2023年北京市中考各区数学一模试题分类汇编——圆的综合

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北京市各区一模考试试题分类——圆的综合
（东城）24．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点D为的中点，⊙O的切线DE交BA的延长线于点E．连接AC，BC，CD．
（1）求证：∠E=∠BAC；
（2）若⊙O的半径长为5，，求CD和DE的长．












（西城）24．如图，AB是的直径，C是上一点，的平分线交于点D，过点D作的切线交CB的延长线于点E．
（1）求证：DE∥AB；
（2）若，求线段DE的长．







（海淀）23. 如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，D为的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E.
（1）求证：直线DE为☉O的切线；
（2）延长AB，ED交于点F. 若BF=2，sin∠AFE=，求AC的长.









（朝阳）23. 如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥AB，垂足为C，过点A作⊙O的切线，交OC的延长线于点D，连接OB.
（1）求证：∠B=∠D；
（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，CE，若AD=，sinB=，求CE的长．










（丰台）24. 如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的两条弦，∠ABC = 2∠A，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E.
（1）求证：CE⊥DE；
（2）若tanA = ，BE = 1，求CB的长.








（石景山）24．如图，是的直径，点是弦延长线上一点，过点作于点，
过点作的切线，交于点.
（1）求证：；
（2）若是的中点，，，求的长.











（通州）24．如图，△ABC是圆内接三角形，过圆心O作OF⊥AC，连接OA，OC，过点C作CD//AO，交BA的延长线于点D，∠COF=45°.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）如果BC·CE=8,求⊙O半径长度．














（门头沟）25．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接AD并延长到C，使AC=AB，连接BC交⊙O于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点F．
（1）求证：OE∥AC；
（2）如果AB = 10，AD = 6，求EF的长．






（平谷）24.如图，是⊙的直径，、是⊙上的两点，且，过点作⊙的切线交的延长线于点.
（1）求证：∠E=90°；
（2）连接.若，，求CE的长.









（房山）23．如图，△ABC中，AB = AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E.
（1）求证：∠BAC = 2∠DBC；
（2）若cos∠BAC =，DE = 4，求BE的长.








（顺义）24．如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，点C在⊙O上，CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，且CE=CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，∠BAF=60°，求BE的长．














（大兴）24．如图，AB是☉O的直径，C为圆上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D．过点A作☉O的的切线交OD的延长线于点P，连接CP．
（1）求证：CP是☉O的切线；
（2）过点B作BE⊥PC于点E，若CE=4，cos∠CAB=，求OD的长．











（燕山）24．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为的中点，连接AD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
(1) 求证：DE是⊙O的切线；
(2) 延长ED交AB的延长线于点F，若BF＝2，DF＝4，
求⊙O的半径和DE的长．

















（延庆）23.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD⊥OC，且∠ADO＝∠BOC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠BAC=，AD＝3，求⊙O的半径．





（东城）24．（1）证明：如图，连接OD交AC于点F，连接OC．
∵ DE是⊙O的切线，
∴ OD⊥DE．
∴ ∠ODE=90°．
∵ 点D为的中点，
∴ ．
∴ ∠AOD=∠COD．
∵ AO=CO，
∴ OF⊥AC．
∴ ∠OFA=90°=∠ODE．
∴ DE∥AC．
∴ ∠E=∠BAC．……………………3分
（2）解：∵∠E=∠BAC，
∴cos∠BAC =.
在Rt△AOF中，cos∠BAC，OA=5，
∴AF=4，OF=3.
∴DF=2.
∵OF⊥AC，
∴CF=AF=4.
在Rt△CDF中，由勾股定理得CD=.
在Rt△ODE中，，
∴.
∴DE=.……………………6分

（西城）24．（1）证明： 连接OD，如图1．
∵ DE是⊙O 的切线，切点是D，
∴ OD⊥DE．
∴ ∠ODE＝90°．
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB＝90°．
∵ ∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴ ∠ACD＝∠BCD＝45°．
∴ ∠AOD＝90°．
图1
∴ ∠AOD＝∠ODE．
∴ DE∥AB． 3分
（2）解：作BH⊥DE于H，如图2．
∴ ∠BHD＝∠BHE＝90°．
∵ OD⊥DE，∠AOD＝90°，
∴ ∠BOD＝∠ODH＝90°．
图2
∴ 四边形OBHD是矩形．
∵ OA＝OB＝OD＝5，
∴ 四边形OBHD是正方形．
∴ BH＝OD＝DH＝5．
∵ 在Rt△BHE中，sinA=，
∴ tanA=．
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A＋∠ABC＝90°．
∵ ∠EBH＋∠ABC＝90°，
∴ ∠A＝∠EBH．
∴ tan∠EBH＝tanA＝．
∴ HE＝BH∙tan∠EBH＝＝．
∴ DE＝HE＋DH＝． 6分

（海淀）23．（本题满分6分）

（1）证明：连接OD，AD.
∵ 点D是的中点，
∴ .
∴ ∠BAD＝∠CAD. ………………………………………………………1分
∵ OA＝OD，
∴ ∠OAD＝∠ODA.
∴ ∠CAD＝∠ODA.
∴ OD∥AC. ………………………………………………………………2分
∵ DE⊥AC，
∴ ∠E＝90°，
∴ ∠ODE＝180°∠E＝90°.
∵ 点D为⊙O上一点，
∴ 直线DE是⊙O的切线. ………………………………………………3分
（2）解：连接BC.
设OA＝OB＝OD＝r.
∵ BF＝2，
∴ OF＝OB＋BF＝r＋2.
在△ODF中，∠ODF＝90°，
∴ .
即，解得r＝1. …………………………………………………4分
∴ AB＝2r＝2.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB＝90°＝∠E.
∴ BC∥EF.
∴ ∠ABC＝∠AFE.
∴ .
∴ . ………………………………………………6分

（朝阳）23. （1）证明：如图，连接OA.
∵AD为⊙O的切线，
∴∠OAD=90°.
∴∠CAD +∠OAB=90°.
∵OC⊥AB，
∴∠ACD=90°.
∴∠CAD +∠D=90°.
∴∠OAB =∠D.
∵OA=OB，
∴∠OAB =∠B.
∴∠B =∠D.
（2）解：在Rt△ACD中，AD=，sinD=sinB=，
可得.
∴AB=2AC=4.
根据勾股定理，得CD=4.
∴tanB=tanD=.
∵BE为⊙O的直径，
∴∠EAB=90°.
在Rt△ABE中,.
在Rt△ACE中，根据勾股定理，得CE=.

（丰台）24.（1）证明：连接OD .
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°……1分
∵AO=DO，
∴∠ODA=∠A，
∴∠DOB=2∠A=∠ABC.
∴DO∥CE. ……2分
∴∠E=180°-∠ODE=90°.
∴CE⊥DE. ……3分

（2）解：连接BD,CD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠A+∠ABD=90°.
∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD.
∵∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠A. ……4分
∴tan∠BDE=tanA=.
∵BE=1，∠E=90°，
∴DE=3.
∵∠C =∠A，∴tanC=tanA=.
∴CE=9. ……5分
∴CB=CE-BE=8. ……6分

（石景山）24．（1）证明：连接，如图1.
∵是⊙的切线，是⊙的半径，
图1
∴.
∴．
∵，
∴．
∵，
∴.
∴.
∴. ………………………… 3分
图2
（2）解：连接，如图2.
∵，是的中点，
∴，.
在中，，
∴，.
设，
则.
在中，.
在中，.
∴，解得.
即的长为. ……………………………… 6分

（通州）24．证明：
∵AC 是⊙O 的弦，且OF⊥AC,
∴∠AOF=∠COF…………………………(1分)
∵∠COF=45°.
∴∠COA=90°. ………………………………(2分)
∵CD//AO，
∴∠OCD=90°
∴CD⊥OC ………………………………(3分)
∴DC是⊙O的切线
解：（2）
∵∠AOF=∠COF=45°，OF ⊥AC,
∴∠OAC=45°
∵∠COA=90°.
∴∠B=45°
∵∠ACB=∠ECA
∴………………………………………………(4分)
∴
∵BC·CE=8,
∴AC=…………………………………………………………(5分)
∴由勾股定理得：OA=2
∴⊙O半径是2 …………………………………………………………(6分)

（昌平）
（门头沟）解：（1）证明：
∵ AC=AB，
∴∠ABC =∠ACB．…………………………………………………………………1分
∵ OB=OE，
∴∠ABC =∠OEB．…………………………………………………………………2分
∴∠ACB =∠OEB．
∴OE∥AC． ………………………………………………………………………3分
（2）连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵BF是⊙O的切线，
∴∠OBF=90°．……………………………4分
∵AB=10，
∴OB=OE=5．
∵OE∥AC，
∴∠A=∠BOF．
∵∠ADB =∠OBF =90°，∠A=∠BOF，
∴△ABD∽△OFB．
∴， 即：，
∴OF=．…………………………………………………………………………5分
∴EF=．…………………………………………………………………6分

（平谷）（1）解：连结OD．
∵DE为
∴∠EDO=90° 1
∵
∴∠1=∠2．
∵OA=OD
∴∠2=∠3 2
∴∠1=∠3
∴OD∥AE
∴∠E=∠EDO=90° 3
（2）∵四边形ABDC内接于⊙
∴∠B=∠ECD 4


∵AB是直径
∴∠ADB=90°，∵AB=9
∴BD=6 5
∵
∴CD=BD=6
，
∴CE=4 6


（房山）23.（1）证明：连接AO， ……………………1分
∵AB=AC，点O为直径BC中点，
∴AO⊥BC，∠BAC=2∠OAC， ……………………2分
∴∠OAC+∠ACO=90°，
∵BC为⊙O直径，点D在⊙O上，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠ACO=90°，
∴∠DBC=∠OAC，
∴∠BAC=2∠DBC； ……………………3分

（2）解：连接OD， ……………………4分
∴∠DOE=2∠DBC，
又∵∠BAC=2∠DBC，
∴∠BAC=∠DOE， ……………………5分
∴cos∠DOE= cos∠BAC =，
∵DE切⊙O于点D，
∴∠ODE=90°，
在Rt△ODE中，
cos∠DOE = =，
∴设OD=3x，OE=5x，
∴由勾股定理可得，DE=4x，
∵DE=4，
∴4x=4，
∴x=1，
∴OE=5，OD=3，
∴OB=OD=3，
∴BE=OB+OE=3+5=8. ……………………6分
（其它解法酌情给分）

18. （顺义）（1）
证明：连接AC、OC.
∵CE⊥AB, CF⊥AD, CE=CF,
∴∠1=∠2.
∵OA=OC,
∴∠1=∠3,
∴∠1=∠3,
∴OC∥AF.
∴∠F+∠OCF=180°.
∵CF⊥AD,
∴∠F=90°,
∴∠OCF=90°.
∵ OC为⊙O的半径,
∴CF是⊙O的切线. ………………………………………………　3分

（2）解：连接BC.
∵OC∥AF,
∴∠BAF=∠BOC.
∵∠BAF=60°,
∴∠BOC=60°.
∵OB=OC,
∴△OCB为等边三角形,
∴∠B=60°.
∵CF=1, ∴CE=1,
∴BE=. …………………………………………………　6分

（大兴）24．（1）证明：连接OC．
∵AP是⊙O的切线，
∴AP⊥OA，
∴∠PAO=90°．
∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
∴AP=CP，
又∵OA=OC，OP=OP，
∴△AOP≌△COP，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∴OC⊥PC.
又∵点C在⊙O上，
∴CP是⊙O的切线．…………………………………………………………………………3分
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∴∠OCB+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠OCA．
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠CAB=∠ECB．
∵cos∠CAB=,
∴cos∠BCE=．
∵BE⊥PC，
∴∠CEB=90°．
在△BCE中，∵CE=4，cos∠BCE==，
∴CB=5．
∵OA=OB，AD=CD，
∴OD=BC=．………………………………………………………………………………6分

（燕山）(1) 证明：如图，连接OD，
∵点D为的中点，
∴∠1＝∠2．
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3，
∴OD∥AE．
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD．
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线． ……………………………………………3分
(2) 解：如图，设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，
在Rt△ODF中，∠ODF＝90°，OD＝r，OF＝r＋2，DF＝4，
由 ＝＋，
得 ＝＋，
解得 r＝3，
即⊙O的半径为3，
∴OF＝OB＋BF＝5．
∵OD∥AE，
∴，
即，
∴DE＝． ……………………………………………6分

（延庆）（1）证明：∵ OD⊥OC，
∴∠DOC＝90° ．
∴∠AOD+∠BOC＝90°．
∵∠ADO＝∠BOC，
∴∠AOD+∠ADO＝90°．
∴∠DAO＝90°．
………… 3分
∵AB是⊙O的直径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠BAC+∠B＝90°．
过点C作CE⊥AB于点E，
∴∠ECB+∠B＝90°．
∴∠BAC＝∠ECB．
∵tan∠BAC=，
∴tan∠ECB=．
设BE=a（a＞0），则CE=2a，BC=a．
∴AC=2a，AB=5a．
∴OA=OB=2.5a．
∴OE=1.5a．
∵△ADO ∽△EOC，
∴．
∴．
∵AD＝3，
…………6分
∴OA=4．
∴⊙O的半径为4．