2023年浙江省台州市路桥区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省台州市路桥区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  据国家电影局初步统计，年春节档月日至月日电影票房约为元，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在某次数学测试中，名学生的测试成绩单位：分统计如图所示，则这名学生的测试成绩的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，将等腰三角形绕点顺时针旋转得到，已知，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，直线与轴交点的横坐标为，则关于的方程的解为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是(    )
 

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

10.  如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为不考虑小球落地后再弹起，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  分解因式：______．

12.  一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为、、、，随机取出一个小球，标号为偶数的概率为______ ．

13.  已知点与点关于原点对称，则______．

14.  如图，在中，，将平移得到，当且经过边的中点时，四边形的周长为______ ．

15.  定义一种新运算，当时，若，则 ______ ．

16.  如图，点为等边三角形的中心，点，，分别在边，，上，将，，分别沿着线段，，翻折，得到，，，且恰好都经过点与交于点，与交于点，与交于点．
若，则 ______ ；
设的面积为，的面积为，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式：．

19.  本小题分
虎年岁末，台州进入轻轨时代，极大地方便了市民的出行，如图是台州市城铁路线恩泽医院站出入口的自动扶梯，图是其截面示意图，已知扶梯与购票厅地面的夹角，扶梯的长度为，求扶梯的底端距离入口平台的高度结果精确到，参考数据：，，

20.  本小题分
某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强单位：是气球的体积单位：的反比例函数现测得几组实验数据记录如下：

求关于的函数解析式；
当气球内气体的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积的最小值．

21.  本小题分
如图，内接于半圆，已知是半圆的直径，平分，分别交半圆和于点，，过点作，垂足为点，交于点．
求证：；
连接交于点，若，求的长．

22.  本小题分
为了解同学们对垃圾分类知识的知晓程度，某校团委设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，整理得如下不完整的统计图表．
“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表

扇形统计图中部分所对应的圆心角的度数为______ ；
本次测试成绩的中位数落在______ 组；本次测试成绩的平均数是______ 分；
为了更好地宣传垃圾分类，在学校、家庭、社会的三位一体环境中发挥作用，学校团委决定组织在本次测试中达到一定分数的同学参加社区志愿活动，请你帮团委确定这个分数的标准，并用统计量说明其合理性．

23.  本小题分
随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统图是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图是该喷灌器喷水时的截面示意图．
喷水口离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界处．
在图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；

求喷灌器底端到点的距离；
现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形如图，其中高为宽为为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求的取值范围．
 

24.  本小题分
在中，，，是边上的中点，是直线右侧的一点，且，连接，过点作的垂线交射线于点．
点到的距离为______ ．
如图，当点在的外部时．
求证：；
如图，连接，当时，试探究与之间的数量关系；
若，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，即可得到结果．
此题主要考查了有理数的乘法，牢记法则即可．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】
解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，原式计算正确，故本选项符合题意；
B. ，原式计算错误，故本选项不符合题意；
C. ，原式计算错误，故本选项不符合题意；
D.，原式计算错误，故本选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方，积的乘方的运算法则逐项排查即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方，积的乘方等知识点，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可知，分有人，分有人，分有人，分有人，
根据众数的定义，分是这名学生成绩的众数．
故选：．
根据众数的定义可以得解．
本题综合考查众数的求解和折线统计图的分析，正确分析折线统计图并根据众数的定义进行求解是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
将等腰三角形绕点顺时针旋转得到，
，
．
故选：．
首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据旋转的性质得到，最后利用角的和差求解即可．
本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线与轴交点的横坐标为，
关于的方程的解为．
故选：．
根据一次函数与轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答．
本题考查已知直线与坐标轴的交点求方程的解．掌握一次函数与轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合题意；
B、根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形，不符合题意；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，，，
根据角平分线的作法可知，，
，是等腰三角形，不符合题意；
D、不能判断是等腰三角形，符合题意，
故选：．
根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
本题考查了作图复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项：故选项A错误，不符合题意；
选项：故选项B错误，不符合题意；
选项：故选项C正确，符合题意；
选项：故选项D错误，不符合题意．
故选：．
根据题意逐一分析四个选项是否满足题意即可．
本题考查了有理数加减运算的实际应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线，
设二次函数解析式为，
代入原点得，
解得，
，
令得，解得，，
一个球从出发到落地用时秒，
整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为不考虑小球落地后再弹起，
，
解得，
故选：．
根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
 

12.【答案】 

【解析】解：、、、中，偶数有个，
随机取出一个小球，标号为偶数的概率为：．
故答案为：．
直接利用概率公式求出得到偶数的概率．
此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，．
，
故答案为：．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

14.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可得出，，，
四边形为平行四边形，
，．
，，
，
是等腰直角三角形，
，
．
经过边的中点，
，
四边形的周长为．
故答案为：．
由平移的性质可得出四边形为平行四边形，结合题意易证是等腰直角三角形，得出，结合勾股定理可求出再根据经过边的中点，即得出，最后由平行四边形的周长公式解答即可．
本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．掌握平移不改变图形的形状和大小，图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等是解题关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：由题意可知：当时，则，
解得：，
经检验当时，，且，
是原方程的解；
当时，则，
解得：，
经检验当时，，且，
是原方程的解．
故答案为：或．
根据题中所给新定义运算可分类进行求解．
本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：如图交于，

点为等边三角形的中心，

当时，，
，
由翻折可知，，，．
由题意可知，，
由翻折可知，
，
≌≌翻折，
由可知，，
在中，，
过 作于，

，
设，
在中，，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
．
故答案为：；．
由等边三角形的性质及翻折的性质可求得，，利用角所对的直角边等于斜边的一半可求解；
由题意易得≌≌，由可知，在中求得，过 作于，设，在中，由求得，即，从而求出，易得，，代入即可求得的值．
本题考查了等边三角形及翻折的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，解直角三角形等；解题的关键是熟练掌握相关性质正确计算．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简绝对值，计算有理数的乘方，化最简二次根式，再进行加减计算即可．
本题考查实数的混合运算，涉及化简绝对值，计算有理数的乘方，化最简二次根式．掌握实数的混合运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：去分母，得：，
移项、合并，得：，
原不等式的解集为． 

【解析】根据解一元一次不等式的解法步骤求解即可．
本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤是解答的关键．
 

19.【答案】解：如图，过点作，交的延长线于点．

，
．
由题意可得，
在中，．
扶梯的底端距离入口平台的高度约为． 

【解析】过点作，交的延长线于点由题意可求，再结合锐角三角函数即可求出的长，即扶梯的底端距离入口平台的高度．
本题考查解直角三角形的实际应用．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
 

20.【答案】解：设关于的函数解析式为，由题意可知，
，
关于的函数解析式为．
当时，
即，
解得，经检验是原方程的根，
，
函数在第一象限内气压随的增大而减小，
根据题意，
为了安全起见，，
气球的体积的最小值为． 

【解析】利用待定系数法即可求出函数解析式；
列出不等式求解即可．
本题考查了反比例函数的实际应用、待定系数法求反比例函数、解分式方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：是半圆的直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；

解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
平分，
，
，
，
，
的长：，
 

【解析】根据直径所对的圆周角等于得到，再根据垂直定义得到及角平分线即可得到即可解答；
根据直角三角形的性质及等边对等角即可得到，再利用垂直平分线的定义及等边三角形的判定即可得到是等边三角形，最后利用弧长公式即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心、角平分线的性质、垂径定理、圆周角定理以及弧长的计算，掌握直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：由组数据可知，抽取的样本总量为人，
扇形统计图中部分所对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
由题意可知，中位数为第和第名成绩的平均值，
本次测试成绩的中位数落在组，
由可知，样本总量为人，
，
本次测试成绩的平均数分，
故答案为：；；
标准为，比较合理，
理由：因为平均数是，若将它定为标准，一半以上学生已经达到标准，不会再学习；
而中位数在之间，取组中值作为标准，多数人努力能达到，有利于提高学习积极性．
先根据组的数据得到样本总量为人，再根据圆心角度数百分比进行计算，即可得到答案；
根据中位数的定义，即可判断中位数落在组，再利用组中值，结合加权平均数的公式进行计算即可求出平均数；
根据统计量进行分析即可得到答案．
本题考查了频数分布图，扇形统计图，中位数，加权平均数等知识，正确识别频数分布图和扇形统计图的信息是解题关键．
 

23.【答案】解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：

设抛物线解析式为，把代入得：，解得：，
抛物线的表达式为；
令，得，解得：，，
，
，
喷灌器底端到点的距离为；
如图所示：

，，
，，
设，把代入得，解得：，
，
当时，，
，
，
设，把代入得，，解得：，
，
当时，，
，
，
使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为． 

【解析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可；
由题意可得：，，分别代入，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值，即可求出的取值范围．
本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：连接．

，，
，
，
，；

证明：如图中，连接，设交于点．

，，
，
，
，，
，
，
≌，
；

结论：．
理由：，，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
：：：，
，
≌，
，
，
，
；

如图中，当在的上方时，连接，过点作于点．

，，
，
，，
，
，
，
．

如图中，当在第三下方时，同法可得．

综上所述，满足条件的的长为或．
连接，求出的长即可；
如图中，连接，设交于点根据证明≌即可；
证明，，推出，可得结论；
分两种情形：如图中，当在的上方时，如图中，当在第三下方时，分别求出，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．