湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校 、浙江省杭州第二中学2023届高三年级二模联考数学试题及参考答案

湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校 、浙江省杭州第二中学2023届高三二模联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

2．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

4．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.根据“祖暅原理”，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．函数和函数的图象相交于两点，为坐标原点，则的面积为(   )

A． B． C． D．

6．已知P为双曲线上一点，为双曲线C的左、右焦点，若，且直线与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

7．已知正六棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，则该六棱锥体积的最大值为（    ）

A． B．16 C． D．

8．设实数，满足，，则，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．无法比较

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若随机变量，则

B．若随机变量，且，则

C．一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19

D．若，，，则事件与事件相互独立

10．在中，内角，，所对的边分别，，，，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．外接圆的半径为

C．取得最小值时， D．时，取得最大值为

11．正四棱柱，，是侧棱上的动点（含端点），下列说法正确的是（    ）

A．时，三棱锥的体积为

B．设平面，则

C．平面截正四棱柱所得截面周长的最小值为

D．与所成角余弦值的取值范围为

12．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．当时，函数在处的切线方程为

B．当时，函数在上单调递减

C．若函数在上恰有一个极值，则

D．当时，，满足

三、填空题

13．的展开式中常数项为______.

14．若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______.

四、双空题

15．2023年2月22日，中国厦门市一名8岁男孩用时4.305秒单手完成4层汉诺塔游戏，成为新的世界纪录保持者.汉诺塔游戏源于1883年法国数学家卢卡斯提出的汉诺塔问题，有，，三根柱子，在柱上放着由下向上逐渐变小的个盘子，现要求把柱上的盘子全部移到柱上，且需遵循以下的移动规则：

①每次只能移动一个盘子；

②任何时候都不允许大盘子放在小盘子的上面；

③移动过程中盘子可以放在，，中任意一个柱子上.

若用表示个盘子时最小的移动次数，则______，______.

五、填空题

16．已知抛物线：的准线为，过点的直线交于，两点，的中点为，分别过点，，作的垂线，垂足依次为，，，则当取最小值时，______.

六、解答题

17．已知函数的部分图像如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为．

(1)求这个函数的解析式；

(2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．

18．已知正项数列的前项和为，且，（且）.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求证：.

19．如图，正四棱锥和正三棱锥顶点均为.

(1)设平面与平面的交线为，求证：；

(2)若，的中点为，求平面与平面所成二面角的余弦值.

20．某公司有员工140人，为调查员工对薪酬待遇的满意度，现随机抽取了15人，通过问卷调查，有3人对薪酬不满意.

(1)试估计公司中对薪酬不满意的人数；

(2)从15名调查对象中抽取2人，用表示其中对薪酬不满意的人数，试求的数学期望；

(3)实际上，由于问题比较敏感，被调查者为了保护自己的隐私往往会做出相反的回答，导致调查数据失真.为此对调查方法进行优化，现向15名调查对象提供两个问题：

问题A：你对公司薪酬是否不满意？

问题B：现场抛一枚硬币，是否正面朝上？

在一个密闭房间里有一个箱子，箱子中放入大小相同的10个小球，其中黑色小球7个，白色小球3个，每位调查对象进入房间后，从箱子中摸出一个小球后放回，若是黑球，则回答问题A，若是白球，则抛硬币完成问题B.若有6人回答“是”，试用全概率公式估计公司中对薪酬不满意的人数.

21．已知椭圆：（），长轴为，离心率为，是椭圆上的动点，面积的最大值为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)若点是椭圆上另两个动点，求面积的最大值.

22．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，若记，则函数在点处的曲率为.

(1)求证：抛物线（）在处弯曲程度最大；

(2)已知函数，，，若，曲率为0时的最小值分别为，，求证：.