2022-2023学年安徽省合肥市八校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥市八校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果有意义，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列根式中属最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平行四边形中，已知，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列四组数中不是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，

5.  下列四个算式中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，，则数轴上点所表示的数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  适合下列条件的中，直角三角形的个数为(    )
，，，；，；，，，，．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的倍，这个三角形有一个锐角是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在▱中，是的平分线交于点，且，▱的周长是，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  矩形具有而菱形不具有的性质是(    )

A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等

11.  如图，平行四边形的对角线相交于点，且，过点作交于点，连接若平行四边形的周长为，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：对折矩形纸片，使和重合，得到折痕，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段观察探究可以得到的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  比较大小：          ．

14.  如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______．

15.  实数在数轴上的位置如图所示，则          ．
 

16.  如图，已知长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为          ．
 

17.  如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是______．

18.  观察下列各式：；；，请用含的式子写出你猜想的规律：__________．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  如图，点是正方形内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则求的度数．提示：连接

四、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：
；
；
；
．

21.  本小题分
若实数，满足，求的值．

22.  本小题分
如图，直线过正方形顶点，点、到直线距离分别是和，求正方形边长．

23.  本小题分
如图，▱中，点、在对角线上，且求证：四边形是平行四边形．

24.  本小题分
如图，在菱形中，对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
求证：≌；
判定四边形的形状并说明理由．

25.  本小题分
如图，在中，于点，，分别是，的中点，是的中点，的延长线交线段于点，连结，，．
求证：四边形是平行四边形．
当，时，求的长．

26.  本小题分
在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

求证：四边形是菱形；
若，菱形的面积为求的长．

27.  本小题分
问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形如图，在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点试说明中点四边形是平行四边形探究展示：勤奋小组的解题思路：

反思交流：
：
上述解题思路中的“依据”、“依据”分别是什么？
依据：______ ；
依据：______ ；
连接，若时，则中点四边形的形状为______ ；并说明理由；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
如图，点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为______ ，并说明理由；
若改变中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、无法化简，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：．
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，，
．
故选：．
根据平行四边形邻角互补的性质即可求解．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是熟练掌握平行四边形邻角互补的知识点．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，是勾股数的一组；
B、，不是勾股数的一组；
C、，是勾股数的一组；
D、，是勾股数的一组．
故选：．
求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数的平方即可．
考查了勾股数，理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，所以选项正确；
B、原式，所以选项错误；
C、与不能合并，所以选项错误；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
利用二次根式的除法法则对进行判断；利用二次根式的性质对进行判断；利用二次根式的加减法对进行判断；利用二次根式的乘法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出的长是解题的关键．根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上的点的表示解答．
【解答】

解：由勾股定理得，，
，
点表示的数是，
点表示的数是．
故选B．
 

7.【答案】 

【解析】解：，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；
，不是成为直角三角形的必要条件，故不是；
，则第三个角度数是，故是；
，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；
，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．
故选：．
计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定即可．
本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据斜边的平方等于两条直角边乘积的倍，以及勾股定理可以列出两个关系式，直接解答即可．
已知直角三角形的边长问题，不要忘记三边的长，满足勾股定理．
【解答】
解：设直角三角形的两直角边是、，斜边是．
根据斜边的平方等于两条直角边乘积的倍得到：，根据勾股定理得到：，因而，
即：，
，则这个三角形是等腰直角三角形，
因而这个三角形的锐角是．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：是的平分线，
，
，
，
，
，
▱的周长是，
，
，
则，
故选：．
根据是的平分线和，求出，根据▱的周长是，求出，得到的长．
本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选B．
根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又，继而可得的周长等于．
此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，
平行四边形的周长为，
，
，
，
的周长为：．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：交于，如图，
四边形为矩形，
，
折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，
，，
对折矩形纸片，使和重合，得到折痕，
，，
为的中位线，，
点为的中点，
，
，
，
，
．
故选：．
交于，如图，根据折叠的性质得，，，，则可判断为的中位线，利用平行线的性质得，根据斜边上的中线性质得，所以，从而得到，然后利用可得到的度数．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
先把两数平方，再根据实数比较大小的方法即可比较大小．
此题主要考查了实数的大小比较，实数大小比较法则：
正数大于，大于负数，正数大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小．
【解答】
解：，，
．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】根据同类二次根式的定义建立关于的方程，求出的值．
本题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【解答】
解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：根据数轴上显示的数据可知：，
，，
．
故答案为：．
根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出与，与的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．
本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．
二次根式的化简规律总结：当时，；当时，．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了折叠的性质，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．
根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】
解：将此长方形折叠，使点与点重合，
．
．
，
根据勾股定理可知：．
解得：．
的面积为：
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：如图所示，
三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，
蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得：．
故答案为．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了算术平方根，属于规律性题目，根据题意找出规律是解答此题的关键．
从给出的三个式子中，我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，根号里的还是原来的分数，依此可以找出规律．
【解答】

解：从三个式子中，
我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，根号里的还是原来的分数，
即．
故答案为．

19.【答案】解：连接，如图，
绕点顺时针旋转得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，
，
． 

【解析】连接，如图，根据旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，，在中，由于，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，然后利用求解．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质和正方形的性质．
 

20.【答案】解：原式
；
原式
；
原式
；
原式

． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；
根据二次根式的乘除法则运算；
利用平方差公式计算；
先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

21.【答案】解：由题意，得
，，
解得，
当时，．
当，时，． 

【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键．
根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案．
 

22.【答案】解：过点、分别向直线作垂线段，垂足是、，则
由题可知，，，，
，
四边形是正方形，
，，
，

在与中
，
≌，
，
在中，． 

【解析】过点、分别向直线作垂线段，根据证明≌解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记三角形的判定方法是解题的关键，要注意证明≌．
 

23.【答案】证明：连接交于，
四边形是平行四边形，
，
，
．
即．
四边形为平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形． 

【解析】本题中，在连接交于，则可知，，又，所以，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
此题主要考查了平行四边形的判定，要求对平行四边形的所有判定都要掌握．
 

24.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中

≌．
解：四边形为矩形．
理由：≌，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
即，
平行四边形为矩形． 

【解析】利用全等三角形的判定定理即可．
先证明四边形为平行四边形，再结合，即可得出结论．
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
是的中点，
，
在中，，，
，
，
由可知，四边形是平行四边形，
． 

【解析】由三角形中位线定理得，则，再证≌，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，进而由平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，
，，
点是的中点，
，
在和中

≌，
，
点是的中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
菱形的面积的面积，
点是的中点，
的面积的面积，
菱形的面积的面积，
，
，
，
的长为． 

【解析】利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明≌，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答；
利用的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
 

27.【答案】三角形的中位线定理  一组对边平行且相等的四边形是平行四边形  菱形  菱形  正方形 

【解析】解：依据：三角形的中位线定理．
依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
菱形．
理由：如图中，

，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
故答案为：三角形中位线定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，菱形．

结论：四边形是菱形．
理由：如图中，连接，．

，
，
即：，
，，
≌，
，
，
由问题情境可知：四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
结论：正方形．
理由：如图中，连接，，交于点，交于点，交于点．

≌，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
四边形是正方形．
根据三角形中位线定理解答即可；
根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
本题属于四边形综合题，考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考压轴题．