2023年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

2023年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学模拟试卷（4月份）

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  算式的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，为实数，且，则的平方根为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若分式的值为整数，则正整数的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若关于的不等式组有解且至多有个整数解，且多项式能在有理数范围内因式分解，则符合条件的整数的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若、、是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是(    )

A.  B.
C.  D. 条件不足，无法计算

6.  我们把叫集合，其中，，叫做集合的元素集合中的元素具有确定性如必然存在，互异性如，，无序性即改变元素的顺序，集合不变若集合，我们说已知集合，集合，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是等腰的外接圆，为弧上一点，为的内心，过作，垂足为，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，中，，，是中点，是以为圆心，以为半径的圆上的动点，连接、，则的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

9.  方程的解是______ ．

10.  平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，如果函数的图象经过点，那么 ______ ．

11.  给出下列函数：；；从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当时，函数值随增大而减小”的概率是______ ．

12.  一组，，，中，唯一的众数是，平均数是，则数据的中位数是______ ．

13.  如图，扇形圆心角为直角，，点在上，以，为邻边构造▱，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为______ ．

14.  已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为______ ．

15.  已知实数，满足，且，则的值为______ ．

16.  直线：与轴交于点，直线绕点顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ______ ．

17.  如图，中，，，，连接交于点，则的值为______ ．

18.  矩形中，，，、分别是边、上的动点，且，连接，以为边构造正方形当点从运动到点的过程中，运动的路径长为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，然后从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值．

20.  本小题分
科技创新是发展的第一动力某科研公司向市场推出了一款创新产品，该产品的成本价格是元件，销售价格元件与销售量件之间满足一次函数关系，部分数据如下表：

求与之间的函数关系式；
求销售利润元关于销售量件的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？
为了保证销售利润不低于元，求该产品的销售价格的取值范围．

21.  本小题分
如图，是的正方形网格，每个小正方形的单位长为的顶点均在格点上仅用无刻度的直尺分别画图：
在图中，过点作边上的高，并在图中找一格点使得；
在图中，在上作点，使；
在图中，点为与网格的交点，在上作点，使．
 

22.  本小题分
如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为．
求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时的取值范围；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：根据以上定义，解决下列问题：
已知点．
若点，则 ______ ；
若点，且，则 ______ ；
已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围．
已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足．
若点在图象上，求点的坐标；
若点在直线上，求的取值范围．
在平面直角坐标系中，为动点，且，圆心为，半径为若上存在点使得，求的取值范围．
 

24.  本小题分
如图，为等腰直角三角形，且，点为线段上的动点，过点作，使得，作的外接圆交于点，连结，分别交、于点、，连结．
已知，，求；
求证：；
若，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
直接利用乘法的意义，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，满足，
，，
解得，，
，
的平方根为．
故选：．
利用算术平方根的定义以及绝对值的性质得出，的值，再利用平方根的定义求出答案．
此题主要考查了平方根以及算术平方根的定义以及绝对值的性质，得出，的值是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：

，
分式的值为整数，
或或或，且，
正整数或或或或或，共个，
故选：．
先化简，再根据分式的值为整数，可得或或或，且，即可确定正整数的值．
本题考查了分式的值，先把原分式化简是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由不等式组得：，
不等式组有解且至多有个整数解，
，
解得，
又多项式能在有理数范围内因式分解，
，
，
，
符合条件的整数的值为，，
即符合条件的整数的个数为．
故选：．
先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有个整数解，即可求得的取值范围，再根据多项式能在有理数范围内因式分解，可知，然后即可写出符合条件的的值．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
，
，
，



．
故选：．
由二次根式有意义时，被开方数是非负数，即可得到，，从而可以解决问题．
本题考查非负数的性质：二次根式，关键是掌握二次根式有意义时，被开方数是非负数．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题可得，集合中，即，，
．
中的，
，
，
，
与都为负数，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据题干所给条件推理与排除，并通过简单计算即可．
本题考查实数的相关概念，正确理解题干所给新定义是解题关键，同时还得运用排除法进行计算．
 

7.【答案】 

【解析】解：作于，于，连接，在上截取，连接，
是等腰直角三角形，
，，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的内心，
，
，
四边形是正方形，
，
，，
≌，
，
同理：，
，
，
．
故选：．
作于，于，连接，在上截取，连接，可以证明≌，得到，，推出是等腰直角三角形，得到，由是的内心，推出．
本题考查三角形的内心，三角形外接圆与外心，等腰直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造全等三角形，并掌握三角形内心的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：固定，则，
点的运动轨迹为阿氏圆，
设，则，，
，，
点的运动轨迹为阿氏圆，
，
，，
当最大时，的值最小，
，
故选：．
根据阿氏圆的定义，固定，分别确定点、点的运动轨迹为阿氏圆，由此可知当最大时，的值最小，时最小，再求解即可．
本题考查直角三角形，熟练掌握阿氏圆的定义，能够确定、点的运动轨迹是解题的关键．
 

9.【答案】， 

【解析】解：，
移项得：，
即，
，，
解方程得：，，
故答案为：，．
移项后分解因式得到，推出方程，，求出方程的解即可
本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
点
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可知：
点为，
函数的图象经过点，
．
故答案为：．
根据关于轴对称的点的坐标规律确定点坐标；代入函数关系式求解．
主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和特殊角的三角函数值及坐标系中的对称点的坐标特点．
 

11.【答案】 

【解析】解：是一次函数，随着的增大而减小，那么符合条件“当时，函数值随增大而减小”；
是反比例函数，当，随着的增大而减小，那么符合条件“当时，函数值随增大而减小”；
是二次函数，当，随着的增大而增大，那么不符合条件“当时，函数值随增大而减小”．
综上：符合条件的函数有，共个．
取出的函数符合条件“当时，函数值随增大而减小”的概率是．
故答案为：．
根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质以及概率公式解决此题．
本题主要考查一次函数、反比例函数、二次函数的性质以及概率，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的性质以及概率公式是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，的平均数是，
，
解得，
数，，，中，唯一的众数是，
，或，，
把这组数据从小到大排列都为：，，，，则这组数据的中位数是．
故答案为：．
先根据数据，，，的平均数是，求出，再根据数据，，，中，唯一的众数是，求出，的值，最后把这组数据从小到大排列，即可得出答案．
本题考查了众数、平均数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，如果数据个数为奇数，则最中间的那个数为这组数据的中位数；如果数据个数为偶数，则最中间两个数的平均数为这组数据的中位数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接利用勾股定理求出，根据，计算即可．
本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程组的化为，
关于，的二元一次方程组解为，
，
解得．
故答案为：．
首先把关于，的方程组的化为，再根据关于，的二元一次方程组解为，得出，解出即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，其中方程的转化是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
、可看作方程的两根，
，，
，
．
故答案为：．
把变形为，则可以把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，然后利用，所以变形为，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

16.【答案】或 

【解析】解：由，可得直线与抛物线交于点，
直线与轴重合满足题意，则直线与轴交点为，如图，

，，
为等腰直角三角形，
，
点坐标为，
将代入得，
解得．
设直线解析式为，
令，
，
当时满足题意．
，
把代入得，
直线与轴交点坐标为，即，
作交直线于点，过点作轴于点，

，
，
，，
，
又，
≌，
，，
，
点坐标为
将代入直线解析式得，
解得．
，
．
故答案为：或．
根据直线解析式可得，都经过点，分别讨论直线与轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线上的点坐标，进而求解．
本题考查二次函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过添加辅助线分类讨论求解．
 

17.【答案】 

【解析】解：延长和交于，过作，交的延长线于，设，

，
∽，∽，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
．
故答案为：．
延长和交于，过作，交的延长线于，设，根据相似三角形的判定得出∽，∽，∽，根据相似三角形的性质得出，，求出，，求出，再根据相似三角形的性质得出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，以为原点，，所在的直线分别为轴轴建立坐标系，
则，，，
设，则，
作于，于，
则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
的运动轨迹为直线，
，
时，，时，，
运动的路径长为，
故答案为：．
以为原点，、所在的直线分别为轴轴建立坐标系，设，则，求得，轨迹为直线，由，得到两端点坐标求得线段的长即可得结果．
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，点的运动轨迹，适当建立平面直角坐标系，正确确定点的运动轨迹是解题关键．
 

19.【答案】解：原式




，且，，
取时，原式． 

【解析】原式第一项括号中两项通分并利用通分分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后与第二项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：设，把，代入得：
，
解得，
与之间的函数关系式为；
根据题意得：
，
，
当时，取最大值，最大值为，
当销售量为件时，销售利润最大，最大值是元；
当时，，
解得或，
当时，；
当时，；
当销售利润不低于元，该产品的销售价格的取值范围是． 

【解析】设，用待定系数法可得与之间的函数关系式为；根据题意，由二次函数可得答案；
当时，，解得或，结合可得当销售利润不低于元，该产品的销售价格的取值范围是．
本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

21.【答案】解：如图中，线段，点即为所求；
如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求．
 

【解析】根据三角形的高的定义，利用数形结合的思想作出高即可，在线段上截取，点即为所求；
取格点，连接交于点，点即为所求构造等腰直角三角形解决问题；
取格点，连接交于点，点即为所求构造等腰直角三角形解决问题．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：抛物线的图象经过点，
，
解得：，
抛物线解析式为，
，
对称轴方程为：；

在中，令，得，
，
令，即，整理得，
解得：或，
，
设直线的解析式为，
把，的坐标分别代入解析式，得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
当抛物线在直线的下方时，或；

存在，
理由：抛物线的对称轴方程为：，
可设点，
，，
，，，
当时，
有，
，
解得，
；
当时，
有，
，此方程无实数根，
此时不能构成等腰三角形；
当时，
有，
整理得：，
解得：，
点坐标为：，
综上所述，存在点，使为等腰三角形，点的坐标为：，， 

【解析】利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式求出对称轴方程；
在抛物线解析式中，令，可求出点坐标；令，可求出点坐标．再利用待定系数法求出直线的解析式；
本问为存在型问题．若为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第问，符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论．
 

23.【答案】  或 

【解析】解：，
故答案为：；
，
，
解得或，
故答案为：或；
点是直线上的一个动点，
，
，
当，时，的值为，
时，；
点在图象上，
设，
，
，
，即，
当时，，解得或，
当时，，解得舍或舍；
或；
点在以，，，的正方形上，
当点为时，有最小值，
当点为时，有最大值，
；
，
点在以为中心，边长为的正方形上，
，圆的半径为，
，
，
，
当时，，
，
；
当时，，
；
时，；
由对称性，同理可得；
综上所述：或时，；
根据定义直接求解即可；
根据定义可得方程，求出的值即可；
由定义可得，再由绝对值的几何意义求出的取值即可；
设，由题意可得，整理得，当时，，解得或，当时，，解得舍或舍；即可求或；
点在以，，，的正方形上，当点为时，有最小值，当点为时，有最大值，由此可求；
由题可知点在以为中心，边长为的正方形上，当时，，；当时，，；则有时，；由对称性，同理可得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形性质，圆的性质，根据定义确定点在正方形边界上是解题的关键．
 

24.【答案】解：为等腰直角三角形，，
，．
，
．
，，
为等腰直角三角形，
，．
，，
，
四边形为梯形，
．
，，


；
证明：过点作，交的延长线于点，如图，

，
∽，
．
，
为的外接圆的直径，
．
，，
．
由知：，
，
，．
即为的垂直平分线，
．
，
．
．
，
，
．
，
．
，
．
；
解：过点作，交的延长线于点，如图，

由知：为等腰三角形，
，
，
，
．
．
设，则，，
，
，

由知：
为等腰直角三角形，
，，
，


，
，


，，
∽．
，
，
，

． 

【解析】利用等腰三角形的判定与性质求得线段，的长度，再利用梯形的面积减去两个直角三角形：和的面积即可得出结论；
过点作，交的延长线于点，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用圆周角定理，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质得到为等腰三角形，则，利用等量代换即可得出结论；
过点作，交的延长线于点，利用平行线分线段成比例定理得到，设，则，，，，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，分别求得线段，，，，则结论可求．
本题主要考查了圆的有关概念与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，梯形，三角形的面积，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，过点作是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线．