云南省楚雄州2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

楚雄州中小学2022~2023学年下学期期中教育学业质量监测

高中一数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．向量（    ）

A．    B．    C．   D．

2．一个几何体由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正多边形，其余各面都是全等的矩形，则该几何体是（    ）

A．七棱锥   B．六棱台   C．六棱柱   D．正方体

3．已知，，若点C是靠近点B的三等分点，则C的坐标为（    ）

A．   B．   C．   D．

4．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则B的大小为（    ）

A．45°或135°  B．30°    C．30°或150°  D．45°

5．已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（    ）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

6．如图，这是正方体外表面展开图，则该正方体可能为（    ）

A．  B．  C．  D．

7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ）

A．      B．

C．      D．

8．故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，，，底面ABCD，且．则几何体外接球的表面积为（    ）

A．   B．    C．    D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（    ）

A．内存在一条直线垂直于平面  B．，

C．，      D．，

10．在菱形ABCD中，，向量与向量的夹角为，E为BC的中点，则（    ）

A．      B．

C．       D．

11．如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北60°方向，C在B的东偏北30°方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（    ）

A．D在C的北偏西60°方向    B．D在C的北偏西30°方向

C．D，C相距a km      D．D，C相距

12．在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（    ）

A．有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱

B．棱与水面所在平面平行

C．水面EFGH所在四边形的面积为定值

D．当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．用斜二测画法画出的一个平面图形的直观图是斜边长为4的等腰直角三角形，其中斜边平行于轴，则原图形的面积为______．

14．已知向量，满足，且，则向量，的夹角为______，______．（本题第一空2分，第二空3分）

15．如图，在正方体中，M，N分别为，CD的中点，则异面直线MN和所成角的余弦值为______．

16．如图，已知在矩形ABCD中，，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）如图，以菱形ABCD的一边AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，已知，．

（1）求该几何体的体积；

（2）求该几何体的表面积．

18．（12分）如图，在正四棱台中，E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点．

（1）证明E，F，G，H四点共面；

（2）证明GE，FH，相交于一点．

19．（12分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．

（1）求角A的大小；

（2）若的周长为3a，的面积为，求a．

20．（12分）如图，在直三棱柱中，．

（1）证明：为直角三角形．

（2）若为等腰三角形，且，求与侧面所成角的正弦值．

21．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三等分点．

（1）若N是PD上的点，平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明．

（2）在PB上是否存在一点Q，使平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由．

22．（12分）在中，D，E分别是边AB，AC上两点，．

（1）若，，，求的值；

（2）若，，，求∠DEB．

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高中一年级  数学试卷参考答案

1．D  ．

2．C  六棱柱的两个底面互相平行且全等，其余各面都是全等的矩形．

3．A  设，则，，因为点C是靠近点B的三等分点，所以，，即，．

4．D  在中，由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以，所以．

5．B  因为，所以，的方向相同，所以“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件．

6．B  由正方体外表面展开图可知，圆与月亮是相对面，“×”和“V”是相对面，可排除AD，再根据还原正方体可知B正确．

7．C  由，得，所以，

即，所以，即，所以．即．

8．A  连接AC，BD，设，取EF的中点N，连接MN，由题意知，球心O在直线MN上，取BC的中点G，连接FG，则，且．连接MG，过点F作于点P，则四边形MPFN是矩形，，则，设外接球半径为R，，则，，解得，故，所以外接球的表面积．

9．ABC  ，，不能得出，其他选项均能得出．

10．BC  由向量加法的三角形法则可得，，因为向量与向量的夹角为，所以，所以．

11．BC  如图所示，，，，，又，所以在中，，解得，在中，，所以，则，所以D在C的北偏西30°方向，且D，C相距a km．

12．ABD  由棱柱的定义知，选项A正确；

对于选项B，由于，，所以，且不在水面所在平面内，所以棱与水面所在平面平行，选项B正确；

对于选项C，在图（1）中，，在图（2）中，，选项C错误；

对于选项D，，所以．，当且仅当时，等号成立，所以EF的最小值为，选项D正确．故选ABD．

13．  直观图的面积为，则原图形的面积为．

14．；1  设，的夹角为，则，得，所以．

15．  取E为AB的中点，易知，所以∠NME为直线MN和所成的角．设正方体的棱长为2，则，，，所以，所以．

16．  因为ABCD为矩形，所以，，所以平面ADP，又，，点P到平面MAD的距离为h，，所以，解得．

17．解：如图，这是所求的几何体，该几何体上部分为圆锥，下部分为在圆柱内挖去一小个与上部分相同的圆锥．

（1）易知点D到AB的距离为．

该几何体的体积为．

（2）圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，

所以该几何体的表面积为．

18．证明：（1）连接AC，（图略），因为为正四棱台，所以，

又E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点，所以，，则，

所以E，F，G，H四点共面．

（2）因为，所以，所以EFHG为梯形，则EG与FH必相交．

设，因为平面，所以平面，

因为平面，所以平面，

又平面平面，所以，

则GE，FH，交于一点．

19．解：（1）由，根据正弦定理可得，

则，，得．

（2）因为的周长为，所以，

因为的面积为，所以，则，

由余弦定理可得，

则，解得．

20．（1）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面ABC，

因为平面ABC，所以．

又因为，且，所以平面．

因为平面，所以，即为直角三角形．

（2）解：如图所示，取的中点D，连接，AD，

因为为等腰三角形，D为的中点，所以，

因为⊥平面，平面，

所以，平面，，平面．

又，所以平面，

所以为直线与平面所成的角，

易得，，

在中，，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

21．证明：（1）．

平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴．

又，∴．

（2）当Q是PB的中点时，平面BDE成立．

取PE的中点F，连接QF，又Q为PB的中点，∴．∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．

连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，又E是PC靠近C的一个三等分点，∴E为CF的中点，∴．

∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．

又，∴平面平面BDE．

∵平面AQF，∴平面BDE．

22．解：（1），，

因为，，所以，

，

所以．

（2）因为，，所以为等边三角形，所以，，，

设，则，，，

在中，，即，

在中，，即，

所以，则，解得，所以．