2023年江苏省宿迁市宿豫区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省宿迁市宿豫区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知一组数据：、、、、，这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线、被直线所截，下列条件不能判定直线与平行的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  数学家斐波那契编写的算经中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为人，则可列方程(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在▱中，为边上一点，且，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，反比例函数与矩形一边交于点，且点为线段中点，若的面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  国家医保局公布了年至年全国累计结算新冠病毒疫苗及接种费用约亿元将数据用科学记数法表示为        ．

10.  分解因式：______．

11.  使分式有意义，则的取值范围为        ．

12.  一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是        ．

13.  已知二元一次方程组，则        ．

14.  已知圆锥的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为______．

15.  在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，则的值为        ．

16.  如图，点、、在上，为直径，，则弧的度数为        ．

17.  如图，▱中，平分，且点是线段的中点，，，则的长为        ．

18.  如图，已知等边，点为平面内任意一点，且，，则的最大值是        ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
某中学对学生进行“综合素质评价”，现随机抽取部分学生的评价结果分为、、、、五个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题．
本次抽样调查的学生有        人；
补全条形统计图：组对应扇形的圆心角的度数为        ；
该学校共有名学生，估计该校等级的人数．

22.  本小题分
如图，、、、在同一直线上，和都是等边三角形，且，求证：≌．

23.  本小题分
小明手中有方块、、三张扑克牌，小亮手中有方块、、三张扑克牌每人从各自手中随机取一张牌进行比较，数据大的获胜．
小明抽中方块的概率是        ；
试用列表或画树状图的方法，求小亮获胜的概率．

24.  本小题分
某型号飞机的机翼形状如图所示，已知米，米，，，，求的长结果保留根号

25.  本小题分
如图，三角形内接于，为的直径，，，是等
边三角形．
求证：为的切线；
连接交于点，求线段的长．

26.  本小题分
某商店计划购进花生油和玉米油，若购进瓶花生油和瓶玉米油，需支付元，若购进瓶花生油和瓶玉米油，需支付元．
花生油和玉米油每瓶各是多少元？
经过一段时间销售发现花生油更畅销，本月共购进瓶花生油，若花生油以每瓶元的价格销售，则至少销售多少瓶可使得销售款超过进货款？

27.  本小题分
【问题提出】
在一次折纸活动课上，老师提出这样一个问题：如何把一张正方形的纸通过折叠的方式等分成若干份？
【解决问题】
以下是某个小组的活动过程：若是等分成两份，如图直接对折，四等分、八等分在二等分的基础上进行对折即可，那三等分呢？
学习过相似三角形的相关知识后，小明提出了如下方法：如图，折出、的中点、，连接、交对角线于点、，过点、折出、的平行线，折痕、三等分正方形纸片．
小明的想法正确吗？若正确，请证明：
【类比学习】
尺规作图：如图，请你用尺规作图，作线段的三等分点保留作图痕迹，并简要说明作法
 

28.  本小题分
如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点．
求函数表达式及顶点坐标；
连接，点为线段上方抛物线上一点，过点作轴于点，交于点，当时，求点的坐标；
是否存在点在抛物线上，点在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项，逐一进行计算，判断即可．
本题考查同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：把这组数据从小到大排列为，，，，，
故中位数为；
故选：．
利用中位数的定义求解即可．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
故A不符合题意；
，，
，
，
故B不符合题意；
由，不能推出，
故C符合题意；
，，
，
，
故D不符合题意．
故选：．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
，
，
故选：．
根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，
依题意得：．
故选：．
设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，利用人均分得钱数总钱数参与分钱的人数，结合两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，，，所以，由，得，则，所以，，则，再证明≌，得，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
设点的坐标为，则的坐标为，
为的中点，

、在反比例函数的图象上，
，
，
，
解得：，
故选：．
根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出或的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式一定要彻底．
 

11.【答案】． 

【解析】解：由题意可知：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图可知，当时，，
当时，．
故答案为：．
观察图象发现当时，，据此求解即可．
本题考查了一次函数的图象与性质，根据题意利用数形结合求解是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，得，
即．
故答案为：．
得出，再求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
母线长为，
圆锥的侧面积为．
利用勾股定理易求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥侧面积的求法；注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
 

15.【答案】 

【解析】解：由正比例函数与与反比例函数的图象和性质可知，
其交点与关于原点对称，
，
故答案为：．
根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点与交点关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．
本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确判断的前提．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
弧的度数为．
故答案为：．
连接、，先根据圆内接四边形的性质，则可计算出，接着根据圆周角定理得到，然后利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
点是线段的中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
四边形是平行四边形，
，
，
是，
，，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质和平行线的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，以为边作等边三角形，连接，
，，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
当点在线段的延长线上时，有最大值为，
的最大值为，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，由三角形的三边关系可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：人，
即本次抽样调查的学生有人，
故答案为：；
等级的学生有：人，
补全的条形统计图如右图所示，
组对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：；
人，
答：估计该校等级的学生有人．
根据等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数；
根据中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；根据等级的和中的结果，可以计算出组对应扇形的圆心角的度数；
根据扇形统计图中等级所占的百分比，可以计算出该校等级的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：和都是等边三角形，且，
，，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据等边三角形的性质推出，，，利用即可证明≌．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：小明手中有方块、、三张扑克牌，
小明抽中方块的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小亮取出的牌比小明大的结果有，，，共种，
小亮获胜的概率为．
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和小亮取出的牌比小明大的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：过点作于点，过点作于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
米，
米，
在中，
由勾股定理可知：米．
米，
，
米，
米，
米，
答：长为米． 

【解析】过点作于点，过点作于点，根据条件以及勾股定理可求出、、以及的长度．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理、梯形面积公式以及三角形的面积，本题属于中等题型．
 

25.【答案】证明：为的直径，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
为的直径，
为的切线；
解：，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
为的直径，
，
，
，
又，
∽，
，
，
． 

【解析】根据含角的直角三角形的逆定理推出，根据等边三角形的性质得到，进而推出，则，根据切线的判定定理即可得解；
根据勾股定理求出，根据圆周角定理得到，根据邻补角定义求出，结合，即可判定∽，根据相似三角形的性质求解即可．
此题考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：设花生油的进价是元瓶，玉米油的进价是元瓶，
根据题意得：，
解得：．
答：花生油的进价是元瓶，玉米油的进价是元瓶；
设销售瓶花生油，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为．
答：至少销售瓶可使得销售款超过进货款． 

【解析】设花生油的进价是元瓶，玉米油的进价是元瓶，根据“购进瓶花生油和瓶玉米油，需支付元，购进瓶花生油和瓶玉米油，需支付元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设销售瓶花生油，利用总价单价数量，结合销售款超过进货款，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

27.【答案】解：小明的想法正确，理由如下：
四边形是正方形，
，，
∽，
，
为的中点，
，
，
同理，，
，
，
，
折痕、三等分正方形纸片，
小明的想法正确；
如图，任意作一条射线，截取，连接，
分别作，即可得出线段的三等分点、．
 

【解析】根据∽，可得，同理，，再利用平行线分线段成比例定理可得；
任意作一条射线，截取，连接，分别作，即可得出线段的三等分点、．
本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，尺规作图等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
 

28.【答案】解：把、代入，
得，解得，
该函数表达式为；
，
该抛物线的顶点坐标为
如图，抛物线，当时，，
，
设直线的函数表达式为，则，
解得，
直线的函数表达式为，
设，则，
，
，
解得，不符合题意，舍去，
点的坐标为．
存在，
由得，抛物线的对称轴为直线，
设直线交轴于点，
设，
过点分别作轴、直线的垂线，垂足分别为点、点，
，
，
，
，
，，
≌，
，
如图、图，点的横、纵坐标相等，
，解得，，
点的坐标为或；
如图，图，点的横、纵坐标互为相反数，
，解得；，
点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或 

【解析】把、代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即得到该函数表达式为；再将该函数表达式配方成顶点式，即得到该抛物线的顶点坐标为；
先求得直线的函数表达式为，设，则，再由，得，求得符合题意的的值为，则；
设，过点分别作轴、直线的垂线，垂足分别为点、点，可证明≌，得，再分两种情况列方程，一是点的横、纵坐标相等，则；二是点的横、纵坐标互为相反数，则，解方程求出相应的值及点的坐标即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．