云南省楚雄州2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

楚雄州中小学2022~2023学年下学期期中教育学业质量监测

高中二年级数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（    ）

A． B． C． D．

2．若函数，则（    ）

A．0 B． C． D．

3．的展开式中的系数是（    ）

A．560 B．－560 C．280 D．－280

4．已知某地有，，三个4A景区，小华计划暑假至少去其中一个景区游玩，则不同的游玩方案（不考虑游玩顺序）有（    ）

A．3种 B．4种 C．7种 D．9种

5．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”．在堑堵中，，四边形是边长为4的正方形，则堑堵外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，小华从图中处出发，先到达处，再前往处，则小华从处到处可以选择的最短路径有（    ）

A．25条 B．48条 C．150条 D．512条

7．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，对任意的，都有0，且，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

8．甲、乙两人进行了3轮投篮比赛，每轮比赛甲、乙各投篮一次，已知甲每轮投籃命中的概率为，乙每轮投篮命中的概率是，3轮比赛后，命中球数多的人获胜．在每轮投篮比赛中，甲、乙投篮是否命中互不影响，各轮结果也互不影响，则3轮比赛结束后甲获胜的概率是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列求导正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．从6名男生、5名女生中选择3人担任班长、学习委员和体育委员，则下列结论正确的是（    ）

A．若所选的3人中有女生，则不同的选法有870种

B．若所选的3人中恰有2名女生，则不同的选法有360种

C．若班长由女生担任，则不同的选法有225种

D．若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的选法有540种

11．已知，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C． D．

12．已知函数函数，则下列结论不正确的是（    ）

A．若，则恰有2个零点

B．若，则恰有4个零点

C．若恰有3个零点，则的取值范围是

D．若恰有2个零点，则的取值范围是

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知向量，，若，则______．

14．函数在区间上的最小值是______．

15．在的展开式中，形如的所有项系数之和是______．

16．已知函数，，且的最小值是．若关于的方程在上有2023个实根，则的最小值是______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在等差数列中，，．

（1）求；

（2）若，数列的前项和为，求．

18．（12分）

已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）若在上单调递减，求的取值范围．

19．（12分）

法国著名军事家拿破仑・波拿巴提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在非直角中，内角，，的对边分别为，，，已知．分别以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，．

（1）求；

（2）若，的面积分别为，，且，求的面积．

20．（12分）

如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．

（1）证明：平面．

（2）若，求点到平面的距离．

21．（12分）

已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求面积的最大值．

22．（12分）

已知函数（其中为自然对数的底数），且曲线在处的切线方程为．

（1）求实数，的值；

（2）证明：对任意的，恒成立．

楚雄州中小学20222023学年下学期期中教育学业质量监测

高中二年级  数学试卷参考答案

1．B  ．

2．A  由题意可得，则．

3．D  展开式的通项为．令，得，则．

4．C  由题意可知不同的游玩方案有种．

5．D  设堑堵外接球的半径为，则，则其外接球的表面积

6．C  从处到处的最短路径有条，从处到处的最短路径有条，则小华从处到处可以选择的最短路径有条．

7．B  设，则，当时，，则在上单调递增．因为，所以，则当时，不等式的解集是，，即当时，不等式的解集是．因为是奇函数，所以当时，不等式的解集是．综上，不等式的解集是．

8．A  3轮比赛结束后甲获胜的情况有三种：①甲命中1球，乙命中0球，其概率；②甲命中2球，乙命中0球或1球，其概率；③甲命中3球，乙命中0球或1球或2球，其概率．故所求概率．

9．AC  若，则，故A正确．若，则，故B错误．若，则，故C正确．若，则，则D错误．

10．ABD  若所选的3人中有女生，则不同的选法有种，则A正确．若所选的3人中恰有2名女生，则不同的选法有种，则B正确．若班长由女生担任，则不同的选法有种，则C错误．若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的选法有种，则D正确．

11．BCD  由题意可得，则A错误．令，得，令，得，则，故B正确．令，得

，则，从而，故C正确．设，则，，从而，故D正确．

12．ACD  令，即，解得或．当时，．由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示．

由图可知有且仅有1个实根．当时，恰有1个零点，故A错误．当时，有3个实根，则恰有4个零点，故B正确．由恰有3个零点，得恰有2个实根，则或或，则C错误．由恰有2个零点，得恰有1个实根，且，则或或，则D错误．

13．10由题意可得，则，解得．

14．－8  因为，所以．由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减．因为，，所以在区间上的最小值是－8．

15．320  展开式的通项为．令，得．令，得所求系数之和为．

16．  由题意可得，则，即，解得．由，得，则或，解得或，故的相邻两个零点之间的距离是或．要使最小，则，都是的解，则．

17．解：（1）设数列的公差为，则

解得，．

故．

（2）由（1）可知，

则

．

18．解：（1）当时，，则

由，得或，由，得，

则在和上单调递增，在上单调递减．

故，．

（2）因为，所以．

因为在上单调递减，所以在上恒成立，

即

解得．

故的取值范围是．

19．解：（1）因为，

所以，

所以，

即．

因为不是直角三角形，所以．

因为，所以，

所以，则．

（2）因为，的面积分别为，，所以，

由余弦定理可得，即，解得．

连接，，由几何性质知，且，

从而有，

故的面积为．

20．（1）证明：取线段的中点，连接，，，记，连接．

因为，分别是，的中点，所以．

因为平面，平面，所以平面．

由题意可知四边形是矩形，则是的中点．

因为是的中点，所以．

因为平面，平面，所以平面．

因为平面，且，所以平面平面．

因为平面，所以平面．

（2）解：取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，所以，，，，则，，．

设平面的法向量为，

则令，得．

故点到平面的距离．

21．解：（1）设椭圆的焦距为2c，

则解得

故椭圆的标准方程为．

（2）设直线的方程为，，，

联立整理得

则，得，即，

故的面积

．

设，则，

当且仅当，即时，等号成立，

故面积的最大值为．

22．（1）解：因为，所以，

则解得．

（2）证明：设，

则．

设，则．

设，则．

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增．

因为，，，

所以存在，，使得．

故当时，；当时，．

所以在与上单调递增，在上单调递减．

因为，，所以存在唯一的，使得，

所以当时，，当时，，

则在与上单调递减，在与上单调递增．

故是与中的较小值．

因为，，所以恒成立，

即对任意的，恒成立．