湖南省长沙市雅礼中学2023届高三一模数学试题（含答案）

湖南省长沙市雅礼中学2023届高三一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C．且 D．

2．下列说法正确的是（    ）

A．若，则与的方向相同或者相反

B．若，为非零向量，且，则与共线

C．若，则存在唯一的实数使得

D．若，是两个单位向量，且．则

3．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．不能确定

4．给定一组数据：1，3，2，1，5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是（    ）

A．5，2 B．，2 C．，1.5 D．5，1.5

5．已知，则（    ）

A．1024 B．1023 C．1025 D．512

6．已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．5

7．若，则当，1，2，…，100时（    ）

A． B．

C． D．

8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知复数z的共轭复数为，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．一定是实数

C．若复数，满足．则

D．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数

10．已知不恒为0的函数，满足，都有．则（    ）

A． B．

C．为奇函数 D．为偶函数

11．如图，已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（    ）

A．

B．

C．过的双曲线的弦的长度的最小值为8

D．点B到两条渐近线的距离的积为

12．如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（    ）

A．若∥平面，则点M的轨迹长度为

B．平面与平面ABCD的夹角的正切值为

C．平面截正方体所得的截面多边形的周长为

D．不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等

三、填空题

13．计算：________．

14．六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法．

15．函数的最小值为________．

16．如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分別交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________．

四、解答题

17．已知正数数列，，且满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

18．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求A；

(2)若，求BC边上的高AD的最大值．

19．斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．

(1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；

(2)求点到平面的距离．

20．2023年中非经贸合作座谈会议在长沙举行，拟在某单位招募5名志愿者，该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔，每个部门有3个小组，每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔，假设每名志愿者入选的机会相等．

(1)求甲部门志愿者入选人数为1人的概率；

(2)求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率；

(3)求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望．

21．已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)当时，求证：（记）．

22．已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点．

(1)点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由；

(2)若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．

参考答案：

1．C

2．B

3．A

4．C

5．B

6．A

7．C

8．D

9．BD

10．BD

11．AD

12．ABC

13．

14．90

15．

16．

17．(1)

(2)

18．(1)；

(2).

19．(1)存在，

(2)

20．(1)；

(2)；

(3)分布列见解析，.

21．(1)

(2)证明见解析

22．(1)直线l过定点；

(2)