2023届吉林省通化市梅河口市第五中学高三第五次模拟考试数学试题含解析

2023届吉林省通化市梅河口市第五中学高三第五次模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，所以或，

由集合，所以.

故选：C.

2．已知复数满足，则（    ）

A．0 B．i C． D．

【答案】D

【分析】运用复数的除法及减法运算法则进行求解即可.

【详解】∵，

∴，

故选：D.

3．在中，，且，则的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量的数量积公式得，再根据三角形面积公式计算即可.

【详解】由，

故.

故选：A

4．某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念，对该地企业已处理的废水进行实时监测．下表是对A，B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果．下列说法正确的是（    ）

A．A企业该指标值的极差较大 B．A企业该指标值的中位数较小

C．B企业该指标值的平均数较大 D．B企业该指标值的众数与中位数相等

【答案】D

【分析】将A，B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果从小到大排列，然后逐一判断即可.

【详解】将A，B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果从小到大排列：

A企业：43,63,65,72,73,75,78,81,86,98.

B企业：37,58,61,65,68,68,71,77,82,94.

A企业的极差为，B企业的极差为，A错误；

A企业的中位数为，B企业的中位数为，B错误；

A企业的平均数为，B企业的平均数为，C错误；

由上可知，B企业该指标值的众数与中位数都为，D正确.

故选：D.

5．核酸检测是新型冠状病毒感染疫情防控的一项重要举措．某社区每周六组织A，B，C三个小区的居民进行核酸检测．现有甲、乙、丙、丁、戊5名大学生报名参加这三个小区的志愿者服务工作，要求每个小区至少分配1人，且甲和乙必须分配在同一个小区，则不同的分配方案共有（    ）

A．72种 B．36种 C．18种 D．6种

【答案】B

【分析】分3：1：1与2：2：1分配进行选派，结合排列组合知识简单计算即可.

【详解】若按照3：1：1进行分配，即从丙、丁、戊中再选一人与甲和乙分配在同一个小区，则有种不同的方案，

若按照2：2：1进行分配，即甲和乙必须分配在同一个小区，再从丙、丁、戊中选两人分配在同一个小区，则有种不同的方案，

故共有36种派遣方案.

故选：B.

6．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数的性质可得，再利用特殊值判断A、D，根据不等式的性质及对数函数的性质判断B，根据指数函数的性质判断C.

【详解】因为是定义在上单调递减函数，由，

所以，

对于A：若、时，，故A错误；

对于B：因为，所以，，所以，

所以，故B错误；

对于C：因为，所以，故C正确；

对于D：若，，则，，即，故D错误；

故选：C

7．已知是椭圆的左焦点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，若线段MN的长等于椭圆短轴长的，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，，直线MN的方程为，联立椭圆方程可得，利用韦达定理和弦长公式可求，由于线段MN的长等于椭圆短轴长的，列出方程，即可求解，进而根据得到椭圆的离心率.

【详解】解：令，则直线MN的方程为，设，，

联立得，，

则，，

所以，

已知线段MN的长等于椭圆短轴长的，则，

整理得，即，解得（舍）或，

则椭圆的离心率，

故选：A.

8．已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可转化为有且仅有两个不同的零点，，对求导，结合的单调性可知，由此可知另一根为，由的范围可求出的范围，即可求出的取值范围.

【详解】函数有且仅有两个不同的零点，，

因为，令，即有且仅有两个不同的零点，，

得或，

若，令，可得或；令，可得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

同理若，在上单调递增，在上单调递减，

因为，，

要使有且仅有两个不同的零点，，则，

而，则，因为，

则，则，

则有一根是确定的为，又因为，

所以的另一根为，

所以，因为，，

.

故选：B.

二、多选题

9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆雉形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（    ）

A．圆锥的母线长为9 B．圆锥的表面积为

C．圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为 D．圆锥的体积为

【答案】AB

【分析】对于A，利用圆锥在平面内转回原位置求解以S为圆心，为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；对于B，利用圆锥的表面积公式进行计算；对于C，圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图(扇形)的弧长，根据弧长公式求解圆心角；对于D，求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解.

【详解】对于A，设圆锥的母线长为，以S为圆心，为半径的圆的面积为，

圆锥的侧面积为，

当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，

则，所以圆锥的母线长为，故A正确；

对于B，圆锥的表面积，故B正确；

对于C，圆锥的底面圆周长为，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为，

则，解得，即，故C错误；

对于D，圆锥的高，所以圆锥的体积为,故D错误.

故选：AB.

10．某人参加国际互联网大会，可从互联网与云计算、互联网与信息服务、互联网与金融服务、互联网与竞技体育四个分会中随机选择分会参加．已知该参会者参加互联网与云计算分会的概率为，参加另外三个分会的概率都是，参加每个分会相互独立，用随机变量X表示该参会者参加分会的个数，则下列说法中正确的是（    ）

A．参会者至多参加一个分会的概率为 B．

C． D．

【答案】AC

【分析】求出随机变量X的可能取值及对应的概率，可判断B，C；参会者至多参加一个分会的概率为可判断A；由均值的公式计算可判断D.

【详解】，则，，

，，

，故B不正确，C正确；

对于A，参会者至多参加一个分会的概率为，故A正确；

对于D，，故D不正确.

故选：AC .

11．已知函数满足，函数在上单调，对于，，则下列结论中正确的有（    ）

A．函数的解析式为

B．函数的单调递增区间为

C．不等式的解集为

D．将函数的图像保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后将其向左平移个单位长度，得到函数的图像

【答案】BCD

【分析】根据给定的等式确定函数的对称轴、对称中心及周期，结合恒成立的不等式求出的解析式，再逐项分析判断作答.

【详解】函数满足，由得图象对称轴为，

由得图象对称中心，

依题意，直线与点是函数图象的相邻对称轴与对称中心，由得：

，即函数的周期为，且，

因此是函数的最小正周期，则，，而，

于是，又，，

依题意，，解得，从而，A错误；

由，解得，

即函数的递增区间是，B正确；

由，得，则，

解得，因此的解集是，C正确；

将函数的图像保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得的图象，

然后将所得图象向左平移个单位长度得，D正确.

故选：BCD

12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限，且，，则（    ）

A．双曲线的离心率为

B．过点作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为，则

C．若为的中点，则直线（其中为坐标原点）和直线的斜率之积为

D．的内切圆半径和的内切圆半径之比为

【答案】ACD

【分析】作出图形，利用双曲线的定义结合余弦定理可求出双曲线的离心率，可判断A选项；求出，利用余弦定理求出，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.

【详解】如下图所示：

对于A选项，设，则，，

由双曲线的定义可得，

所以，，，，，

由余弦定理可得，

，

因为，则，

即，整理可得，

所以，双曲线的离心率为，A对；

对于B选项，因为，则，

双曲线的渐近线方程为，即，易知，

所以，，且，，

由余弦定理可得，

因此，，B错；

对于C选项，因为，则不与轴垂直，则，

设点、，则点，则，

上述两个等式作差可得，即，

即，C对；

对于D选项，设、的内切圆半径分别为、，

因为，则，

即，

所以，，D对.

故选：ACD.

三、填空题

13．某函数满足以下三个条件：

①是偶函数；②；③的最大值为4．

请写出一个满足上述条件的函数的解析式______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据所给条件分析函数的性质，结合所学函数可得.

【详解】因为是偶函数，所以的图象关于y轴对称，

因为，所以，即

所以的图象关于点对称，所以4为的一个周期，

又的最大值为4，所以满足条件.

故答案为：（答案不唯一）

14．设为等比数列的前项和．已知，，则______．

【答案】

【分析】设等比数列的公比为，利用已知条件求出、的值，可求得的值，利用对数的运算性质以及等比中项的性质可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，

则，

所以，，则，

又因为，可得，则，

由对数的运算性质以及等比中项的性质可得.

故答案为：.

15．已知直线与圆相交于A，B两点，其中点，若，且圆与轴相切，则圆的方程为______．

【答案】或或.

【分析】设，由弦长公式求出点坐标，设圆的方程为：，将A，B两点代入圆的方程，求出，即可求出圆的方程.

【详解】圆与轴相切，所以设圆的方程为：，

设，则，解得：或，

则或

当时，因为A，B两点都在圆上，

，解得：或

当时，因为A，B两点都在圆上，

，解得：，

所以圆的方程为或或.

故答案为：或或.

16．在三棱雉中，，．若三棱雉的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．

【答案】

【分析】将三棱雉放入下图的长方体中，求出长方体的长、宽、高，可得，代入即可求出球的表面积.

【详解】将三棱雉放入下图的长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，

所以，

三式相加可得：，即：，

三棱雉的外接球即长方体的外接球，

所以，即，

球的表面积为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，．

(1)求；

(2)求的面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理结合余弦定理化简即可；

（2）由（1）知，，再根据余弦定理结合基本不等式可得，进而根据面积公式求解即可.

【详解】（1）∵ ，

∴由正弦定理，得，即，

由余弦定理，得．又，∴．

（2）由（1）知，．由余弦定理，得，

∴，∴．

当且仅当，即为等边三角形时，等号成立，

∴的面积的最大值为．

18．已知数列中，，为数列的前项和，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，为数列的前项和，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用的关系结合递推式可得，分奇偶项计算即可；

（2）结合（1）的结论利用递推关系可得，再利用，放缩求证不等式即可.

【详解】（1）由题意得，所以，

所以，所以，①

因此．②

由②-①，得，即，

因此或．

因为，所以，所以，

所以数列的奇偶项分别成等差数列，且公差为2．

又因为，得，

所以，．所以．

（2）证明：由（1）知，

可得，

两式相减，得，即．

又，所以．又，

所以，

所以．

19．如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，，．

(1)若点是棱AP上一点，且平面PCD，求；

(2)若，，平面PCD与平面PAB交于直线，求直线与平面PAD所成角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先证明线面平行，得证面面平行，最后由面面平行的性质定理得出线线平行，即可得出比例；

（2）空间向量法计算线面角的正弦值.

【详解】（1）因为，，

所以，所以，，且，

所以是等边三角形．

如图，取AD的中点N，连接BN，MN，所以．

又，则．又因为不包含于平面，平面PCD，所以平面PCD．

又因为平面PCD，，平面，平面，所以平面平面PCD．

因为平面平面，平面平面，

所以，所以是棱AP的中点，即．

（2）如图，延长DC，AB交于点，连接PE，则直线PE为直线，

过点作，交AC于点，连接OB，OD．

因为平面平面ABCD，平面平面，

平面PAC，所以平面ABCD．

又，，，所以是直角三角形，且，

所以，，．

又，所以，且．

以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，，

，，．

设平面PAD的一个法向量为，

则

令，得，所以．

设直线PE与平面PAD所成的角为，

则，

即直线与平面PAD所成的角的正弦值为．

20．某精密检测仪器厂锐意改革，实施科学化、精细化管理，产量大幅提高．产品制成后先去掉残次品，然后随机按每箱件装箱．现从中随机抽取箱，测得其内径（单位：cm），将结果分成组：，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图．

(1)估计这批产品每件内径的平均值（残次品除外，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）；

(2)若这批产品每件内径服从正态分布，其中的近似值为产品每件内径的平均值，请估计箱产品中内径位于内产品的件数；

(3)规定这批产品中内径位于内的产品为优质品，视频率为概率，随机打开一箱，记优质品的件数为，求的数学期望．

附：若随机变量，则，.

【答案】(1)1.1652

(2)24558

(3)14

【分析】（1）先利用频率之和为，求出，再用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和估计平均数即可；

（2）先由正态分布原则估计出概率，再估计产品件数即可；

（3）由频率分布直方图确定优质品的频率，视其为概率，由二项分布的数学期望公式求解即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得，

∴估计这批产品每件内径的平均值为：

.

（2）由题意和第（1）问可知，，且，，

∴，，

∴

，

∴估计箱产品中内径位于内产品有件.

（3）由频率分布直方图可知，样本中内径位于的频率为，

用样本估计总体，视频率为概率，则随机打开一箱，从中随机抽取一件，这件产品为优质品的概率为，

一箱产品中优质品的件数为，则的所有可能取值为0，1，2，3，…，20，且服从二项分布，

∴所以的数学期望为．

21．已知抛物线的焦点为F，，点是在第一象限内上的一个动点，当DP与轴垂直时，，过点作与相切的直线交轴于点，过点作直线的垂线交抛物线于A，B两点．

(1)求C的方程；

(2)如图，连接PD并延长，交抛物线C于点Q．

①设直线AB，OQ（其中O为坐标原点）的斜率分别为，，证明：为定值；

②求的最小值．

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②.

【分析】（1）利用抛物线定义列出方程求解结果；

（2）①设，表示直线PM的斜率，求解；将直线PD的方程与联立，由韦达定理表示，求解得出结果；

②求解并化简，结合基本不等式进行求解.

【详解】（1）因为当DP与轴垂直时，，

根据抛物线定义得，解得 ，所以．

（2）①证明：设，则，

由，得当时，，

所以直线PM的斜率为，所以直线，

即，，所以．

又因为，，所以．

将直线PD的方程与联立并化简，得，

易得，设，则，所以．

把点的坐标代入，得，

所以．所以，为定值．

②由①得，直线．

将与联立并化简，得，

易得，则，，

所以．

在直线AB的方程中，令，得，

设直线AB与轴的交点为，则的坐标．

因为，所以，

则

，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为．

22．已知函数．

(1)若曲线在点处的切线过原点，求的值；

(2)若在的切线中，存在着过原点的切线，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数求切线斜率，可得切线方程，再由切线过原点可得a；

（2）先求在点处的切线方程，根据切线过原点得，将问题转化为求关于的函数的值域，利用二次导数可解.

【详解】（1）由于，故．

又因为，所以曲线在点处的切线方程为．

令，，则有．

（2）设点是函数图像上的任一点，

由于，，

从而可知在点处的切线方程为．

令，得，

即．

从而有，

设 ，

于是问题可转化为求关于的函数的值域．

，记

有，

所以在 上单调递增．又，

当时，，故在上单调递减；

当时，，故在上单调递增．

于是在处取得最小值，最小值为．

由于当趋于时，趋于，因此的取值范围为．