2023年江苏省常州市经开中学中考数学模拟试卷（含解析）

2023年江苏省常州市经开中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知是一元二次方程的解，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.  一元二次方程的解是(    )

A.  B.
C. ， D. 无实数解

5.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根

6.  关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

7.  已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______．

8.  若关于的一元二次方程的两个根分别是，，则______．

9.  把一元二次方程化成的形式，则的值为______．

10.  关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______．

11.  已知方程的两根为和，分解因式______．

12.  如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在第二象限，以为边在的左侧作菱形，满足轴，过点作交于点，，反比例函数的图象经过点，与边交于点，分别连接，，若，则的值为______．

三、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
按要求解方程：
直接开平方法：；
配方法：；
公式法：；
因式分解法：．

14.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根：
若该方程的两个实数根，，满足求的值．

15.  本小题分
阅读材料并解决下列问题：
材料若一元二次方程的两根为、，则，．
材料已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料，得，，
．
根据上述材料解决下面的问题：
一元二次方程的两根为，，则______，______．
已知实数，满足，，且，求的值．
已知实数，满足，，且，求的值．

16.  本小题分
如图，已知是外一点用两种不同的方法过点作的一条切线要求：用直尺和圆规作图保留作图的痕迹．
 

17.  本小题分
在四边形中，是边上的一点．若≌，则点叫做该四边形的“等形点”．
正方形______“等形点”填“存在”或“不存在”；
如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”已知，，，连接，求的长；
在四边形中，若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中，
，
，


，
故选：．
根据题意，把代入方程中，进行计算可得，然后再把所求的式子变形为，即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握求代数式中的整体思想是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程，则此项符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符题意；
C、不是整式，不是一元二次方程，则此项不符题意；
D、方程整理为，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，则此项不符题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程逐项判断即可得．
本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：把代入得：
，
解得，，
而，
所以．
故选：．
先把代入得，解关于的方程得，，然后根据一元二次方程的定义可确定的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程整理得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
故选：．
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，其中，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，，
解得：．
，，
点在第二象限．
故选：．
由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，由的值可得出，，进而可得出点在第二象限，此题得解．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
则原式．
故答案为：．
利用根与系数的关系求出与，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系得出，，求出、的值，再求出答案即可．
本题考查了根与系数的关系，注意：已知一元二次方程、、为常数，，的两个根是，，则，．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
移项，得，
配方，得，
，
，，
，
故答案为：．
利用配方法把一元二次方程变形，进而求出、，计算即可．
本题考查的是一元二次方程的解法，熟记配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
先计算“”的值．再根据根的判别式列不等式求解．
本题考查了根的判别式，正确计算是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程的两根为和，
，
故答案为：．
根据方程的两根为和，即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质．利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．延长交轴于点，则≌，；由，有：：，又四边形是菱形，所以；在直角三角形中，：：：：，所以：：：，：：；又反比例函数的图象经过点和，因为，设，，所以，，解得所以．
【解答】
解：延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，则四边形和四边形是矩形，

则，
，
，
，
≌，
；
，
：：，
四边形是菱形，
；
则在中，：：：：，
设，则，，
，，
，，，
，
反比例函数的图象经过点和，
，
设，，
，
，
解得．
．  

13.【答案】解：，
，
即或，
所以，；
，
，
，
，
，
解得，；
，
，
，，，
，
，
，；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】先把方程两边开方得到，然后解两个一次方程即可；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
 

14.【答案】证明：

，
无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
解：由根与系数的关系得出，，
，
，
，
，
解得． 

【解析】根据根的判别式得出，据此可得答案；
先根据根与系数的关系得出，，由知，即，从而列出关于的方程，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
 

15.【答案】   

【解析】解：在中，，，，
，．
故答案为：，；

，满足，，，
，可以看作的两个不等的实数根，
，，
；

由题意知与即为方程的两个不等的实数根，
，，
．
中，，，，则，．
由题意，可以看作的两个不等的实数根，由此可得结论；
由题意知与即为方程的两个不等的实数根，由此可得结论．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】解：如图、如图，和为所作．
 

【解析】方法一：如图中，连接，以为直径作圆交于、，根据圆周角定理可判断、为的切线；
方法二：先以点为圆心，为半径作圆，再作大圆的直径，交小圆于、，然后以为圆心，为半径画弧交大圆于点、，利用圆周角定理和三角形中位线性质可得到、为的切线．
本题考查作图复杂作图，切线的判定，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：不存在；
作于，

边上的点是四边形的“等形点”，
≌，
，，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，解得，，
，
，
，
在中，；
如图，边上的点是四边形的“等形点”，

≌，
，，，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】本题是新定义题，主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，理解新定义，并能熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据“等形点”的定义可知≌，则，而是边上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”；
作于，由≌，得，，设，则，由勾股定理得，，求出的值，再利用勾股定理求出的长即可；
根据“等形点”的定义可得≌，则，，，再由平行线性质得，从而推出，从而解决问题．