江苏省盐城市阜宁中学2022-2023学年高一下学期第一次综合测试数学试题 Word版含解析

2023年春学期高一年级综合测试

数 学 试 题

命题人：    时间：120分钟        分值：150分

一、单选题(共40分)

1. 在中，，是，所对的边，已知，则的形状是（    ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】由正弦定理得，化简得,即得解.

【详解】由正弦定理得，

所以，

所以,

因为,

所以.

所以三角形是等腰三角形.

故选：B

【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2. 已知，均为单位向量，它们的夹角为，则（    ）

A.  B.  C.  D. 13

【答案】A

【解析】

【分析】先由题意，求出，再由向量模的计算公式，即可求出结果.

【详解】因为，均为单位向量，它们的夹角为，

所以，

因此.

故选：A.

3. 复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先对复数化简，再求其共轭复数，从而可求得答案

【详解】因为，

所以其共轭复数为，则其虚部为，

故选：B

4. 已知，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】先利用以及倍角公式求出，进而根据可得，再代入计算即可.

【详解】，，，

,

解得或，又，

则，，

故选：B

5. 在中，“是钝角三角形”是“”的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】注意三角形内角和是，然后讨论哪个角是钝角即可.

【详解】若是钝角三角形，或为钝角时，，满足条件，

为钝角时，，

由于则，满足条件，所以是充分条件.

时，当时，或为钝角，为钝角三角形.

当时，或，无解，

当时，为钝角，为钝角三角形，所以是必要条件.

故选：A.

6. 在中，有，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求出的最大值．

【详解】因为，

所以，

又，，

所以

又，，，

所以，

即，

，

当且仅当即时取等号，

显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时，

所以，即的最大值是．

故选：D．

7. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则犇犇估算索菲亚教堂的高度约为（结果保留整数）（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据直角三角形算出即可.

【详解】解：由题意知：，，所以，

在中，，

在中，由正弦定理得，

所以，

在中，，

故选：D.

8. 自平面上一点引两条射线，，点在上运动，点在上运动且保持为定值（点，不与点重合），已知，，则的取值范围为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设，则，将所求式子通过公式整理为，则根据正弦函数的最值可求得所求式子的取值范围.

【详解】

设，则

其中，则

当时，原式取最大值：

本题正确选项：

【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，关键是能够将向量的数量积和模长运算转化为三角函数的形式，从而根据三角函数的值域求解方法求得结果.

二、多选题(共20分)

9. 已知向量，，则（    ）

A.

B. 向量在向量上的投影向量是

C.

D. 与向量共线的单位向量是，

【答案】AC

【解析】

【分析】由向量垂直的坐标表示，数量积的定义，模的坐标表示，共线向量的坐标表示及单位向量的定义计算后判断．

【详解】解：因为向量，，故，

对于A，，所以，所以，故A正确；

对于B，向量在向量上的投影向量是，（注是向量的夹角），故B错误；

对于C，，所以，故C正确；

对于D，共线的单位向量是，即，或，，故D错误.

故选：AC.

10. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（    ）

A. 若，则△ABC一定是等边三角形

B. 若，则△ABC一定是等腰三角形

C. 是成立的充要条件

D. 若，则△ABC一定是锐角三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】根据正选定理和余弦定理在三角形中的应用对四个选项进行判断即可.

【详解】根据正弦定理可知，，

即，所以在三角形中，△ABC一定是等边三角形，A正确；

，

故或，在三角形中

故，或，故三角形是等腰三角形或者直角三角形，B错误；

三角形中等价于，根据正弦定理可知，充分性成立，

根据正弦定理可知，故，必要性成立，故C正确；

，可得角C为锐角，但不可证明A、B两角大小，不可判断△ABC一定是锐角三角形，D错误.

故选：AC.

11. 设z为复数，则下列命题中正确的是（　　）

A.

B. z2＝|z|2

C. 若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2

D. 若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】设，则，

对A：，故A正确；

对B：，故B错误；

对C：若，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，

而表示复数对应点到的距离，

故当且仅当对应点为时，取得最大值2，故C正确；

对D：若，其表示复数对应的点是以为圆心，为半径的圆上的点，

又表示复数对应点到原点的距离，显然，故D正确.

故选：ACD.

12. 已知均为第二象限角，且，则可能存在（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用二倍角公式进行化简变形，得到的关系，然后分类讨论即可.

【详解】

因为均为第二象限角，所以，

所以，，化简得：，即.

若，则，得 第二象限，故A错；

若，则，因为为第二象限角，

所以，,

但是由为第二象限角，可得，为第三、四象限角或终边在轴负半轴，显然角的位置不同，不可能相等，所以C错误；

由终边相同的角的概念结合上面的计算易知，可以出现，的情况，故B，D正确.

故选：BD.

三、填空题(共20分)

13. 已知非零实数，满足关系式，则的值是______．

【答案】

【解析】

【详解】由题可得，其中 ，，所以，，所以 ．

14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由条件可得，，由余弦定理可得答案.

【详解】由题意为等边三角形，则,所以

根据条件与全等，所以

在中，

所以

故答案为：

15. 在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值_________________

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】设，

，

,即，

化简整理可得 ，

复数的对应点的轨迹，

对应的点为点，

点与点之间距离的最小值为，

故答案为：

16. 已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.

【答案】5

【解析】

【分析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.

【详解】

由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：

设，

则

，当取得最小值.

故答案为：5

【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.

四、解答题(共70分)

17. 平面内给定三个向量，，.

（1）求；

（2）求；

（3）若，求实数k.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据平面向量夹角的坐标公式即可求解；

（2）根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解；

（3）根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.

【小问1详解】

解：因为，，

所以，，，

所以；

【小问2详解】

解：因，，所以，

所以；

【小问3详解】

解：因为，，，

又，

所以，解得.

18. 已知

（1）求的值；

（2）已知，，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先化简，算出，即可齐次化求解.

（2）先求出，进而求出，再通过即可求解.

【详解】（1）由已知得，所以

（2）由，可得，

则

因为，所以，又，则

因为，，则，则，

所以.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是缩小角的范围，要注意和一些特殊角的三角函数值比较大小，从而缩小角的范围.

19. 已知的顶点坐标分别为.若虚数是实系数一元二次方程的根，

（1）求点A､C的坐标；

（2）若是钝角，求b的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用根与系数的关系列方程即可求得；（2）利用向量的夹角公式可以求得.

【小问1详解】

因为虚数是实系数一元二次方程的根，

所以虚数也是实系数一元二次方程的根.

所以由根与系数的关系得：，，

解得：.

故.

【小问2详解】

由（1）可知：，所以.

所以.

要使是钝角，只需，

解得：或.

故b的取值范围为.

20. 在中，记角的对边分别为，已知，且，点在线段上.

（1）若，求的长；

（2）若的面积为，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理边化角、两角和的正弦公式和辅助角公式化简给定等式，再由正弦定理即可求出答案.

（2）设，则，由三角形的面积公式可求出，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理可得，同理在中，可得，两式相出即可求出的值.

【小问1详解】

依题意有.

,

.

,

因为，所以，

又.

，则，在中，

由正弦定理得，解得.

【小问2详解】

设，则，又，

即，可得，故，

由余弦定理可得，

在中，由正弦定理可得，故，

在中，由正弦定理可得，故，

因为，

21. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且满足.已知，，设.

（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；

（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.

【答案】（1）（2）当，达到最大，最大值为

【解析】

【分析】

（1）设，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案.

（2）计算，得到，得的最值.

【详解】（1）设，则在直角中，，.

在直角中，，

.

，，

所以当，即，的最大值为.

（2）在直角中，由，

可得.

在直角中，，

所以，，

所以

，

所以当，达到最大值.

【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.

22. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.

（1）求中线的长度；

（2）设点分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由正弦定理与余弦定理进行边角互化，求出，再由结合数量积的运算性质即可求解；

（2）设，再根据的面积为面积的一半，得到，然后利用共线和基本定理，利用数量积运算求解.

【小问1详解】

，由正弦定理：，

由余弦定理：.

因为为中点，所以，设的夹角为，

又，

，即，

解得或，又，∴,∴；

小问2详解】

设，则，

∵的面积为面积的一半，∴，∴.

设，则，

又共线，∴可设，

则，

∴，解得：.

∴，

又，

∴

.

又，化简得，

又，则，则时，的最大值为.