2023年数学中考压轴题巩固练：等腰三角形的性质和判定附解析

这是一份2023年数学中考压轴题巩固练：等腰三角形的性质和判定附解析，共86页。试卷主要包含了综合与探究等内容，欢迎下载使用。
2023年数学中考压轴题巩固练：等腰三角形的性质和判定
附解析
1、（1）如图1，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；

【变式探究】（2）如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，若∠B=∠FDE=∠C，那么∠BED与∠CDF有何关系，并加以说理；
【拓展应用】（3）如图3，在△ABC中，BA=BC，∠B=45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF=2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE=DF，∠EDF=45°，连接CE．
①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知AC=4，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA+EG的最小值．





2、如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C，小明发现景区C恰好在A地的正北方向，求A，C两地相距多少千米？（结果保留根号）




3、已知抛物线y=ax2+bx+3a≠0交x轴交于A1,0和B−3,0，交y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是直线BC上一点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E（点E在点D的上方），再过点E作EF∥x轴，交直线BC于点F．当△DEF的面积取最大值时，求点E的坐标；
(3)如图2，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物上的一点，当直线BC垂直平分MN时，求出点N的坐标．

4、如图，二次函数y=14x2+bx+3的图像经过点A8,3，交x轴于点B，C（点B在点C的左侧），与y轴交于点D．

(1)填空：b= ______；
(2)点P是第一象限内抛物线上一点，直线PO交直线CD于点Q，过点P作x轴的垂线交直线CD于点T，若PQ=QT，求点P的坐标；
(3)在x轴的正半轴上找一点E，过点E作AE的垂线EF交y轴于F，若△AEF与△EFO相似，求OE的长．





5、综合与探究
如图，二次函数y=−14x2+32x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)连接AC，过点P作直线l∥AC ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE=FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．







6、（1）如图 1，O 是等边三角形 ABC 内一点，连接 OA，OB，OC，且 OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，连接 OD．
填空：①旋转角为 °；②线段 OD 的长是 ；③∠BDC= °；
（2）如图 2，O 是△ABC 内一点，且∠ABC＝90°，BA=BC． 连接 OA，OB，OC，将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，连接 OD．当 OA，OB，OC 满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由．





7、如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC=22.5°，点D为BC延长线上一点，且AD=OB．

(1)求证：DA是⊙O的切线；
(2)过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为2，求线段EF的长．





8、如图，ΔABC是等腰直角三角形，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF=45°，DF的延长线与BC的延长线相交于点G．

(1)求证：ΔBDE∽ΔCEF；
(2)若AD=1，AF=2，求EC的长；
(3)若tan∠BDE=12，求EGEB的值．






9、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝−x2+bx+c （b，c是常数）经过点A（−1，0），点B（3，0） ，与y轴交于点C．

(1)求此抛物线的解析式．
(2)若点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC 为底边的等腰三角形时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若点M为抛物线第一象限上的点，当S△BCM＝S△BCP时，直接写出点M的横坐标．





10、已知，如图四边形AOBC为正方形，点C的坐标为(22,0)，动点P沿着折线OACB的方向以1个单位每秒的速度匀速运动，同时点Q沿着折线OBCA的方向匀速运动，速度是2个单位长度每秒，运动时间为t秒，当他们相遇时同时停止运动．

（1）点A的坐标是 正方形AOBC的面积是 ．
（2）将正方形绕点O顺时针旋转45°，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积．
（3）运动时间t为多少秒时，以A､P､B､Q四点为顶点的四边形为平行四边形?
（4）是否存在这样的t值，使△OPQ成为等腰三角形?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

11、如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．





12、如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC与AB相交于点P．

(1)求证：CP=CB；
(2)若PC=PA=5，BP=2a，求a的值．





13、如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠PAB=∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．





14、抛物线y＝ax2+bx+3过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，顶点为C．

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．








15、抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A(﹣2，0)和点B，与y轴交于点C(0，6)，点D(m，0)是x轴上一点，过点D作直线DF⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接BF，当tan∠FBC＝12时，求出点E的坐标；
(3)当△CEF是等腰三角形时，请直接写出点F的坐标．






16、（1）问题发现：如图①，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，求证：BC=2AB
（2）问题探究：如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证：2PA＝PB+PC．请你根据图中所给的辅助线，请你给出具体画法并完成证明过程．
（3）类比迁移：如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．






17、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．

(1)求证：∠EBD=∠EDB．
(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．




18、在平面直角坐标系xOy中，已知图形W和直线l，给出如下定义：在图形W上存在一点Q，使得点Q到直线l的距离小于或等于k，则称图形W与直线l“k关联”．设图形W为线段AB，其中点A(t，0)，点B(t+2，0)．

(1)线段AB的长是______；
(2)当t=1时，
①已知直线y=−x−1，点A到该直线的距离为_______；
②已知直线y=−x+b，若线段AB与该直线“2关联”，求b的取值范围；
(3)已知直线y=x+1，若线段AB与该直线“3关联”，则t的取值范围是______．







19、反比例函数y＝kx（k＞0）的图像与直线y＝mx+n的图像交于Q点，点B（3，4）在反比例函数y＝kx的图像上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作PA∥y轴交反比例函数图像于点A，已知点A的纵坐标为94．

(1)求反比例函数及直线OP的解析式；
(2)在x轴上存在点N，使得△AON的面积与△BOP的面积相等，请求出点N的坐标；
(3)在y轴上找一点E，使△OBE为等腰三角形，直接写出点E坐标．










20、如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y=4x（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．

(1)求直线EF的解析式；
(2)求△EOF的面积；
(3)若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．








21、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，通过尺规作图（作图痕迹如图所示）得到的射线与AC相交于点P．以点P为圆心，AP为半径的圆与尺规作图得到的射线的一个交点为F，连接AF．

（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若∠ABC=56°，求∠AFP的大小．






22、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．

(1)求点B的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点P，使△ABP是AB为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)将正方形ABCD沿y轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．





23、如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数y=−6xx0,x>0的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB=3，DC=2．

(1)求反比例函数y=kx的表达式；
(2)连接BD，OB，OD，求△ODB的面积；
(3)P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(−8,0)，与y轴交于B(0,8)．

(1)求S△ABO．
(2)如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰三角形BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
(3)如图2，点E为y轴正半轴上一点，且∠OAE=30°，F是线段OE之间一点，连接AF，且AF=9，分别在射线AE、AO上找一点M、N，使△MNF的周长最小，求其最小值．







25、有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA=OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB=CD=110cm，∠AOC=120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到lcm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）





26、 已知，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点E在BC的延长线上，且∠EAC＝∠B，以DE为直径的半圆交AD于点F，交AE于点M．

（1）判断AF与DF的数量关系，并说明理由；
（2）只用无刻度的直尺画出△ADE的边DE上的高AH；
（3）若EF＝4，DF＝3，求DH的长．







27、如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF=FG．
（1）求证：点D平分AC；
（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH=AO，连结DH． 若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．

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