2022-2023学年湖北省武汉六中上智中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉六中上智中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列事件中是必然事件的是(    )

A. 从一个装有个红球、个黑球除颜色外无其他差别的不透明盒子里任意取个球；一定有黑球
B. 从一副扑克牌中任意抽取一张牌，这一张牌是红桃
C. 射击运动员射击一次，击中靶心
D. 汽车行驶到有信号灯控制的十字路口，正好遇到红灯

3.  下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式中，计算结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图所示的几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若点，，在反比例函数为常数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度与时间注水时间的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投次，任意投掷飞镖次，飞镖击中扇形阴影部分的概率是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，是中两条互相垂直的弦，，，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  仔细观察，探索规律：；；；；则的个位数字是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算的结果是______．

12.  学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生在这次义卖活动中，某班级共售书本，具体情况如表：则在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是______ ．

13.  计算： ______ ．

14.  如图，小丽同学为了测量某古塔的高度，她站在处仰望楼顶，仰角为，走到点处仰望楼顶，仰角为，眼睛，离同一水平地面的高度为米，米，则楼顶离地面的高度约是______米参考数据：，，按四舍五入法将结果精确到．

15.  抛物线为常数，经过，两点，下列四个结论：点，在抛物线上，若，，则一元二次方程的根为，；对于任意实数，总有；对于的每一个确定值，若一元二次方程为常数，的根为整数，则的值只有两个其中正确的结论是______ 填写序号．

16.  如图，四边形是正方形，点在边的延长线上，点在边上，以点为中心，将绕点顺时针旋转与恰好完全重合，连接交于点，连接交于点，连接，若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答：
Ⅰ解不等式，得______；
Ⅱ解不等式，得______；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来；

Ⅳ原不等式组的解集为______．

18.  本小题分
已知，，平分交的延长线于点求的度数．

19.  本小题分
某市举办中小学生经典诵读活动，激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书、读好书”，某校对九年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是本，最多的是本，并根据调查结果绘制了如图不完整的图表．

补全条形统计图，扇形统计图中的______；
本次抽样调查中，众数是______，扇形统计图中课外阅读本的扇形的圆心角大小是______；
若该校九年级共有名学生，请估计该校九年级学生课外阅读至少本的人数．

20.  本小题分
如图，，，，是圆上的四个点，．
判断的形状，并证明你的结论；
若，求的长．

21.  本小题分
如图，在由边长为的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，格点的顶点坐标分别为，，，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：
画出格点关于直线的对称点，并写出点的坐标______；
在上画点，使；
在上画点，使；
在上画点，使．

22.  本小题分
为了“创建文明城市，建设美丽家园”，青春科技生态有限公司种植和销售一种有机绿色草皮．已知该草皮的成本是元，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍．经市场调查发现，某天该草皮的销售量与销售价格元的函数关系如图所示．
求与间的函数解析式；
求这一天销售草皮获得的利润的最大值；
若该公司按每销售草皮提取元用于捐资助学，且保证捐款后每天的销售利润不低于元，直接写出该草皮销售价格的范围．

23.  本小题分
问题背景如图，已知∽，求证：∽；
尝试应用如图，在和中，，，与相交于点，点在边上，，求的值；
拓展创新如图，是内一点，，，，，直接写出的长．
 

24.  本小题分
如图，抛物线与轴于，两点，交轴于点，．
直线过，两点，
如图求抛物线的解析式；
如图，将直线向右平移，的对应点为，点为平移后直线上一点，且，以为一边作等腰三角形，点在坐标轴上，求的坐标；
如图，为抛物线第一象限上任意一点，直线交轴于点，直线交轴于点，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值，如果用字母表示有理数，则数的绝对值要由字母本身的取值来确定：当是正数时，的绝对值是它本身；当是负数时，的绝对值是它的相反数；当是零时，的绝对值是零．
 

2.【答案】 

【解析】解：、从一个装有个红球、个黑球除颜色外无其他差别的不透明盒子里任意取个球，一定有黑球，是必然事件，符合题意；
B、从一副扑克牌中任意抽取一张牌，这一张牌是红桃是随机事件，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，击中靶心是随机事件，不符合题意；
D、汽车行驶到有信号灯控制的十字路口，正好遇到红灯是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意，；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，故A不选．
原式，故选B．
与，故C不选．
原式，故D不选．
故选：．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式运算，解题的关键是熟练整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：这个几何体的左视图为：
．
故选：．
到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
函数在第一象限和第三象限内的函数值随的增大而减小，
当时，，且，
，
故选：．
由函数的增减性解题．
本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
 

7.【答案】 

【解析】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度为零，即不会随时间的增加而增大，故选项A、、不合题意；
当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度随时间的增加而增大，当小烧杯注满水后大烧杯的液面高度升高速度应该是由快到慢，故选项D符合题意．
故选：．
根据题意判断出大烧杯的液面高度随时间的变化情况即可．
本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查几何概率，掌握几何概率的求法是解题的关键．
分别求出总面积以及扇形的面积，再利用概率公式计算即可．
【解答】
解：，，
总面积为，其中阴影部分面积为，
飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：作直径、，连接、，如图，
、为直径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
的半径为．
故选：．
作直径、，连接、，如图，先根据圆周角定理得到，再证明，接着证明≌得到，然后根据勾股定理计算出，从而得到的半径．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：

，
，，，，，，，
，
的个位数字是，
的个位数字是，
的个位数字是，
故选：．
先求出，再分别求出，，，，，，，根据求出的结果得出规律，再求出答案即可．
本题考查了规律型：数字的变化类，多项式乘多项式，尾数特征，平方差公式，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：法一、

；
法二、

．
故答案为：．
利用二次根式的性质计算即可．
本题考查了二次根式的性质，掌握“”是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：这组数据的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据分别为、，
所以这组数据的中位数是，
故答案为：．
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先通分，化成同分母分式再运算．
本题主要考查了分式的加减法，将异分母分式化成同分母分式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在直角中，，设，
，
在直角中，，则，
，
解得：，
，
则米．
答：楼顶离地面的高度约是米．
故答案为：．
根据锐角三角函数列式计算即可求出楼顶离地面的高度．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线为常数，经过点，两点，
抛物线对称轴为直线，
，
离对称轴越远函数值越小，
，，
点离对称轴的距离比点离对称轴的距离近，
，故正确；
，
，
经过点，
，
，
一元二次方程变为，
解得，，故正确；
当时，函数取得最大值，故对于任意实数，总有，即对于任意实数，总有，故正确；
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为，
函数对应的一元二次方程为，即，
因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是，或，或，
对应的的值只有三个，故错误．
故答案为：．
求出对称轴为，进而得到离对称轴越远函数值越小，再由，，可得点离对称轴的距离比点离对称轴的距离近即可判断；由对称轴为直线得出，吧代入解析式求得，则方程变为，解方程即可判断；利用二次函数的性质即可判断；先将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可判断．
本题考查了二次函数与系数的关系，抛物线与坐标轴交点问题，二次函数图象的性质，根据二次函数图象的对称性求解是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，
在正方形中，，，，，
根据旋转的性质，可得，，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，，
，
∽，
：：，
，
，
，
设，
根据勾股定理，得，
，
或舍去，
，
，是的中点，
，
故答案为：．
连接，根据正方形的性质可得，，，，根据旋转的性质，可得，，进一步可得，可证、、、四点共圆，进一步可知，从而可得点是的中点，再根据两个角对应相等的两个三角形相似可证明∽，根据相似三角形的性质可得：：，进一步可得，设，根据勾股定理可得的长，进一步列方程，求出的长，再根据，是的中点，可得．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，四点共圆，添加合适的辅助线是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大．
 

17.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来如下：

Ⅳ原不等式组的解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，，
，，
，
，
平分，
，
． 

【解析】由平行线的性质可得，，求得，，即可判定，则有，再由角平分线的定义可得，从而得解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
 

19.【答案】  本   

【解析】解：调查人数为：人，
所以“本”的学生人数为：人，
“本”的学生所占的百分比为，即，
故答案为：；
出现次数最多的是本，共有人，因此课外阅读本数最多的是本，即众数是本；
，
故答案为：本，；
人，
答：该校九年级学生课外阅读至少本的大约有人．
根据频率求出调查人数，进而求出“本”的学生人数，再求出其所占的百分比即可；
根据众数的定义可求出众数，求出“本”的学生所占的百分比即可求出相应的圆心角度数；
求出样本中“课外阅读至少本”所占的百分比即可求出总体中相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，众数，理解条形统计图、扇形统计图所表示数量之间的关系以及众数的定义是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：是等腰三角形，理由如下：
，，，
，
，
是等腰三角形；
作于，交延长线于，
，
，，
≌，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由圆周角定理得到，即可证明问题；
作于，交延长线于，推出≌，得到，，即可证明≌，得到，从而求出的长，得到的长，于是求出的长．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，点即为所求，点的坐标．
故答案为：．
如图，点即为所求．
如图，点即为所求．
如图，点即为所求．

取格点，使为等腰直角三角形即可．
取格点，连接，交于点，则点即为所求．
取格点，连接，交于点，使得为等腰直角三角形，则点即为所求．
取格点，，连接，交于点，则点即为所求．
本题考查作图轴对称变换、等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质，学会利用数形结合思想解决问题．
 

22.【答案】解：当时，设，
则，
解得：，
；
当时，；
综上，；
当时，，
此时，当时，取得最大值；
当时，，
此时，当时，取得最大值；
综上，这一天销售草皮获得的利润的最大值为元；
当时，
，
令，
，，
定价为；
当时，
，
解得，
．
综上，销售价格确定为或． 

【解析】当时，设代，，求得和；当时，；
分别写出当时，当时，相应的函数关系式并求得其最大值，两者相比较，取较大者即可；
分两种情况：当时，当时，分别令其值等于或者大于等于，即可得解．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，数形结合及分类讨论是解题的关键．
 

23.【答案】问题背景
证明：∽，
，，
，，
∽；
尝试应用
解：如图，连接，

，，
∽，
由知∽，
，，
在中，，
，
，
，，
∽，
；
拓展创新
解：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，

，
，
，
，，
，
，
∽，
，
又，
，
即，
∽，
，
，
，
在中，． 

【解析】问题背景
由题意得出，，则，可证得结论；
尝试应用
连接，证明∽，由知∽，由相似三角形的性质得出，，可证明∽，得出，则可求出答案；
拓展创新
过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证明∽，由相似三角形的性质得出，证明∽，得出，求出，由勾股定理求出，最后由直角三角形的性质可求出的长．
此题考查相似形的综合应用，掌握直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键．
 

24.【答案】解：直线过，两点，
，
将、点坐标代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；

当时，，
解得或，
，
将直线向右平移，的对应点为，
平移后的直线的解析式为，
，，
，
，
，
过点作轴交于点，

，
，
，，
，
，，
，
当时，或或；
当时，或或；
综上所述：点坐标为或或或或或；

，
，
设，直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
，，
，
，
解得． 

【解析】待定系数法即可求解；
求出，分、两种情况，分别求解即可；
求出直线的解析式为、直线的解析式为，进而求解．
本题考查二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．