2023届陕西省西安市长安区高三下学期5月模拟理科数学试题含答案

西安市长安区2023届高三下学期5月模拟

理科数学

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持纸面清洁，不折叠，不破损.

5.若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.

第I卷（选择题共60分）

一､选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

2.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.在平行四边形中，为的重心，，则（    ）

A.    B.2    C.    D.3

4.执行如图所示的程序框图.如果输入的为2，输出的为4，那么（    ）

A.13    B.14    C.15    D.16

5.某兴趣小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选男生人数不少于1名的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.若，且，则（    ）

A.    B.-1    C.1    D.2

7.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度约为取（    ）

A.    B.    C.    D.

8.设且，则的大小关系是（    ）

A.    B.

C.    D.

9.已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（    ）

A.函数为偶函数

B.函数在上单调递增

C.若，则的最小值为

D.函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

10.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则下列说法错误的是（    ）

A.球与圆柱的表面积之比为

B.四面体的体积的取值范围为

C.若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为

D.平面DEF截得球的截面面积最小值为

11.点为抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（    ）

A.2    B.1    C.    D.

12.已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的是（    ）

A.    B.必为偶函数

C.    D.若，则

第II卷（非选择题共90分）

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）

13.的展开式中的系数为__________.（请用数字作答）

14.直线与圆交于两点，则弦长的最小值是__________.

15.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________.

16.已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是__________.

三､解答题：（共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22､23题为选考题，考生根据要求作答）

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）已知数列，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.

项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；

项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.

（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；

（2）若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据）

20.（本小题满分12分）数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线的实轴长为，其蒙日圆方程为.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设点关于坐标原点的对称点为，不过点且斜率为的直线与双曲线相交于两点，直线与交于点，求直线的斜率值.

21.（本小题满分12）已知.

（1）若时，求的单调区间；

（2）当时，.求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.

（1）写出直线的参数方程及曲线的普通方程；

（2）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）对任意，恒有，求实数的取值范围.

西安市长安区2023届高三下学期5月模拟

理科数学答案及评分标准

一､选择题：

二､填空题

13.    14.    15.-22    16..

1.D  【详解】，则，位于第四象限.

2.B  【详解】因为集合，且，所以.

3.A  【详解】如图，设与相交于点，由为的重心，

可得为的中点，，则

可得，故.

4.C  【详解】由程序框图可知，输出的，

则，得，那么判断框图.

5.D  【详解】设2名男生为名女生为，

从5人中选2人的总选法为，

共10种不同选法，则没有男生的选法共3种：，故所求概率为.

6.D  【详解】因为，所以，

由，得，即，

所以，即，解得或（舍）..

7.B  【详解】如图所示，在Rt中，，在中，，，所以，由正弦定理，

可得，又由，

在Rt中，可得.

8.A  【详解】由可，

而，因为，所以，而，

所以顺序为.

9.C  【详解】的图象关于直线对称，所以，

得，因为，所以，所以，

对于，所以为奇函数成立，故选项不正确；

对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项不正确；

对于：因为，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；

对于D：函数的图象向右平移个单位长度得，故选项D不正确；

10.D  【详解】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球表面积为，圆柱的表面积，所以球与圆柱的表面积之比为，故正确；

由题可知四面体的体积等于，点到平面的距离，

又，所以，故B正确；

由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，

设在底面的射影为，则

，

设，则，

所以

，所以，故C正确.

过作于，则由题可得，

设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为

则，

所以平面截得球的截面面积最小值为，故D错误；

11.B  【详解】在中，

，易得.

12.D  【详解】对于A，令，则由可得，故或，故不正确；

对于B，当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；

当时，令，则，所以为偶函数，则为奇函数；综合以上可知必为奇函数，B不正确；

对于C，令，则，故.

由于，令，即，即有，故C不正确；

对于D，若，令，则，则，

故令，则，即，

令，则，即，

令，则，即，

令，则，即，

令，则，即，

令，则，即

由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且

故，故D正确，

13.【详解】的展开式通项为，当时，系数为-448.

14.【详解】圆的圆心，半径，

直线过定点，并在圆内，

最长为直径，最短时，点为弦的中点，即时，算得.

15.【详解】由可得，令，

当时，.当时单调减，当时单调递增，

所以当时有最小值，即.

函数，则，当时，.

当时单调递增，当时单调递增，当时单调递增.

因此，故函数在上的最大值为5，最小值为-27，最大值与最小值的和为-22.

16.【详解】设椭圆的左焦点为，因为，所以四边形为矩形，所以.因为，所以，

由椭圆的定义得，所以.

因为，所以，所以，所以.

17.【详解】（1）证明：因为，所以，

即

又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以的通项公式为.

（2），则，

18.【详解】（1）证明且为的中点，，

又平面平面，

平面.故平面，又平面，

平面平面.

（2）解平面以点为坐标原点，所在直线

分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由条件可得，

从而，

，设平面的法向量为，

由得取，则.

可得

易知平面的一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面角为，则，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

19.【详解】（1）若投资项目一，设获利为万元，则的分布列为

若投资项目二，设获利为万元，则的分布列为

这说明虽然项目一､项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资.

（2）假设年后总资产可以翻两番，依题意，，即，

两边取对数，得，

大约在2030年年底总资产可以翻两番.

20.【详解】（1）由题意可知，，解得，所以的标准方程为：.

（2）设，直线的方程为，

由得，

直线与相交于两点，，

则.

由题意知，，当直线的斜率均存在时，

，

所以直线的方程为，直线的方程为

两方程联立得，，显然，又，

所以，

当直线的斜率不存在时，易求得直线的方程为，直线的方程为，

则，所以.

当直线的斜率不存在时，易求得直线的方程为，直线的方程为，则，所以.综上，.

21.【详解】

（1）定义域为，

令，由得，所以在递减，在递增.

所以.

由得，所以单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题意得，令得.

在递减，在递增..

，即.

令得，所以在单调递增，在单调递减.

.

（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.

22.【详解】（1）因为，所以，

又因为，所以化简为，

所以直线的参数方程为（为参数）

由消去得：，所以曲线的普通方程为.

（2）由知与反向，所以点在圆内，

联立直线的参数方程和曲线的普通方程，可得，

设对应的参数分别为.故①，②

由，解得.

又因为，由于，代入①②得，解得（符合的取值范围）.

23.【详解】（1）当时，

当时，有，解得，此时得；

当时，有，此时无解；

当时，有，解得，此时得.

综上，不等式的解集为.

（2）对任意，恒有，则

因为，所以

即，解得或

所以实数的取值范围为