2023届重庆市高三下学期3月月度质量检测数学试题含解析

这是一份2023届重庆市高三下学期3月月度质量检测数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届重庆市高三下学期3月月度质量检测数学试题

一、单选题
1．概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关系对学习数学十分重要．现有如下三个集合，{钝角}，{第二象限角}，{小于180°的角}，则下列说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用钝角和第二象限角的定义即可判断.
【详解】钝角是大于，且小于的角，一定是第二象限角，故；
第二象限角的范围是，即第二象限角不一定小于，
故ABD错误，C正确；
故选：C
2．若虚数z使得z2+z是实数，则z满足（    ）
A．实部是 B．实部是 C．虚部是0 D．虚部是
【答案】A
【分析】设（且），计算，由其为实数求得后可得．
【详解】设（且），，
是实数，因此，（舍去），或．
故选：A．
3．中国折扇有着深厚的文化底蕴.用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为）分割出来的扇形，使扇形的面积与圆的面积的乘积等于剩余面积的平方.则扇形的圆心角为（     ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】计算出、，根据已知条件可得出关于的方程，结合可求得的值.
【详解】由题意可知，，则且，
即，整理可得，
由题意可知，，解得.
故选：C.
4．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．
【详解】设
①，
，②，
与向量(1，0)夹角为钝角，，③，
由①②③解得，，
故选：D．
5．已知点的横纵坐标均是集合中的元素，若点在第二象限内的情况共有种，则的展开式中的第5项为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分步乘法计数原理得出，再由二项式定理得出第5项.
【详解】由题意可知，，的展开式的通项为，
则展开式中的第5项为.
故选：A
6．设，若正实数满足：则下列选项一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对新定义进行化简，分别在条件，，，下化简，
结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项.
【详解】因为，
，
又
所以，
(1)若则，不等式
可化为，则，所以，
①若，则可化为，矛盾，
②若，则可化为，矛盾，
③若，则可化为，矛盾，
(2)若则，不等式
可化为，所以，
①若，则可化为，矛盾，
②若，则可化为，满足，
可化为，满足，
③若，则可化为，满足，
可化为，满足，
(3)若则，不等式
可化为，所以
①若，则可化为，满足，
可化为，满足，
②若，则可化为，满足，
可化为，满足，
③若，则可化为，满足，
可化为，满足，
(4)若则，不等式
可化为，所以，
①若，则可化为，满足，
可化为，矛盾，
②若，则可化为，矛盾，
③若，则可化为，矛盾，
综上， 或或或或，
由知，A错误；
由知，B错误；
当时，，
取可得，满足条件但，
C错误；
当时，，
当时，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：D.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
7．函数，设球O的半径为，则（    ）
A．球O的表面积随x增大而增大 B．球O的体积随x增大而减小
C．球O的表面积最小值为 D．球O的体积最大值为
【答案】D
【分析】设函数，利用导数判断其单调性，从而判断的单调性，进而判断球O的半径的单调性，由此可判断A,B,结合单调性可求得球的表面积以及体积的最值，判断C,D.
【详解】令 ，则 ，
故函数 ， ，
即为单调增函数，
而在 上递增，在 上递减，
故在上递增，在 上递减，
又在上递增，在 上递减，
且是正值，也是正值，
故在上递增，在 上递减，
即球O的半径在上递增，在 上递减，
故A，B错误；
由以上分析可知当时，球O的半径取到最大值为，
故球O的表面积最大值为，无最小值，故C错误；
同时球O的体积最大值为，故D正确；
故选：D
【点睛】本题将球的相关计算和导数综合在一起考查，综合性较强，考查综合分析，解决问题的数学素养以及能力，解答的关键是要判断球的半径的变化规律，也就是要结合导数判断复合函数的单调性.
8．设,则（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由,构造,求导判断单调性,判断的大小,进而判断的大小关系,由,构造,求导判断单调性,判断的大小,进而判断的大小关系,构造,求导判断单调性,判断的大小,进而判断的大小关系,即可选出选项.
【详解】解:由题因为,
不妨设,
当时,,
所以单调递减,
当时,,
单调递增,
所以,
所以,
即,
故;
因为,
即,
两边同时取对数有,
即,
即,
所以;
因为,
不妨设,
则,
所以单调递增,
所以,
故;
因为,
不妨设,
则,
所以单调递增,
所以,
故.
综上,.
故选:D
【点睛】思路点睛:该题是函数与导数综合应用题,考查构造函数比较两个数的大小,主要思路有:
(1)根据题目条件,找到都有联系的关键数,令其为x,
(2)构造两个式子差的函数,
(3)求导求单调性,关键数的范围即为定义域,
(4)根据单调性将关键数代入,再取另一离关键数近的函数值比较大小即可.

二、多选题
9．记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，其下列说法正确的是（    ）
A．值域是定义域的子集
B．函数图像是一群孤立的点
C．
D．也是的函数，记作
【答案】BC
【分析】对于A，根据题意求出定义域和值域，然后再判断，对于BC，根据题意判断，对于D，根据题意结合函数的定义判断即可.
【详解】对于A，根据题意可知定义域为，，
因为，所以值域不是定义域的子集，所以A错误，
对于BC，由题意可知数位对应的数字依次为1，4，1，5，9，2，6，……，则函数图像是一群孤立的点，，所以BC正确，
对于D，因为时， 和3，不符合函数的定义，所以D错误，
故选：BC
10．在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点，，点列P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是（    ）
A．为公差为2的等差数列 B．为公比为2的等比数列
C． D．前n项和
【答案】CD
【分析】由圆的方程写出P的参数坐标，由两点距离公式判断，由等比中项性质判断为等比数列，即可依次求得的通项公式，即可逐个判断，其中由错位相减法求和.
【详解】对AB，由点列P在圆上，则由参数方程得，则，∴.
对于，存在数列，，使得，即①，②，
①②两式相除得，
令，则，则为以首项，公比为的等比数列.
则，AB错；
对C，，C对；
对D，，
，
两式相减得，
.
∴，D对.
故选：CD.
11．如图，圆柱的底面半径为1，高为2，矩形是其轴截面，过点A的平面与圆柱底面所成的锐二面角为，平面截圆柱侧面所得的曲线为椭圆，截母线得点，则（    ）

A．椭圆的短轴长为2
B．的最大值为2
C．椭圆的离心率的最大值为
D．
【答案】ACD
【分析】短轴长为底面圆直径，可以判断A选项；的最大值为，可以判断B选项；长轴长最长为时，可以判断C选项；利用几何关系判断D选项；
【详解】
椭圆在底面上的投影为底面圆，所以短轴长为底面圆直径，即为2，故A正确；
当平面过AC时，的最大值为，故B错误；
椭圆短轴长为定值2，所以长轴长最长为时，离心率最大为，故C正确；
过作椭圆所在平面和底面的交线垂线，垂足为，连接AE，设则，
由题意可得，由余弦定理可得
，
由，
则，
由题意可得，
所以，故D正确.
故选:ACD.
12．已知函数，则下列结论正确的有（     ）
A．若为锐角，则
B．
C．方程有且只有一个根
D．方程的解都在区间内
【答案】BCD
【分析】对A：利用放缩可得；对B：利用做差法分析判断；对C：根据函数的单调性分析判断；对D：分类讨论，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】对A：若为锐角，则，可得，
故，A错误；
对B：当时，，
故，即，B正确；
对C：∵，且在上单调递增，
∴，解得，C正确；
对D：构建，则在上连续不断，则有：
当时，则，故，可得在内无零点；
当时，则，故，可得在内无零点；
当时，则，故在区间内存在零点；
综上所述：只在区间内存在零点，即方程的解都在区间内，D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：判断函数零点的方法
（1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)