2022-2023学年浙江省杭州市下城区采荷中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市下城区采荷中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市下城区采荷中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，共30分）1.  要使二次根式有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，是平行四边形的对角线、的交点，已知得周长为，，，则等于(    )
 A.  B.  C.  D. 4.  如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是(    )A.  B.  C.  D. 6.  下列性质中菱形不一定具有的性质是(    )A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形7.  某商品原价元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如图，中，，分别是，的中点，点在上，且，若，，则的长为(    )
A.  B.  C.  D. 9.  如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在对角线交点处，折痕为，点在边上，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，在正方形中，，是对角线的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接、、，在此运动变化的过程中，下列结论：是等腰直角三角形；四边形不可能为正方形，长度的最小值为；四边形的面积保持不变；面积的最大值为，其中正确的结论是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本题共8小题，共32分）11.  化简：______．12.  一组数据为：、、、、、、，则这组数据的平均数是______ ．13.  一个边形的内角和等于它的外角和的倍，则 ______ ．14.  若是一元二次方程的解，则代数式的值是______ ．15.  如图，点是平行四边形的边上一点，连结，并延长与的延长线交于点，若，，则 ______
 16.  如图，在菱形中，，，在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点，，，分别在边，，，上，点，在对角线上．
若，则的长为______ ；
若，点、分别是、上的两个动点，则的最小值是______ ．
17.  已知：如图，平面直角坐标系中，正方形的边长为，它的顶点在轴的正半轴上运动点，都不与原点重合，顶点，都在第一象限，且对角线，相交于点，连接设点到轴的距离为，则在点，运动的过程中，的取值范围是______．
 18.  如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连结，给出四种情况：
若为上任意一点，则；
若，则；
若为的中点，则四边形是正方形；
若：：，则．
则其中正确的是______ ．三、解答题（本题共7小题，共63分）19.  化简：
；
．20.  解方程：；
。21.  八年级两个班各选派名学生参加“垃圾分类知识竞赛，各参赛选手的成绩如下：
八班：，，，，，，，，，；
八班：，，，，，，，，，．
通过整理，得到数据分析表如下 班级最高分平均分中位数众数方差八班八班求表中，，的值；
依据数据分析表，有同学认为最高分在班，班的成绩比班好，但也有同学认为班的成绩更好，请你写出两条支持八班成绩更好的理由．22.  如图，平行四边形中，，分别平分和，交于边上点，．
求线段的长．
若；求的周长．
23.  已知关于的一元二次方程．
判别方程根的情况，并说明理由；
设该一元二次方程的两根为，，且，是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．24.  某网点销售一商品，已知每个商品成本为元，销售大数据分析：当每个商品售价为元时，平均每天售出个，若售价每降低元，其销售量就增加个．
如果设每个商品售价降价元，那么每个商品的销售利润为______ 元，平均每天可销售商品______ 个；用含的代数式表示
为促进销售，该网点决定降价促销，在库存为个商品的情况下，若要使每天获利为元，则商品的售价应定为多少元？
试求这种商品每个售价降低多少元时一天的利润最大并求出最大值．25.  如图，矩形中，，，点，在对角线上，点，分别在边，上．
若连接、，当四边形为菱形时，则 ______ ；
如图，若，，分别是，的中点，求证：四边形为矩形；
如图，若，，且四边形为矩形，求的值．
 26.  已知：如图，平面直角坐标系中，正方形的边长为，它的顶点在轴的正半轴上运动点，都不与原点重合，顶点，都在第一象限，且对角线，相交于点，连接设点到轴的距离为，则在点，运动的过程中，的取值范围是______．
 27.  如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连结，给出四种情况：
若为上任意一点，则；
若，则；
若为的中点，则四边形是正方形；
若：：，则．
则其中正确的是______ ．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 3.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
得周长为，，，
，，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，进而利用三角形周长解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线互相平分解答．
 4.【答案】 【解析】解：因为在矩形中，所以，
又因为，所以是等边三角形，所以，
所以．
故选：．
本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度．
本题难度中等，考查矩形的性质．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】
解：，
，
即，
故选B．  6.【答案】 【解析】解：菱形的性质有对角线互相平分，互相垂直，是轴对称图形，
故选：．
利用菱形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
根据题意得：．
故选：．
设平均每次降价的百分率为，根据等量关系式原价现在的售价，列出方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系，是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
在中，是的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，进而求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，，
由翻折性质可知：，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
首先证明是等边三角形，在中，解直角三角形即可解决问题；
本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
 10.【答案】 【解析】解：连接，
四边形是正方形，
，，
，
是对角线的中点，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
故正确；
，
当时，四边形是矩形，
，
此时四边形是正方形，
四边形可能为正方形，
故错误；
作于点，则，
，
，
当点与点重合时最小，此时最小，
，，
的最小值为，
故正确；
，
，
四边形的面积保持不变，
故正确；
，
当时，，此时，
面积的最大值为，
故正确，
故选：．
连接，可证明≌，得，，则，所以是等腰直角三角形，可判断正确；，，所以当时，四边形是正方形，可判断错误；作于点，则，当点与点重合时最小，此时最小，的最小值为，可判断正确；由，得，所以四边形的面积保持不变，可判断正确；因为，所以当时，，此时，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明≌是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的分母有理化．
题目所给的代数式中，分母含有二次根式，所以要通过分母有理化来化简原式．
【解答】
解：．
故答案为．  12.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
先把这组数据的个数字加起来求和，再除以即可求出这组数据的平均数．
本题考查了平均数，解题时牢记公式是关键．
 13.【答案】 【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据多边形内角和公式和外角和为可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
 14.【答案】 【解析】解：是一元二次方程的解，
，
，
．
故答案为：．
先把代入一元二次方程得到，然后变进行代数式变形即可得到的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 15.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出，进而利用等边对等角解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角相等解答．
 16.【答案】  ． 【解析】解：连接交于点，作于点，作交的延长线于点，如图所示，
四边形是菱形，，，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
菱形和菱形大小相同，
，，
，
，
，
同理可得，，
，
故答案为：．
，，
是等边三角形，
，
过点做，交于点，此时，的长就是的最小值．
，又，，
．
的最小值是：．

根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得、和的长，然后即可计算出的长；
利用将军饮马模型解决双动点最值问题．
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出、和的长．解决双动点最值关键是先确定一个动点为静点，利用将军饮马思路解决问题．
 17.【答案】解：原式
；
原式
． 【解析】求出算术平方根，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
分母有理化即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
 18.【答案】解：方程移项分解因式得：，
可得或，
解得：，；
方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，． 【解析】此题考查了解一元二次方程因式分解法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
方程移项分解法，利用因式分解法求出解即可；
方程利用配方法求出解即可．
 19.【答案】解：八班成绩共个数据，从小到大排列后，、处于之间，所以，是中位数，
八班成绩共个数据，其中出现三次，出现次数最多，众数是，
八班的方差，
答：表中，，．
八班的平均分高于八班，因此八班成绩较好；
八班的方差比八班的小，因此八班比八班稳定． 【解析】根据平均数的计算公式，求出八班的中位数，得出的值，看八班成绩出现次数最多的，求得，根据方差的公式求得的值；
通过观察比较，发现从平均数、方差上对于八班有利，可以从这两个方面，提出支持的理由．
考查平均数、中位数、众数、方差的意义及求法，理解并掌握各个统计量所反映一组数据的集中趋势或离散程度，则有利于对数据做出分析，做出判断．
 20.【答案】解：平分，
，
，

是等腰三角形，
，
同理：，
即，

四边形是平行四边形，
，，
，
又和分别平分和，
，
在中，；
在中，，，
，
的周长； 【解析】证出，，得出，即可求出答案；
根据平行四边形性质得出，，推出，求出，在中求出，由勾股定理求出，从而求得的周长．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．
 21.【答案】解：因为
，
所以当时，方程有两个不相等的实数解；
当时，方程有两个相等的实数解；
，是矩形两条对角线的长，
，
，即，
解得，
方程化为，
解得，
所以矩形对角线的长为． 【解析】先计算出根的判别式的值得到，根据一元二次方程根的判别式的意义得到当时，，方程有两个不相等的实数解；，当时，，方程有两个相等的实数解；
先利用矩形的性质得到，则根据一元二次方程根的判别式的意义得到，解得，则方程化为，然后解方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式和矩形的性质．
 22.【答案】   【解析】解：根据题意，每个商品售价降价元，那么每个商品的销售利润为元，平均每天可销售商品个，
故答案为：，；
设商品的售价应定为元，
根据题意得：，
解得或，
当时，，
不符合题意，舍去，
，
商品的售价应定为元；
设每个商品售价降价元，一天的利润为元，
由知每个商品的销售利润为元，平均每天可销售商品个，
，
，
时，取最大值，最大值为，
这种商品每个售价降低元时，一天的利润最大，最大值是元．
根据“每个商品成本为元“，“售价每降低元，其销售量就增加个“，可得每个商品的销售利润为元，平均每天可销售商品个；
设商品的售价应定为元，根据每个利润乘以销售量总利润可得：，解方程并检验可得答案；
设每个商品售价降价元，一天的利润为元，可得，根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程和函数关系式．
 23.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，
四边形为菱形，
，
设，
，
，
，
，
即，
故答案为：；
证明：连接，如图所示：

四边形是矩形，
，，，
，，
，分别是，的中点，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
，
四边形为矩形．
解：连接，作于，如图所示：

则四边形是矩形，
，，
，
四边形为矩形，，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
．
根据矩形和菱形的性质以及勾股定理即可得到结论；
连接，由勾股定理求出，证出四边形是矩形，得，证≌，得出，，证，得四边形是平行四边形，求出，即可得出结论；
连接，作于，则，，得，由矩形的性质得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
 24.【答案】 【解析】解：当、重合时，点到轴的距离最小，
，
当时，点到轴的距离最大，，
点，都不与原点重合，
，
故答案为．
根据垂线段最短，、重合时，点到轴的距离最小，为正方形边长的一半，时点到轴的距离最大，为的长度，即可得解．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，根据垂线段最短判断出最小与最大值的情况是解题的关键．
 25.【答案】 【解析】解：连接，，与相交于点，
四边形是正方形，
，，，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
在与中，
，
≌，
，
，故正确；
四边形是正方形，
，，
，
，
，故正确；
当是的中点时，是，的交点，即与重合，
，，
，
矩形是正方形，故正确；
正方形的边长为，
正方形的面积，
：：，
，故正确；
故答案为：．
根据正方形的性质得出，进而利用全等三角形的判定和性质判断；
根据等腰三角形的内角和定理判断；
根据正方形的判定判断；
根据正方形的面积公式和三角形的面积公式解答判断．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．