2022-2023学年陕西省西安市莲湖区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市莲湖区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  若等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

5.  如图，平分，是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，，为边的中点，下列结论不一定正确的是(    )

A.
B.
C. 平分
D.

7.  如图，在中，直线为的垂直平分线，并交于点，连接若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，一次函数、为常数，且的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  若点与点关于原点对称，则 ______ ．

10.  如图，小明沿倾斜角的山坡从山脚点步行到山顶点，共走了，则山的高度是______

11.  若不等式组的解集为，其解为，则的取值范围是______ ．

12.  如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，，则 ______ ．

13.  一个六边形的六个内角都是度，连续四边的长为，，，，则该六边形的周长是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

14.  解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

四、解答题（本大题共12小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解不等式：．

16.  本小题分
解不等式组，并求出符合条件的所有正整数解．

17.  本小题分
如图，下列网格是由边长为的小正方形组成，在图中画出以为腰的等腰直角，使点在小正方形的顶点上，且．

18.  本小题分
某宾馆重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价元，楼梯宽米，楼梯侧面及相关数据如图所示，求买地毯至少需要多少元？

19.  本小题分
一次数学竞赛中，共有道题，规定答对一道题得分，答错或不答一道题扣分；分以上含分可以获奖，问若要获奖，至少要答对几道题？

20.  本小题分
若实数使得关于的不等式组有且仅有个整数解，求实数的取值范围．

21.  本小题分
如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知，，，，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．

22.  本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点．

将向上平移个单位，再向右平移个单位，得到，请画出；
以边的中点为旋转中心，将旋转，得到，请画出．

23.  本小题分
如图，在四边形中，，是的中点，平分．
求证：．

24.  本小题分
如图，已知为等边三角形．为内一点，，，，若将绕点逆时针旋转后得到．
求点与点之间的距离；
求的度数．

25.  本小题分
为了庆祝建党周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛学校计划为比赛购买、两种奖品已知购买个种奖品和个种奖品共需元；购买个种奖品和个种奖品共需元．
求，两种奖品的单价．
学校准备购买，两种奖品共个，且种奖品的数量不少于种奖品数量的，购买预算不超过元，请问学校有哪几种购买方案．

26.  本小题分
在边长为的等边中，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点．

如图，当点为的中点时，
求证：；求的长；
如图，过点作直线的垂线，垂足为，当点、在移动的过程中，试确定、的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故A不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形；故B不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故D符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，则，所以选项不符合题意；
B.因为，则，所以选项不符合题意；
C.因为，则，所以选项不符合题意；
D.因为，则，所以选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质对选项进行判断；根据不等式的性质对选项、选项进行判断；根据不等式的性质对选项进行判断．
本题考查了不等式的性质：灵活运用不等式的性质是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：．
利用勾股定理的逆定理进行计算即可求解．
此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
解得，，
，
底边的长不能为，只能为，
腰长为，
周长，
故此等腰三角形的周长为．
故选：．
由非负数的性质先求得，，再根据三角形三边之间的关系确定出那个是腰，进而求得周长的值．
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式正确解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：

当时，有最小值，
平分，，，
，
长的最小值为，
故选：．
当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，
是等腰三角形，
，
为边的中点，
，平分，
故选项A、、C正确，不一定成立，
故选：．
由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可．
此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
垂直平分，
，
故选：．
先求出的长，根据线段垂直平分线的性质可得，即可求出的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：把点代入，得
，
解得．
即．
由图象可得，
当时，的取值范围是．
故选：．
根据题意和函数图象，可以写出当时，的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：与点关于原点对称，
．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
山的高度是：．
故答案为：．
直接利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集为，
，
故答案为：．
根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质可知，，
，
．
故答案为：．
求出，再利用角的和差定义求解．
本题考查旋转变换，角的和差定义等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示，六个内角都是，
三角形的每个内角都是，即，，，都为等边三角形，
，，
，
，
，，
该六边形的周长是：．
故答案为．
先延长其中三边构造等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可．
主要考查了正多边形的相关性质．边相等，角相等．
 

14.【答案】解：，
由不等式移项得：，
整理得：，
解得：，
由不等式去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
则不等式组的解集为．
在数轴上表示不等式组的解集如图所示，
 

【解析】将不等式组的两不等式分别记作和，由不等式移项，将的系数化为，求出的范围，由不等式左边去括号后，移项并将的系数化为求出解集，找出两解集的公共部分，确定出原不等式组的解集，并将此解集表示在数轴上即可．
此题考查了一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，然后利用取解集的方法同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解来找出不等式组的解集．
 

15.【答案】解：，
，
，
，
，
则． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

16.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
正整数解有，，，． 

【解析】先求出各个不等式的解，然后确定不等式组的解集，即可得出整数解．
题目主要考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式的方法是解题关键．
 

17.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】利用等腰直角三角形的定义画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为米，米，

地毯的长度为：米，地毯的面积为：平方米，
买地毯至少需要：元．
答：买地毯至少需要元． 

【解析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
本题主要考查了生活中的平移现象，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
 

19.【答案】解：设答对题，那么答错或者不答的有题

解得：
答：至少要答对题． 

【解析】根据题意，设答对题，则答对获得的分数为，而答错损失的分数为，由这次竞赛获奖必须达到分，列出不等式求解即可．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确的不等关系是解题关键．
 

20.【答案】解：由得，
由得
不等式组至少有个整数解，即至少有，，，，个整数解，
．
． 

【解析】表示出不等式组的解集，根据不等式组至少有个整数解，确定出的范围．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：连接，如图所示：
在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
铺满草坪的面积
答：这块空地铺满草坪的面积是． 

【解析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，求出区域的面积，即可求出答案．
本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理等知识，解此题的关键是求出铺满草坪的面积．
 

22.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．
 

【解析】根据平移的性质可得；
根据旋转的性质可得．
本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，过点作于，
，平分，
，
在和中，
，
和≌．
，
是的中点，
，
在和中，
，
和≌．
，
，
． 

【解析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再证和≌，求出，由是的中点，得出，证和≌，得出，即，则．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键．
 

24.【答案】解：连接
由题意可知，，
，而，
所以度．故为等边三角形，
所以；
利用勾股定理的逆定理可知：
，所以为直角三角形，且，
可求． 

【解析】由已知绕点逆时针旋转后，得到，可得≌，，旋转角，所以为等边三角形，即可求得；
由为等边三角形，得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出，可求的度数．
本题考查旋转的性质，掌握旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变是解题关键．
 

25.【答案】解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：．
答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元；
设购买种奖品个，则购买种奖品个，
由题意得：，
解得：，
为整数，
可取或或，
或或，
学校有三种购买方案：
方案一、购买种奖品个，购买种奖品个；
方案二、购买种奖品个，购买种奖品个；
方案三、购买种奖品个，购买种奖品个． 

【解析】设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，由题意：购买个种奖品和个种奖品共需元；购买个种奖品和个种奖品共需元．列出方程组，解方程组即可；
设购买种奖品个，种奖品个，由题意：奖品的数量不少于奖品数量的，购买预算不超过元，列出不等式组，求出正整数解即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，列出二元一次方程组；找出不等关系，列出一元一次不等式组．
 

26.【答案】解：如图，过点作交于点．

，，
是等边三角形，
，
、的运动速度相同，
，
，
≌，
．

是中点，
，
，
≌，
．

如图，当点在线段上时，，

理由：作交于．
由可知：≌，
，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，．

理由：作交的延长线于．
同理可证：≌，，
，
，
，
即． 

【解析】如图，过点作交于点只要证明≌即可；由≌，推出即可；
分两种情形如图，当点在线段上时，；如图中，当点在线段的延长线上时，；
本题考查三角形综合题、等边三角形的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．