标坐标为（﹣1，0），（0，0）．
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2+bx+b﹣a＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣9a），
∴函数最小值为﹣9a．
（3）∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴一次函数y＝ax+a中y随x增大而增大，
∴a＞0，抛物线开口向上，
把x＝0代入y＝ax+a得y＝a，
∴直线与y轴交点坐标为（0，a），
把x＝0代入y＝ax2+bx+b﹣a得y＝b﹣a，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，b﹣a），
∵抛物线与直线交点在y轴两侧，
∴点（0，b﹣a）在点（0，a）下方，
∴b﹣a＜a，
解得b＜2a．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．