2022-2023学年浙江省杭州市上城区惠兴中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市上城区惠兴中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式的运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下表是某篮球队的年龄分布，对于不同的值，下列关于年龄的数据量不会发生改变的是(    )

A. 平均数、中位数 B. 中位数、众数 C. 中位数、方差 D. 平均数、方差

4.  用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中(    )

A. 至少有一个角是钝角或直角 B. 没有一个角是锐角
C. 每一个角都是钝角或直角 D. 每一个角是锐角

6.  一个多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形是(    )

A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形

7.  如图，在平行四边形，是、的交点，过点与垂直的直线交边于点，若的周长为，则平行四边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门用其它材料，若设垂直于墙的一边长为，那么可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在▱中，为边延长线上一点，连结、若，，的面积为，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
若是一元二次方程的根，则；
其中正确的(    )

A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 只有

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  代数式有意义，则的取值范围是        ．

12.  超市把元千克的软糖千克，元千克的水果糖千克，混合在一起，则混合后糖果的平均价格为______元千克．

13.  关于的一元二次方程的两个根分别是与，则 ______ ．

14.  如图，在▱中，，的平分线交于点，连接若，则的度数为______ ．

15.  如图，水库大坝截面的迎水坡的坡比与的长度之比为：，背水坡坡比为：，大坝高，坝顶宽，则大坝横截面的周长为______

16.  如图，在平行四边形中，，，将沿翻折至，连接当长为______ 时，是直角三角形．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
下面是小华同学解答题目的过程：

第一步．
第二步．
第三步．
第四步．
小华的解题过程是否有错误？如果有，请写出正确解答过程．

18.  本小题分
解方程．
；
．

19.  本小题分
某市举行知识大赛，校、校各派出名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．

根据图示填写下表：

结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
若校的方差为分，计算校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．

20.  本小题分
已知，．
求的值；
若的小数部分是，的整数部分是，求的值．

21.  本小题分
某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元每天可销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求每次降价的百分率；
经调查，若该商品每降价元，每天可多销售件若每天要想获得元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？

22.  本小题分
如图，在▱中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上．
求证：为的中点；
若，，求的长；
点为的中点，连接，交于点，求证：．

23.  本小题分
如图，在▱中，是对角线，，，垂足分别为点，，连接，．
求证：四边形是平行四边形．
如图，若▱的四个内角为．
若▱两边：：，求证：、是对角线的三等分点．
若四边形与▱的面积之比为，请用含的式子表示出▱的两边与的比．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为，
则总人数为：人，
因为岁出现的次数最多为次，
故该组数据的众数为岁，
第、个数据为、，
故中位数为：岁，
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：．
由频数分布表可知后两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第、个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
移项，配方，即可得出选项．
本题考查了配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，
首先应该假设这个四边形中每一个角是锐角，
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

6.【答案】 

【解析】解：设多边形的边数是，则，
解得：，
故选：．
根据多边形的外角和是，以及多边形的内角和定理即可求解．
本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为，
的周长为：．
▱的周长为厘米，
故选：．
由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可根据的周长等于求得平行四边形的周长即可．
此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

8.【答案】 

【解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为，由题意得，
故选：．
设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为根据矩形的面积公式建立方程即可．
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
设与之间的距离为，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，设与之间的距离为，再由三角形面积求出，即可解决问题．
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质，求出与之间的距离是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
是一元二次方程的解，
，结论正确；
方程有两个不相等的实根，
，
，
方程有两个不相等的实根，结论正确；
是方程的一个根，
，
若为，则无法得出，结论不正确；
是一元二次方程的根，
，
，
，结论正确．
正确的结论有．
故选：．
由，可得出是一元二次方程的解，进而可得出；
由方程有两个不相等的实根，可得出，结合偶次方的非负性，可得出，进而可得出方程有两个不相等的实根；
代入，可得出，当时，无法得出；
利用求根公式，可得出，变形后即可得出．
本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：有意义，
且，
且，
故答案为：且．
根据题意可得且，求出的取值范围即可．
本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：两种糖果的总价格为：，
混合后糖果的平均价格为，
故答案为：．
平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
本题考查的是加权平均数的求法．这类题目重点是确定总价格，然后用总价格除以总重量，进而求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
故答案为：．
利用直接开平方法解方程得到方程的两根互为相反数，则，则可计算出即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可得出的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作与点，如图，则，，
水坡的坡比与的长度之比为：，
，
，
，
背水坡坡比为：，
，
，
，
大坝横截面的周长．
故答案为：
过点作与点，如图，则，，根据坡比的定义得到，，则可计算出，，再利用勾股定理计算出和，然后计算大坝横截面的周长．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，又叫做坡比，一般用表示，常写成：的形式．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：如图，延长，交于点，当时，

，，
，
，，
，
，，
，
，
为中点，
，
，
如图，设与相交于点，当时，

，，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，在同一直线上，
，
在中，，，
；
如图，当时，记与交于点，

由折叠可知，，
，
，
，
≌
，
是等边三角形，
，
同理可得，
，
在中，，，
．
综上所述，的长为或或．
分两种情况，利用含的直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和含的直角三角形的性质解答．
 

17.【答案】解：错误．
原式




． 

【解析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
则，
或，
解得，；
，
，
或，
解得，． 

【解析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

19.【答案】     

【解析】解：校平均数为：分，众数分；
校中位数分．
填表如下：

故答案为：；；．
校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，校的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的校成绩好些．
校的方差．
，
因此，校代表队选手成绩较为稳定．
根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答；
根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；
分别求出校、校的方差即可．
本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
 

20.【答案】解：，，
，
，



；
，
，
，
的整数部分是，
，
，
，
，
的整数部分是，小数部分，
，



，
的值为． 

【解析】利用完全平方公式，进行计算即可解答；
先估算出与的值的范围，从而求出，的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：设每次降价的百分率为，
依题意得：．
解方程得：，不合题意舍去．
答：每次降价的百分率为；
设每件应降价元，
依题意得：
理得．
解方程得：，．
要尽快减少库存，所以取．
答：每天要想获得元的利润且尽快减少库存，每件应降价元． 

【解析】设每次降价的百分率为，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，列一元二次方程，求解即可；
设每件应降价元，根据每天要想获得元的利润，列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
同理：，
，
为的中点；
解：由可知，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
即的长为；
证明：如图，取的中点，连接，

则，
点为的中点，
是的中位线，
，且，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
由可知，，
，
又，
≌，
，
，
，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，，再，再证，得，同理，则，即可得出结论；
证，再由勾股定理即可得出结论；
取的中点，连接，由三角形中位线定理得，且，再证≌，得，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
证明：▱的四个内角为，
四边形是矩形，
，
设，
则，
，
于点，
，
在中，，
同理，
，
，
即、是对角线的三等分点；
解：连接交于，

四边形与▱的面积之比为，
，
，
设，则，，
，
，
由可知，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
． 

【解析】由证明≌得出由，即可得出四边形是平行四边形；
设，则，由勾股定理求出，再求出、、的长，即可得出结论；
连接交于，证出，设，则，，由勾股定理求出和的长，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．