2023年广东省清远市佛冈县石角中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省清远市佛冈县石角中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共7小题，共28.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，某电信公司提供了，两种方案的移动通讯费用元与通话时间元之间的关系，则下列结论中正确的有(    )
若通话时间少于分，则方案比方案便宜元；
若通话时间超过分，则方案比方案便宜元；
若通讯费用为元，则方案比方案的通话时间多；
若两种方案通讯费用相差元，则通话时间是分或分．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.  甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在米环形跑道上奔跑，若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每秒跑米，乙每秒跑米，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  笔筒中有支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是的倍数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，点是中点，垂足为，连接，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

8.  计算的结果是          ．

9.  已知，，则计算式子的值为______．

10.  已知，则代数式的值为______．

11.  已知关于的方程的根是和，则          ．

12.  设，为实数，且，则的值是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
先化简，再求值：，若是方程的正整数解．

14.  本小题分
解方程组：．

15.  本小题分
国家花样滑雪运动队为了选拔奥运会运动员，去某体育学校举办了一次预选赛，将成绩分为四个等级：优秀良好合格不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．

这次预选赛共有______ 名运动员参赛，在扇形统计图中，表示“优秀”的扇形圆心角的度数为______ ；
将条形统计图补充完整；
本次选拔有四名运动员甲乙丙丁同分，只剩两个名额，需从中随机选取两名运动员，请用树状图或列表法求恰好选中甲和丙的概率．

16.  本小题分
某服装店用元购进，两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元毛利润售价进价，这两种服装的进价，标价如表所示．

请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
如果种服装按标价的折出售，种服装按标价的折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？

17.  本小题分
我国人民万众一心，共同抗疫某蔬菜基地要把青瓜、包菜送往疫情严重的某地，已知装青瓜的货车比装包菜的货车每辆的运费少元，辆货车与辆货车的运费相同．
求每辆货车、货车的运费；
该基地所租车辆为辆，已知每辆货车可载吨青瓜，货车可载吨包菜，计划运送的青瓜数量不多于包菜数量的倍，如何租车使得费用最少？

18.  本小题分
古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，请研究如下美丽的圆，如图，以为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接、、，过点作的切线交的延长线于点，且．
求证：是的切线；
若，，则：
求的长；
求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意．
故选：．
根据同底数幂相除，完全平方公式，平方差公式，幂的乘方，逐项判断即可求解．
本题主要考查了同底数幂相除，完全平方公式，平方差公式，幂的乘方，熟练掌握同底数幂相除，完全平方公式，平方差公式，幂的乘方是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据数轴可得：，
此不等式组的解集为，
故选：．
根据数轴上表示的解集找出公共部分即可解答．
本题考查了数轴上不等式组解集的表示方法，掌握不等式组在数轴上表示的方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：依题意得
：当，，
当，；
：当，，
当，，
所以当时，方案比方案便宜元，故正确；
当时，方案比方案便宜元，故正确；
当时，：，，
：，，故正确；
当方案为元，方案是元或者元时，两种方案通讯费用相差元，
将或代入，得分或分，故错误；
故选：．
根据图象知道：在通话分钟收费一样，在通话时收费元，收费元，其中超过分钟后每分钟加收元，超过分钟加收每分钟元，由此即可确定有几个正确．
此题主要考查了函数图象和性质，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题．
 

4.【答案】 

【解析】解：若反向而行，每隔相遇一次，且环形跑道的长度为米，
；
若同向而行，则每隔相遇一次，且环形跑道的长度为米，
．
依照题意，可列方程组．
故选：．
利用路程速度时间，结合“若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．由标有的号码的支铅笔中，标号为的倍数的有、、这种情况，利用概率公式计算可得．
【解答】

解：在标有的号码的支铅笔中，标号为的倍数的有、、这种情况，
抽到编号是的倍数的概率是，
故选：．
 

6.【答案】 

【解析】解：一元二次方程没有实数根，
，
．
故选：．
根据根的判别式小于零列不等式求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，，
点是中点，，
，
，
，由勾股定理得：，
在中，，，
，
，
由勾股定理得：，
故选：．
根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先化简括号内的式子，然后合并同类二次根式，再算乘法即可．
【解答】
解：


，
故答案为：．  

9.【答案】 

【解析】解：，，





．
故答案为：．
根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则可得，再把，代入计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，



．
故答案为：．
根据条件得，整体代入到代数式求值即可．
本题考查了代数式求值，考查整体思想，将整体代入到代数式求值是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
先利用根与系数的关系得，，则可分别求出、的值，然后计算它们的和即可．
【解答】
解：根据根与系数的关系得，，
解得，，
所以．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，为实数，且，
，
，
，



，
故答案为：．
根据二次根式的定义得到，的值，再利用乘方的运算法则即可解答．
本题考查了二次根式的定义，乘方的运算法则，掌握二次根式的定义是解题的关键．
 

13.【答案】解：原式

．
，
，
解得，不合题意，舍去，
当时，原式． 

【解析】先计算括号内的，再计算除法，然后解出方程的正整数解，再代入化简后的结果，即可求解．
本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

14.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

15.【答案】   

【解析】解：人，
，
故答案为：；；
及格的人数为：人，
补全条形统计图如图

画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好选中甲和丙的结果有两种，
所以恰好选中甲和丙．
由成绩“优秀”的学生人数除以所占百分比求出预选赛一共随机抽取的学生人数，用乘以成绩“优秀”的学生人数所占百分比即可解决问题；
求出及格人数即可把条形统计图补充完整；
画树状图，共有种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

16.【答案】解：设购进种服装件，购进种服装件，
根据题意得：，
解得：．
答：购进种服装件，购进种服装件．
元．
答：服装店比按标价出售少收入元． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据数量关系，列式计算．
设购进种服装件，购进种服装件，根据总价单价数量结合总利润单件利润销售数量，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据少获得的总利润单件少获得的利润销售数量，即可求出结论．
 

17.【答案】解：设每辆货车的运费为元，则每辆货车的运费为元，
则由题意得，，
解得，
，
每辆货车、货车的运费分别为、元；
设货车有辆，则货车有辆，总费用为，
则由题意得，，
解得，
总费用，整理得，，
，
随的增大而减小，
当时，最小，
，
安排货车辆，货车辆时费用最少． 

【解析】设每辆货车的运费为元，则每辆货车的运费为元，则由题意得，，求解值，进而可得结果；
设货车有辆，则货车有辆，总费用为，则由题意得，，解得，总费用，整理得，，根据一次函数的性质确定费用最小时的值，进而可得结果．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．
 

18.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
即，
又是的半径，
是的切线；
解：连接，

为的切线，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
；
在中，设，则，，
由勾股定理得，，
即，
解得，
即的长为． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得，继而得出，即，即可得证结论；
连接，根据切线定理得，，，推出，证∽，根据线段比例关系求长度即可；
在中，设，则，，利用勾股定理列方程求出的值即可．
本题主要考查圆的综合题型，熟练掌握圆的相关概念和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．