北京市东城区2023届高三二模数学试题（含答案）

北京市东城区2023届高三二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A．⫋ B． C． D．

2．已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

3．已知数列中，，，为其前项和，则（    ）

A． B． C． D．

4．在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（    ）

A． B． C． D．

5．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

6．某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

7．设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

8．“ ”是“函数为偶函数”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ）

A．个 B．2个 C．个 D．无数个

10．设，其中为自然对数的底数，则（    ）

A． B．

C． D．

二、双空题

11．已知向量满足，与的夹角为，则______;______

12．函数在一个周期内的部分取值如下表：

则的最小正周期为_______； _______．

三、填空题

13．若，则实数的一个取值为__________.

14．如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______    

15．定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：

①若为递增数列，则存在最大值；

②若为递增数列，则存在最小值；

③若，且存在最小值，则存在最小值；

④若，且存在最大值，则存在最大值.

其中所有错误结论的序号有_______．

四、解答题

16．在中,.

(1)求;

(2)若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积.

条件①:;

条件②:;

条件③:.

17．如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.

(1)设为的中点，求证：；

(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值.

18．某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：

(1)从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；

(2)设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下：

（i）求的分布列和数学期望；

（ii）设随机变量，的的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明）

19．已知焦点为的抛物线经过点．

(1)设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积；

(2)设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

20．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求在区间上的最大值；

(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.

21．已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.

(1)若，求及；

(2)若，求证：互不相同；

(3)已知，若对任意的正整数都有或，求的值.

参考答案：

1．A

2．C

3．B

4．A

5．D

6．C

7．B

8．C

9．C

10．A

11．     1     2

12．         

13．（答案不唯一）

14．

15．①③④

16．(1)

(2)答案见解析

17．(1)证明见解析

(2)

18．(1)

(2)（i）分布列见解析，；（ii）.

19．(1)准线为，

(2)证明见解析，定点．

20．(1)

(2)

(3)，理由见解析

21．(1)，.

(2)证明见解析

(3)答案见解析