2023年山西省吕梁市中考一模数学试题（含答案）

2023年吕梁市中考模拟考试题（卷）

数学

第I卷  选择题（共30分）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 计算-3-5的结果是（    ）

A. -2       B. -8        C. 2       D. 8

2. 如图，直线，若，则的度数是（    ）

A. 70°      B. 20°       C. 80°       D. 90°

3. 已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是（    ）

A.        B.         C.         D.

4. 笛卡尔是法国著名数学家，他于1637年发明了现代数学的基础工具----平面直角坐标系.平面直角坐标系的引入，使得我们可以用几何方法研究代数问题，又可以用代数方法研究几何问题，主要体现的数学思想是（    ）

A. 方程思想       B. 数形结合思想        C. 公理化思想        D. 分类思想

5. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果，科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年.数据20.3亿年用科学记数法表示为（    ）

A. 年      B. 年       C. 年       D. 年

6. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（    ）

A.                 B.       

C.                  D.

7. 生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下：

根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ）

A. 只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于3：1

B. 随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于3：1

C. 培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为

D. 培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为

8. 如图，在中，，.则下列比例中错误的是（    ）

A.        B.        C.        D.

9. 如图，用形状大小相同的菱形组成一组有规律的图案，其中第1个图案中有4个菱形，第2个图案中有7个菱形，第3个图案中有10个菱形，…按此规律排下去，若相邻的两个图案中菱形的个数共有83个，则这两个图案分别是（    ）

A. 第10个，第11个                  B. 第11个，第12个      

C. 第12个，第13个                  D. 第13个，第14个

10. 小明在化简分式时，计算得正确的结果为，则字母所代表整式是（    ）

A.        B.        C.        D.

第II卷  非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11. 因式分解：__________.

12. 大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象，请写出当温度在到变化时，函数的一条性质：___________.

13. 图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖.图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数是________.             

14. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面.图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为________.（参考数据：，，）

15. 如图，在正方形中，点在对角线上，点分别在边和上，且，若，，则的长度为________.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（每个小题5分，共10分）

（1）计算：

（2）解不等式组：

17. （本题8分）

如图，直线分别与轴，轴交于两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，垂足为为的中点. .

（1）求出反比例函数的关系表达式；

（2）若是该反比例函数图象上一点，且.请直接写出的取值范围.

18.（本题6分）

操作计算：

    用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：

如图，已知为的直径.

步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于两点，垂足为.

步骤二：以为半径，在上依次截取.

步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形.

（1）动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形.要求：不写作法，但保留作图痕迹.

（2）推理计算：若的半径为1，则的长度为______________，所作出的正七边形的周长为________________.

19.（本题8分）

随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，甚至的快速充电方案已经开始逐步落地.据测试数据显示，使用充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用技术提高了50%，若采用充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里?

20.（本题10分）

山西省文化和旅游厅发布《关于2023年全省景区首道门票优惠活动参与景区名单的公告》，公布了我省11个地市的优惠景区数量，具体情况见下表所示：

根据上面信息，解答下列问题：

（1）我省11个地市中，参加首道门票优惠活动的景区数量的平均数是_________家（精确到0.1），中位数是_____________家，众数是___________家.

（2）小明在网上搜到平遥古城、介休绵山、五台山、云冈石窟四张图片，并把这四张图片制成形状大小相同的四张卡片，分别编号为.将这四张卡片背面朝上洗匀，并从中随机抽取其中的两张，请用画树状图或列表的方法，求出小明恰好抽中平遥古城和介休绵山的概率是多少？

（3）“五一长假”期间，小明去“平遥古城”和“介休绵山”风景区游玩，两个景区首道门票的标价共235元，打折后两个景区的首道门票共花费了163元，已知“五一长假”期间平遥古城首道门票按标价的6折销售，介休绵山首道门票按标价的8折销售，请求出平遥古城和介休绵山首道门票的标价各为多少元?

21.（本题8分）

阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应学习任务：

对角线互相垂直的四边形的性质探究

在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知：

对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下：

如图1，在四边形中，对角线，垂足为.

求证：.

证明：∵于点，

∴（依据1）

若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下（不完整）：

如图2，已知的半径为，四边形内接于，且.

求证：.

证明：过点作直径，分别连接.

∵是的直径，∴（依据2）

∴，

∵，

∴.

学习任务：

（1）小宇同学的论文中，画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是：

依据1：______________；

依据2：______________.

（2）请完成图2的剩余证明过程；

（3）如图3，已知四边形内接于，为上一点，，若的直径为8，，请直接写出的长度.

22.（本题12分）综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形纸片中，为的中点.将该菱形纸片沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在的延长线上，试猜想与的位置关系，并加以证明.

数学思考：（1）请解答老师提出的问题；

拓展再探：（2）如图2，“兴趣小组”受到老师所提问题的启发，将菱形纸片沿直线折叠，点的对应点

，连接并延长与交于点，他们认为四边形是平行四边形.“兴趣小组”得出的结论是否正确，请说明理由.

问题解决：（3）如图3，“智慧小组”突发奇想，将菱形纸片沿直线折叠，使点的对应点与点重合，得到的折痕为.他们提出了一个新问题：若菱形纸片的边长为10，，求的长度.请你思考该问题，并直接写出结果.

23.（本题13分）

综合与探究：

如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点为抛物线的顶点，点在抛物线上.

（1）求出直线的函数关系表达式，并直接写出顶点的坐标；

（2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，并且与直线交于点.

①分别连接，当时，求出的值；

②连接，过点作直线，直线与直线交于点，当时，直接写出此时的长.

参考答案

一、 1—5  B  A   C  B  D             6—10  C  B  A  D  D

二、 11.

12. 当温度等于时，水的密度的值最大（或当时，水的密度随的增大而增大；或当时，水的密度随的增大减小）

13. 120°

14. 143

15.

三、16.解：（1）原式

（2）解不等式，得

解不等式，得

∴ 原不等式组的解集为

17. 解：（1）∵，

∴，∴，

根据勾股定理，得

又∵，∴，

∴点的坐标为，

将点代入，得，

解得

所以反比例函数的表达式为

（2）

18.解：（1）如图所示，七边形为所要作的正七边形

（2）   

19. 解设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里.

根据题意，得

解得

经检验，是原分式方程的解.

当时，

答：采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里.

20.（1）9.6  8   3和20

（2）列树状图如图所示：

由树状图可知，所有等可能结果有12种，其中正好抽中“平遥古城”和“介休绵山”的结果有2种.

所以小明恰好抽中“平遥古城”和“介休绵山”的概率为

（3）设平遥古城首道门票的标价为元，根据题意

得

解得

当时，

答：平遥古城首道门票的标价为125元，介休绵山首道门票的标价为110元.

21.解：（1）勾股定理（或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）；

直径所对的圆周角等于90°.

（2）∵，∴，

∵，；∴，

∴，

∴， ∴

（3）

22. 解：（1）

证明：由折叠可知，，

∴

∵，∴，

∴，

∵，

∴

∴，

∴.

（2）“兴趣小组”得到的结论是正确的.

理由如下：

连接，延长交于点，

由折叠可知，，

∴，

∵，∴

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

又∵关于对称，∴，

∴， ∴，

 ∴

又 ∵四边形是菱形，，

∴四边形是平行四边形；

（3）

23.解：（1）当时，

解得

 ∴点坐标为，

把代入，得

∴点坐标为

设直线的解析式为

把代入，得

解得

 ∴直线的函数关系表达式为

顶点的坐标为.

（2）①

设，

 ∵，

  ∴点的纵坐标为，

当

解得

 ∴点的坐标为

分两种情况讨论：

当时，

∵

 ∴四边形是平行四边形.

此时

∴

解得或

当与不平行时，分别过点作的垂线，垂足分别为，则

∴

∴

解得或（舍去）

当时，的值为0，1，或-1.

②