2023年北京市中考各区数学一模试题分类汇编——四边形

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北京市各区一模考试试题分类——四边形
（东城）22．如图，在平行四边形ABCD中， BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2） 连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射钱CM，使得∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM于点F.若∠ABC=70°，DF=5，求∠ACD的度数及BD的长．











（西城）21．在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在线段AD上，点F在线段AD的延长线上，CE∥FB，连接BE，CF．
（1）如图1，求证：四边形BFCE是平行四边形．
（2）若，
①依题意补全图2；
②求证：四边形BFCE为菱形









（海淀）21．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，过点B作BE∥AD交CD于点E，点F为AD边上一点，AF=BE，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF为矩形；
（2）若AB=6，BC=3，CE=4，求ED的长.










（朝阳）21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，AE∥CF，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若∠EAO+∠CFD=180°，求证：四边形AECF是矩形．









（丰台）21. 如图，在ABCD中，∠ACB = 90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E， 连接AE交CD于点F.
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC = 60°，CE = 2，求BF的长.









（石景山）21．如图，在中，，，分别为，的中点，过点作
交的延长线于点.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长.














（通州）21．已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB,AC中点，连接CD,DE,延长DE到点F，使得EF=DE，连接AF,CF.
（1）求证：四边形AFCD是菱形．
（2）如果sin∠CAF=，且AC=8，求AB的长．







21．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于E，DF⊥BC于F．
（1）求证：四边形BEDF是矩形；
（2）连接BD，如果，BF = 1，求AB的长．
















（平谷）21.如图，在中，点E是BC中点，点F是中点，连接AE、CF、EF，平分∠AEC.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接AC与EF交于点O，连接OD，若AF=5，，求OD的长.
















（房山）21．如图，ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在BD上截取OE = OF = OA.
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE = AF，求证：AC平分∠BAD.















（顺义）21．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若OF=OA，求证：四边形AECF是矩形．











（大兴）21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的交于点O，延长CB到E，使得BE=BC．连接AE．过点B作BF//AC，交AE于点F，连接OF．
（1）求证：四边形AFBO是矩形；
（2）若∠ABC=60°，BF=1，求OF的长．




















（燕山）21．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AD，OB＝OD，点E在AC上，且∠CED＝∠ECB．
(1) 求证：四边形EBCD是菱形；
(2) 若BC＝5，EC＝8，sin∠DAE＝，求AE的长．















（延庆）21.如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠BAC =90°．点M为边AD的中点，
连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ACDE是矩形；
（2）若BE＝10，DE＝12，求四边形BCDE的面积．









（东城）22．（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴ ∠ADB=∠CBD．
又∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD．
∴ ∠ADB=∠ABD．
∴ AB=AD．
∴ 四边形ABCD是菱形． ……………………………3分
（2）解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，∠DOC＝90°，BD=2DO．
∴∠DCE＝∠ABC＝70°．
∵∠ECM＝15°,
∴∠DCM＝55°．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝110°．
∴∠ACD＝∠ACD＝55°．
∴∠ACD＝∠DCM.
又∵DF⊥CM，
∴DO=DF=．
∴BD＝2DO＝2．……………………6分

（西城）21．（1）证明：∵ CE∥FB，
∴ ∠BFE＝∠CEF．
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD=DC．
∵ ∠BDF＝∠CDE，
∴ △BDF≌△CDE．
∴ FB＝CE．
∴四边形BFCE是平行四边形． 3分
（2）①依题意补全图2，如图；

②证明：∵ ∠ABC＝∠ACB，
∴ AB=AC．
∵ AD是BC边上的中线，
∴ AD⊥BC．
∵ 四边形BFCE是平行四边形，
∴ 四边形BFCE为菱形． 6分

（海淀）21. （本题满分6分）
（1）证明：∵ BE∥AD且AF=BE，
∴ 四边形ABEF为平行四边形. …………………………………………2分
∵ ∠A=90°，
∴ 四边形ABEF为矩形. …………………………………………………3分
（2）解：∵ 四边形ABEF为矩形，AB=6，
∴ ∠AFE=90°，EF=AB=6.
在△BCE中，∠C=90°，BC=3，CE=4，
∴ BE==5. …………………………………………………4分
∴ sin∠BEC==.
∵ BE∥AD，
∴ ∠BEC=∠D.
∴ sinD=sin∠BEC=.
在△EFD中，∠EFD=180°∠AFE=90°，
∴ DE==10. ………………………………………………………6分

（朝阳）21. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO.
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO.
∴OE=OF.
∴四边形AECF为平行四边形.
（2）∵∠EAO+∠CFD=180°，∠CFO+∠CFD=180°，
∴∠EAO=∠CFO.
∵∠EAO=∠FCO，
∴∠FCO=∠CFO.
∴OC=OF.
∴AC=EF.
∴四边形AECF是矩形．

21. （丰台）（1）证明：∵DE⊥BC于点E,
∴∠DEC=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠DEC=∠ACB.
∴AC∥DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE.
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠DEC=90°，
∴£ACED是矩形. ……3分
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC.
∵四边形ACED是矩形，
∴AD=CE，AF=EF. ……4分
∴BC=CE=2.
∵∠ACB=90°，
∴AC垂直平分BE.
∴AB=AE.
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形.
∴∠BEF=60°.
∵AF=EF,
∴BF⊥AE. ……5分
∴∠BFE=90°.
∴BF=BE•sin∠BEF=. ……6分

（石景山）21．（1）证明：∵，分别为，的中点，
∴，，.
又∵，
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴.
∴.
∴四边形是菱形. ………………………… 3分
（2）解：连接，如图.
∵四边形是菱形，
∴，.
∴是等边三角形.
∵，
∴.
∴.
在中，，，
∴. ………………………… 5分

（通州）21．证明：（1）
∵点E是边AC中点，
∴AE=EC
∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形………………………………………(1分)
∵∠ACB=90°，点D是斜边AB中点，
∴AD=DC……………………………………………………(2分)
∴四边形ADCF是菱形………………………………………(3分)
（2）解：
∵四边形ADCF是菱形
∴∠CAF=∠CAB
∵sin∠CAF=，
∴sin∠CAB=，………………………………………………(4分)
∵AC=8，
∴AB=10………………………………………………………(5分)

（昌平）
（门头沟）解：（1）∵BE⊥AD于E，DF⊥BC于F，
∴∠DEB=∠DFB=90°. …………………………………………………………1分
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD∥BC.
∴∠EDF+∠DFB=180°.
∴∠EDF=90°. ……………………………………………………………………2分
∴四边形BEDF是矩形. …………………………………………………………3分
（2）∵四边形BEDF是矩形，
∴DE=BF=1.
∵∠DEB=90°，，
∴.
∴BE=2. ……………………………………………………………………………4分
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD=AB.
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，，
∴.
∴ AB=. …………………………………………………………………………5分

（平谷）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC 1
∵F是AD中点，E是BC中点
∴AF∥EC，AF=EC
∴四边形AECF是平行四边形 2
∵EF平分∠AEC
∴∠AEF=∠FEC
∵AF∥EC
∴∠AFE=∠FEC=∠AEF
∴AE=AF
∴四边形AECF是菱形 3
（2） 解： ∵四边形AECF是菱形
∴AO=OC，EO=FO，∠AOF=90° 4
∵EF=6
∴FO=3
∵AF=5
∴AO=4 5
∵AO=CO，F为AD中点
∴CD=2OF=6,CD∥EF
∴∠ACD=90°
∵OC=4，CD=6
∴OD= 6

（房山）21.
（1） 证明：∵ ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
∴OA=OC， ………………………………1分
又∵OE=OF=OA，
∴四边形AECF是平行四边形， ……………………2分
∵ OE=OF=OA=OC，
∴OE+OF=OA+OC，
即AC=EF，
∴ AECF是矩形. ………………………………3分
（2）证明：∵四边形AECF是矩形且AE=AF，
∴四边形AECF是正方形， …………………………4分
∴AC⊥EF，
∴ ABCD是菱形， …………………………5分
∴AC平分∠BAD. …………………………6分

18. （顺义）证明：(1)∵□ABCD，
∴DO = BO，AO = OC．
∵FD = BE，
∴DO + FD = BO + BE即FO = EO．
∴四边形AECF是平行四边形．………………………………… 3分
(2)∵□ABCD，
∴FO =EF，AO =AC．
∵OF = OA，
∴EF = AC．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴□AECF是矩形． …………………………………………… 6分

（大兴）21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°．
∵BE=BC，
∴OB∥AE．
又∵BF∥AC，
∴四边形AFBO是平行四边形．
又∵∠AOB=90°，
∴四边形AFBO是矩形．………………………………………………………………………3分
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABO=∠ABC．
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°．
∵四边形AFBO是矩形，
∴OB∥AF，OF=AB，∠BFA=90°，
∴∠FAB=∠ABO，
∴∠FAB=30°．
又∵在△ABF中，∠BFA=90°，BF=1，
∴AB=2BF=2，
∴OF=2．………………………………………………………………………………………5分

（燕山）(1) 证明：在△OED和△OCB中，
OB＝OD，∠DOE＝∠BOC，∠OED＝∠OCB，
∴△OED≌△OCB，
∴OE＝OC．
又∵AB＝AD，OB＝OD，
∴AO⊥BD于点O，
∴四边形EBCD是菱形． ……………………………………………3分
(2) 解：∵四边形EBCD是菱形，
∴CD＝BC＝5，OE＝OC＝EC＝4．
∵CE⊥BD于点O，∴∠DOC＝∠DOA＝90°，
∴在Rt△OCD中，OD＝＝3．
在Rt△AOD中，由sin∠DAO＝＝＝，
得AD＝，
∴AO＝＝9，
∴AE＝AO－OE＝9－4＝5． ……………………………………………6分

（延庆）21．（本小题满分5分）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，BA = CD．
∴∠AEC＝∠DCE，∠EAD＝∠CDA．
∵点M为边AD的中点，
∴AM＝DM．
∴△EAM≌△CDM．
∴ME=MC．
∴四边形ACDE是平行四边形．
∵∠BAC＝90°，
………… 3分
∴∠EAC＝90°．
∴平行四边形ACDE是矩形．
（2）解：∵四边形ACDE是矩形，
∴AE=CD，DE=AC．
∴AE= AB．
∵BE=10，
∴AE= AB =5．
∵DE= 12，
∴AC=12．
∴S矩形ACDE = AE×DE=5×12=60，
………… 5分
S△ABC=AB×AC=×5×12=30．
∴S矩形BCDE= 90．