2023届广西邕衡金卷高三一轮复习诊断性联考数学（文）试题含解析

2023届广西邕衡金卷高三一轮复习诊断性联考数学（文）试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】确定，继而求得，根据复数的除法运算即可求得答案.

【详解】由题意，故，

所以，

故选：D

2．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（    ）

A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化

B．样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9

C．在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好

D．在调查影院中观众观后感时，从20排中（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法

【答案】C

【分析】求得变化后的平均数与方差判断选项A；求得样本数据的中位数判断选项B；依据相关指数的定义判断选项C；依据系统抽样定义判断选项D.

【详解】选项A：将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化，

但平均数也要减去这个数.判断错误；

选项B：样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18

从小到大排列后为：1、3、5、7、8、9、10、12、13、18

则中位数是8和9的平均数8.5. 判断错误；

选项C：在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，

说明拟合的效果越好.判断正确；

选项D：在调查影院中观众观后感时，从20排中（每排人数相同）

每排相同位置抽取一人进行调查是系统抽样法. 判断错误.

故选：C

3．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】化简集合A，B，后由交集补集定义可得答案.

【详解】，，

，则或

故.

故选：C．

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B．8 C．32 D．

【答案】C

【分析】由三视图可知，几何体为斜棱柱，根据三视图中的数据利用棱柱体积公式计算体积.

【详解】由几何体的三视图可知几何体的直观图如下：

图形为底面是矩形的斜棱柱，底面矩形长为4宽为2，棱柱的高为4，

所以几何体的体积为．

故选：C

5．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】A

【分析】利用辅助角公式化简，结合正弦函数的对称性即可求得答案.

【详解】由题意的图象关于直线对称，

所以，即，

因为，故当时，，

故选：A.

6．小明想在2个“冰墩墩”和3个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用列举法求出选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品的基本事件及选取到1个“冰墩敦”和1个“雪容融”有6个基本事件，根据古典概型的计算公式求解即可.

【详解】记2个“冰墩墩”为，，记3个“雪容融”为1，2，3，

选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品的基本事件有：，，，，，，，，，，共10个.

其中选取到1个“冰墩敦”和1个“雪容融”有6个基本事件，

则概率为．

故选:B.

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】确定函数定义域，判断函数的奇偶性，结合特殊值代入验证，一一判断各选项，可得答案.

【详解】由可得定义域为，

因为，所以是偶函数，

函数图象关于y轴对称，故A，C错误；

又，选项B中图象不符合，D中图象符合，

故选：D．

8．已知函数，且，在区间上有最小值，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求得，根据，得到，即，利用导数求得函数的单调区间，得到，进而求得实数的取值范围.

【详解】由函数，可得

则，解得，

所以

所以当时，，即函数在上单调递减，

当时，，即函数在上单调递增，

所以在处取得极小值，即为上的最小值，，

因为函数在上有最小值，所以，

即实数的取值范围为.

故选：A．

9．如图，圆锥的轴截面为正三角形，点为顶点，点为底面圆心，过轴的三等分点（靠近点）作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为（    ）

A．1：9 B．2：9 C．1：27 D．2：27

【答案】B

【分析】设圆锥高为，则由题可得底面圆半径，可得圆锥的体积；

又由为的三等分点，可得圆柱的高及底面圆半径，可得圆柱体积，即可得答案.

【详解】设圆锥高为，因圆锥的轴截面为正三角形，则底面圆半径，则圆锥的体积为；因为的三等分点，则圆柱的高为，半径，

则圆柱体积为，所以．

故选：B

10．设函数在区间恰有三个极值点、三个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．

【详解】依题意可得，因为，所以，

要使函数在区间恰有三个极值点、三个零点，作出的图象，

结合图形可得，则，解得，即．

故选：D．

11．已知双曲线，左焦点为，虚轴上端点为，直线与双曲线交于，两点，直线与直线的倾斜角互补，且点满足，双曲线的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件，利用点差法列等式结合求双曲线的离心率.

【详解】设，，由，得点为中点，

有，，两点在双曲线上，，，

两式相减，得，即，

可变形为，即，

，直线与直线的倾斜角互补，则，

所以，得，两边平方，即，

等号两边同时除以，得，解得(负值舍去).

故选：A

12．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】方法1，构造函数，利用其单调性可得，.后利用函数单调性可得；方法2，注意到，利用单调性可得；，则，利用单调性可得.

【详解】方法1:设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增.

注意到；

.

设，则.

令，，

当时，，在单调递减；

当时，，在上单调递增，

又，所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以，即.

故选：A．

方法：，，.

①，令，

则，故在上单调递减，

可得，即，所以；

②，令，

则.

令，.所以，

所以在上单调递增，可得，即，

所以在上单调递增，可得.

即，所以．故．

故选：A

【点睛】关键点睛：比较大小问题常利用作差法和构造函数法，关键为找到代数式间的联系，在本题中多次出现，故将其变为，即可得到解析中所涉及函数.

二、填空题

13．已知，与的夹角，则在方向上的投影为______.

【答案】1

【分析】在方向上的投影为，算出即可

【详解】因为，与的夹角

所以在方向上的投影为

故答案为：1

【点睛】本题考查的是向量投影的计算，较简单.

14．若，满足约束条件则的最小值为____．

【答案】

【分析】先画出约束条件对应的可行域，再利用几何意义即可求得的最小值

【详解】约束条件的可行域如下图所示：

由，可得，令,

由，可得，令,

当过时，；

当过时，

则的最小值为

故答案为：

15．设为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

【答案】

【分析】根据题意，结合椭圆的定义和勾股定理，列出方程组，求得，利用面积公式，即可求解.

【详解】如图所示，因为且为上关于坐标原点对称的两点，

可得四边形是矩形，设，不妨设，

由椭圆，可得，则，

由椭圆的定义和勾股定理，可得，

可得，解得，

所以.

故选：.

16．在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为____．

【答案】/

【分析】利用向量法求得的取值范围，进而求得面积的最大值.

【详解】在中，设，，，

由，则，则，

，即，

，当且仅当时取等号．

所以面积的最大值为．

故答案为：

三、解答题

17．目前，改编自刘慈欣的《三体》动漫版正在    B站热播中，受到了广大学生和科幻迷的热烈追捧，南宁某中学对一年级的全体学生共400人，其中男生200人，女生200人是否观看进行了问卷调查，得到各班观看人数如下表所示：

(1)根据表格完成下列列联表；

(2)判断是否有95%的把握认为观看该影片与性别有关．

附：，

【答案】(1)表格见解析；

(2)有95%的把握认为观看该影片与性别有关．

【分析】（1）先分别求得男生女生观看的总人数，进而得到列联表；

（2）先求得的值，再与比较大小进而得到是否有95%的把握认为观看该影片与性别有关．

【详解】（1）根据表格可得男生观看人数为

女生观看人数为

所以可得列联表：

（2）由题可得，

所以有95%的把握认为观看该影片与性别有关．

18．记为数列的前项和．已知．

(1)证明：是等比数列；

(2)记，求前项和的最小值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）利用数列通项与前项和的关系即可证得是等比数列；

（2）先求得数列的前项和的表达式，再利用二次函数的性质就求得的最小值．

【详解】（1）当时，，则，

由，可得当时，，

则，即，

所以，且，

所以是以为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1）可得，则．

所以，

所以当或时，．

19．已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．

(1)若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明．

(2)求多面体的体积．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）延长，连接交于，连接，可得截面；过作交于，通过证明，可得；

（2）由（1）可得，后由题目条件可得答案.

【详解】（1）延长，连接交于，连接，如图，四边形为截面.

中，，由，则为中点，为中点．

过作交于，则.

,.，即．

（2）.

由题意及（1）可得，.

则；

又可得，点F到平面BEC距离为，

则.

则．

20．设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．

(1)求的方程；

(2)若点，，过点A的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，连接并延长交抛物线于点S．证明直线与直线的斜率之和为定值．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）先利用抛物线定义求得，进而求得抛物线的方程；

（2）先求得坐标间的关系和坐标间的关系，进而求得直线与直线的斜率之和为定值.

【详解】（1）抛物线的准线为，当与轴垂直时，点的横坐标为，

此时，所以

所以抛物线的方程为

（2）设，，，，

显然直线的斜率不为0，设直线，

与抛物线联立可得，且

则

由，，三点共线，

故，，即，即．

又由，，三点共线，

故，，即，即

所以

所以直线与直线的斜率之和为定值．

21．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若是方程的两个不等实根，且，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）当时，求得，得到和，进而求得切线的方程；

（2）根据题意转化为，令，得到，令，求得，令，求得，得到单调递增，结合，即可求解．

【详解】（1）解：当时，函数，可得，则，

即切线斜率为，又因为，即切点坐标为，

则切线的方程为，即切线方程为．

（2）证明：是方程的两个不等实根，，且，，

则，可得，所以，

即，

令，则，则，

令，可得，

令，可得，则单调递增，

所以，即，则单调递增，

所以，所以，

即，即．

【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22．已知曲线的参数方程是（是参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)写出曲线的极坐标方程；

(2)若点，，在曲线上，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先消参化为普通方程，然后将带入整理可得；

（2）利用极坐标方程带入化简，根据三角函数和差公式展开化简可得.

【详解】（1）由（是参数）消去参数得：

将，代入上式可得

整理得曲线的极坐标方程为．

（2）点，，在曲线上，

23．已知，，，证明：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据柯西不等式或基本不等式证明不等式.

（2）根据基本不等式证明不等式.

【详解】（1）解法一：由柯西不等式得：

当时，等号成立．所以原式得证．

解法二：

当时，等号成立．

即．

（2）解法一：由及．

．

当时，等号成立．

所以

解法二：因为

所以：

．

又，，所以：

，当时，等号成立．

所以，．