2023年吉林省长春市榆树市八号镇第三中学二模数学试题 (含答案)

这是一份2023年吉林省长春市榆树市八号镇第三中学二模数学试题 (含答案)，共18页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。
榆树市八号镇第三中学2023.5二模数学试题
一．选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）如图是由一个长方体和一个正方体组成的零件，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）2022年卡塔尔世界杯比赛用球由中国制造，如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是（　　）
A．3.5×106 B．3.5×107 C．35×106 D．35×107
4．（3分）不等式4x﹣1＜0的解集是（　　）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞ D．x＜
5．（3分）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的坡角（∠BAC）为30.5°，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC为5米，则自动扶梯AB的长为（　　）

A．5tan30.5°米 B．5sin30.5°米 C．米 D．米
6．（3分）某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，⊙O的弦AB、CD交于点E．若∠A＝46°，∠AED＝87°，则∠B的度数是（　　）
A．23° B．31° C．41° D．46°
7题 8题
8．（3分）如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为16，且BF＝2AF，则k值为（　　）
A．﹣8 B．﹣12 C．﹣24 D．﹣36
二、填空题（每题3分共18分）
9．（3分）因式分解：x2y﹣4y＝　 　．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
11．（3分）《九章算术》中有一道题，原文是“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出9文钱，多出11文钱；如果每人出6文钱，还差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有x人共同买鸡，根据题意，则可列方程为 　 　．
12．（3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝　 　．

13．（3分）已知一个正多边形的内角和为1260°，则这个正多边形的每个外角的度数是 　 　．
14．（3分）如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长 　 　．

三、解答题（本大题共10个小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）+（2x﹣3）2，其中x＝﹣．
16．（6分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 　 　事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；
（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．
17．（6分）2022年10月以来，长春市开始修建某段北部快速路，计划入冬前修建4200米，为了能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.5倍，结果提前14天完成修建任务．问原计划每天修快速路多少米？
18．（7分）如图，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，CD是边BE的中线，过点D作AD∥BE，且AD＝BC，连结AE交BD于F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若BD＝3，菱形ABCD的面积为，则tan∠DEF的值为 　 　．

19．（7分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD．
求证：（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．

20．（7分）国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
（1）此次调查中接受调查的人数为 　 　人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？

21．（8分）甲乙两人相约一起去登山，登山过程中，甲先爬了100米、乙才开始追赶甲．甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）（x≥0）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是每分钟 　 　米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出乙提速后距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系，并写出相应自变量取值范围；
（3）直接写出甲乙相遇后，甲再经过多长时间与乙相距30米？

22．（9分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4，M为对角线BD上一点（不与B、D重合），连结AM，过点M作MN⊥AM交边CD于点N，连结AN．
（1）【问题发现】在图①中小明想过点M分别作AD、CD的垂线，发现AM和MN有特殊的关系，请你判断△AMN的形状，并根据小明的方法给出证明；
（2）【问题解决】直接写出图①中S△AMN的取值范围：　 　；
（3）【类比探究】如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，M为对角线BD上一点，且，则S△AMN＝　 　．

23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，AD＝3，BD是对角线，E为边AB的中点．点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，在线段AP的延长线上取一点Q，使PQ＝2AP，以PQ为斜边向其右侧作Rt△PQM，使PM∥AB．连结EM，作点A关于EM的对称点A'，连结EA'，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）BD的长为 　 　．
（2）用含t的代数式表示线段DQ的长．
（3）当点A'在边BD上时，求△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积．
（4）当EA'∥BD时，直接写出t的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，过点（0，5）且平行于x轴的直线与直线y＝x交于点P，点P关于直线x＝2的对称点为点Q，抛物线y＝ax2+bx经过点P、Q．
（1）点P的坐标为 　 　；点Q的坐标为 　 　．
（2）求抛物线y＝ax2+bx的表达式．
（3）若点A在抛物线y＝ax2+bx上，且点A横坐标为2m．过点A向直线x＝2作垂线，设垂足为B，当点A与点B不重合时，以AB为边向下作矩形ABCD，使BC＝4AB．
①当矩形ABCD的中心恰好落在抛物线y＝ax2+bx上时，求m的值．
②当抛物线y＝ax2+bx恰与BC有交点时，设该交点为E，若，直接写出m的值．




数学参考答案
一．选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1． B．2． C．3． B．4． D．5． C．6． C．7． C．8． C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9． y（x﹣2）（x+2）． 10． k＞﹣1． 11． 9x﹣11＝6x+16． 12． 2． 13． 40°． 14． 2．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分）
15．
解：原式＝4x2﹣1+4x2﹣12x+9
＝8x2﹣12x+8，
当时，原式＝8×（﹣）2﹣12×（﹣）+8
＝8×+4+8
＝．
16．
解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种，
∴A，B两名志愿者同时被选中的概率为＝．
17．
解：设原计划每天修快速路x米，则实际每天修快速路1.5x米，
由题意得：﹣＝14，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天修快速路100米．
18．
（1）证明：∵AD∥BE，且AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BDE＝90°，CD是边BE的中线，
∴CD＝BE＝BC＝CE，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABD＝S△BCD，
∵BC＝CE，
∴S△BCD＝S△CDE＝S菱形ABCD＝S△BDE，
∵S△BDE＝BD•DE，
∴×3×DE＝，
∴DE＝5，
∵AD＝BC，
∴AD＝BE，
∵AD∥BE，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝＝，
∵BD＝3，
∴DF＝1，
∴tan∠DEF＝＝，
故答案为：．
19．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C．
在△AED与△CFD中，

∴△AED≌△CFD（ASA）；

（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD＝CD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

20．
解：（1）不关注、关注、比较关注的共有4+6+24＝34（人），占调查人数的1﹣32%＝68%，
∴此次调查中接受调查的人数为34÷68%＝50（人），
360°×＝43.2°，
故答案为：50，43.2；
（2）50×32%＝16（人），
补全统计图如图所示：

（3）900×＝828（人），
答：估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有828人．
21．
解：（1）由图象可知，甲登山的速度为（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
故答案为：10；
（2）当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30，
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11，
∴乙提速后距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝30x﹣30（2＜x≤11）；
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤11），
当10x+100＝30x﹣30时，
解得：x＝6.5；
∴30（x﹣6.5）﹣10（x﹣6.5）＝30，
解得x＝8，
∴x﹣6.5＝1.5；
当甲距离山顶30米时，
此时20﹣3﹣6.5＝10.5（分），
答：甲乙相遇后，甲再经过1.5分或10.5分与乙相距30米．
22．
解：（1）△AMN是等腰直角三角形．
理由如下：过点M作ME⊥AD于E，MF⊥CD于F，则四边形MEDF为矩形，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
∴∠DME＝∠DMF＝45°，
∴ME＝DE，
∴四边形MEDF为正方形，
∴ME＝MF，∠EMF＝90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AME＝∠FMN，
又∵∠AEM＝∠MFN，
∴△AME≌△NMF（AAS），
∴AM＝MN，
∴△AMN为等腰直角三角形；
（2）∵△AMN为等腰直角三角形，
∴S△AMN＝，
当AM⊥BD时，AM有最小值，
∵AB＝4，
∴S△AMN最小值＝＝4，
又∵M不与B重合，
∴S△AMN＞S△ABC，即S△AMN＞8，
∴4≤S△AMN＜8；
故答案为：4≤S△AMN＜8；
（3）过点M作MG⊥AB于G，延长GM交CD于H，则MH⊥CD，

∴四边形AGHD为矩形，
∴AG＝DH，GH＝AD＝3，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△BMG∽△DMH，
∴，
∴，
∵GH＝AD＝3，AB＝4，
∴MG＝，MH＝，BG＝，AG＝，
∵AM⊥AN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMG+∠HMN＝90°，
∵∠AMG+∠MAG＝90°，
∴∠HMN＝∠MAG，
∵∠AGM＝∠MHN，
∴△AGM∽△MHN，
∴，
∴，
∴HN＝，
∴MN＝＝＝，AM＝＝＝，
∴S△AMN＝＝．
故答案为：．
23．
解：（1）如图1，过点D作DN⊥AB于N，

∴∠AND＝∠DNB＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ADN＝30°，
∵AD＝3，AB＝6，
∴AN＝AD＝，DN＝＝，
Rt△DNB中，BN＝6﹣＝，
∴BD＝＝＝＝3；
故答案为：3；
（2）由题意得：AP＝t，
当0＜t≤1时，点Q在线段AD上，如图2，
∴DQ＝3﹣t﹣2t＝3﹣3t；
当t＞1时，点Q在线段AD的延长线上，
∴DQ＝t+2t﹣3＝3t﹣3；
（3）如图2，连接AM，

∵PM∥AB，
∴∠DPM＝∠BAD＝60°，∠AMP＝∠BAM，
∵∠PMQ＝90°，
∴∠PQM＝30°，
∴PQ＝2PM，
∵PQ＝2PA，
∴PA＝PM，
∴∠PAM＝∠AMP，
∴∠PAM＝∠BAM，
∴点M总在∠BAD的平分线上，
当点A'在边BD上时，存在两种情况：
①如图3，

∵点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝3，
∵AD＝3，
∴AE＝AD，
∵∠PAE＝60°，
∴△EAD是等边三角形，
∴ED＝EA，∠AED＝60°，
由折叠得：AE＝A'E，
∴当点A'与点D重合时，符合题意，如图3所示，
此时∠AEM＝∠DEM＝∠AED＝30°，
∴点M正好在△DEA的角平分线上，
∴∠PDM＝×60°＝30°，
∵∠PQM＝30°，
∴点Q与点D重合，
∴3t＝3，
∴t＝1，
∴PQ＝2PA＝2，
∴PM＝1，QM＝＝，
∴S△PQM＝•PM•QM＝×1×＝，
∴此时△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积为；
②∵点E是AB的中点，

∴AE＝BE＝3，
由折叠得：AE＝A'E，
∴当A'与B重合时符合要求，如图4，
此时EM垂直平分AB，
∴AQ＝BQ，
∵∠QAB＝60°，
∴△QAB是等边三角形，
∴AQ＝2AE＝6，
∴3t＝6，
∴t＝2，
∴AP＝PM＝2，
∴PQ＝2AP＝4，
∴QM＝＝2，
∴S△PQM＝×2×2＝2，
∵AD＝3，
∴DQ＝6﹣3＝3，
∵DC∥AB，
∴∠DFQ＝∠AEQ＝90°，
∵∠DQE＝∠AQB＝30°，
∴DF＝DQ＝，QF＝DQ×cos30°＝3×＝，
∴S△DQF＝××＝，
此时△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积＝2﹣＝，
综上，△PQM与平行四边形ABCD重叠部分图形的面积或；
（4）根据（3）可知：AM平分∠DAB，PM＝AP＝t，
∴∠DAM＝∠BAM＝∠DAB＝30°，
分两种情况：
①当点A'在点E的上方时，延长AM，过点E作EF⊥AM于F，过点P作PN⊥AM于N，如图5所示，

∵∠EFA＝90°，∠EAF＝30°，
∴EF＝AE＝，∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
∴AF＝AE×cos30°＝3×＝，
由（1）可知：AD＝3，BD＝3，AB＝6，
∵32+（3）2＝36＝62，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣60°＝30°，
∵EA'∥BD，
∴∠AEA'＝∠ABD＝30°，
由折叠得：∠AEM＝∠A'EM＝∠AEA'＝15°，
∴∠MEF＝60°﹣15°＝45°，
∴∠EMF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EMF＝∠MEF，
∴EF＝FM＝，
∴AM＝，
∵AP＝MP，PN⊥AM，
∴AN＝MN＝AM＝，
∵∠PAN＝30°，∠PNA＝90°，
∴AP＝＝＝，
∴t＝；
②当点A'在点E的下方时，过点E作EF⊥AM于F，过点P作PN⊥AM于N，如图6所示，

∵∠EFA＝90°，∠EAF＝30°，
∴EF＝AE＝，∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
∴AF＝AE×cos30°＝3×＝，
∴∠ABD＝30°，
∵A'E∥BD，
∴∠BEA'＝∠ABD＝30°，
∴∠AEA'＝180°﹣30°＝150°，
由折叠得：∠AEM＝∠A'EM＝（360°﹣150°）＝105°，
∴∠MEF＝105°﹣60°＝45°，
∴∠EMF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EMF＝∠MEF，
∴EF＝FM＝，
∴AM＝，
∵AP＝MP，PN⊥AM，
∴AN＝NM＝AM＝，
∵∠PAN＝30°，∠PNA＝90°，
∴AP＝＝＝，
∴t＝，
综上，t的值是或．
24．
解：（1）由题意可知，点P的纵坐标为5，
∴x＝5，
∴P（5，5）；
∵点P关于直线x＝2的对称点为点Q，
∴Q（﹣1，5）；
故答案为：（5，5），（﹣1，5）；
（2）∵抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，
把（5，5），（﹣1，5）代入，得，，
∴，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；
（3）①由题意得，A（2m，4m2﹣8m），B（2，4m2﹣8m），
当m＜1时，AB＝2﹣2m，BC＝8﹣8m，
∴矩形ABCD的中心的坐标为（m+1，4m2﹣4m﹣4），
把（m+1，4m2﹣4m﹣4）代入y＝x2﹣4x，得4m2﹣4m﹣4＝（m+1）2﹣4（m+1），
解得，m2＝1（舍）；
当m＞1时，AB＝2m﹣2，BC＝8m﹣8，
∴矩形ABCD的中心的坐标为（m+1，4m2﹣12m+4），
把（m+1，4m2﹣12m+4）代入y＝x2﹣4x，得4m2﹣12m+4＝（m+1）2﹣4（m+1），
解得，m2＝1（舍）；
综上，或；
②∵，
∴tan∠BAE＝2；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴直线x＝2与抛物线的交点为（2，﹣4），
由题意得，A（2m，4m2﹣8m），B（2，4m2﹣8m），
当m＜1时，AB＝2﹣2m，BC＝8﹣8m，
∴C（2，4m2﹣8），
∴4m2﹣8≤﹣4，即﹣1≤m＜1，
此时BE＝4m2﹣8m+4，
∴tan∠BAE＝＝2，即BE＝2AB，
∴4m2﹣8m+4＝2（2﹣2m），
解得m＝0或m＝1（舍）；
当m＞1时，AB＝2m﹣2，BC＝8m﹣8，
∴C（2，4m2﹣16m+8），
∴4m2﹣16m+8≤﹣4，即1≤m＜3，
此时BE＝4m2﹣8m+4，
∴tan∠BAE＝＝2，即BE＝2AB，
∴4m2﹣8m+4＝2（2m﹣2），
解得m＝2或m＝1（舍）；
综上，m＝0或m＝2．