2023年湖南省衡阳市西渡镇咸水中学中考一模数学试卷(含答案)

这是一份2023年湖南省衡阳市西渡镇咸水中学中考一模数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知a的倒数是，则a的相反数为（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．今年双十一天猫的成交额达到5403亿元，数据5403亿用科学记数法表示为（ ）
A．5.403×1012B．5.403×1011C．5.403×107D．5.403×108
3．手机已逐渐成为人们日常通讯的主要工具，其背后离不开通讯运营商的市场支持，下图展现的是我国四大通讯运营商的企业图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a（a﹣1）＝a2﹣aB．（a4）3＝a7
C．a4+a3＝a7D．2a5÷a3＝a2
5．下列调查中，适合全面调查的是（ ）
A．检测载人飞船零件的质量B．检测一批LED灯的使用寿命
C．检测杭嘉湖三地的空气质量D．检测一批家用汽车的抗撞击能力
6．若最简二次根式和能合并，则的值为（ ）
A．0.5B．1C．2D．2.5
7．下列说法错误的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B．一组数据，，，，的众数是，中位数是
C．一组数据，，，，的平均数是，方差是
D．“人中至少有人的生日是同一天”是必然事件
8．在一张桌子上摆放着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这个桌子上的碟子的个数是（ ）
A．12B．13C．14D．15
9．周末小李带妹妹游览校园，如图所示，在学校门口点观察到刻有校名的牌坊底部的仰角为24°，牌坊顶部的仰角为39°，测得斜坡的坡面距离，斜坡的坡度．则牌坊的高度是（ ）米．（参考数据，，；，；结果保留到0.1）
A．11.7B．12.8C．15.6D．24.0
10．下列命题中，假命题是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
D．三内角之比为1︰2︰3的三角形是直角三角形
11．不等式组x+3>1-3x≥-3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在△ABC 中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD 是等边三角形将四边形 ACBD 折叠，使点 D 与点 C 重合，HK 为折痕，则cs∠ACH 的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．式子有意义的的取值范围是__________．
14．化简： ＝_____．
15．若，则代数式的值为________________．
16．一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是__________________（结果取整数）．
17．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相同，则江水的流速为______．
18．如图，正方形的边长是16，点在边上，，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处，若恰为等腰三角形，则的长为______．
三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．先化简，再求值：，其中a=−1，b=．
20．如图，和的顶点在同一直线上，点，点在两侧，已知，，.与全等吗？说明理由.
21．为鼓励创业，某市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某社区统计了该社区今年1～6月份新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图：
根据以上信息解答下列问题：
（1）该社区1～6月新注册小型企业一共有__________家;
（2）补全条形统计图．
（3）扇形统计图中“4月份”所在扇形的圆心角的度数为 ;
（4）如果该市今年1～6月份新注册小型企业共有1200家，估计全市今年1月份新注册小型企业的数量.
22．如图，在中，，AD是高，，．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)点F是AB的中点，连接DF，EF，若，，求EF的长．
23．用无刻度直尺和圆规作图：不要求写作法，保留必要的作图痕迹．
（1）如图1，已知（AC＜AB＜BC），在边BC上确定一点P，使得PA＋PC=BC；
（2）在图2中，作直角，使斜边MN落在BC上，且的周长等于线段BC的长．
24．反比例函数，经过点A(2、3)和点B（点B在点A的右侧），作轴，垂足为点C、连接AB、AC，AO、BO，
(1)求反比例函数的解析式：
(2)若，求直线AB的解析式；
25．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为，是抛物线上一点（点与点、、都不重合）．
(1)求抛物线解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得，试确定点的横坐标．
26．如图，的顶点坐标分别为，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作分别交、于点M、N，连接、．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接，当时，求点N到的距离．
参考答案：
1．【分析】直接利用倒数的定义得出a的值，再利用相反数的定义求出答案．
解：∵a的倒数是-，
∴a=-3，
则a的相反数为：3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了倒数和相反数，正确把握相关定义是解题关键．
2．【分析】根据科学记数法的定义即可得．
解：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
则5403亿，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键．
3．【分析】轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，根据定义逐一分析判断即可.
解：A．不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故B选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.
4．【分析】根据单项式乘以多项式法则，幂的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则进行计算，即可得出结果．
解：A、原式＝a2﹣a，符合题意；
B、原式＝a12，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式＝2a2，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了单项式乘以多项式法则，幂的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则．熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
5．【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
解：A、检测载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故本选项符合题意；
B、检测一批LED灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故本不符合题意；
C、检测杭嘉湖三地的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故本不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故本不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．【分析】根据最简二次根式可以合并，得出最简二次根式为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行解答即可．
解：∵最简二次根式和能合并，
∴与为同类二次根式，
∴，
解得：，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出关于x的方程，是解题的关键．
7．【分析】根据普查与抽样调查判断A选项，根据众数、中位数的定义判断B选项，根据求一组数据的平均数、方差判断C选项，根据必然事件的定义判断D选项，即可求解．
解：A. 了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，正确，不合题意
B. 一组数据，，，，的众数是，重新排列为：，，，，，中位数是，正确，不合题意
C. 一组数据，，，，的平均数是，
方差是，故该选项不正确，符合题意；
D. “人中至少有人的生日是同一天”是必然事件，正确，不合题意
故选：C．
【点评】本题考查了普查与抽样调查，求众数、中位数，平均数、方差，事件的分类，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．【分析】从俯视图中可以看出最底层碟子的个数及形状，从主视图可以看出碟子的层数和个数，从而算出总的个数．
解：由三视图可得三摞碟子数分别为5，4，3，则这个桌子上共有5+4+3=12个碟子；
故选：A．
【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力，可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的个数．
9．【分析】由斜坡BC的坡度i=8：15设CE=8x、BE=15x，由BC=17x=34，求得x=2，据此知AE、DE的长，再根据DC=DE-CE，可得答案．
解：由斜坡 的坡度设，
则，
解得，
米，米，
在中，（米），
在中，（米），
则（米），
故选：B．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用能力，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
10．【分析】利用等边三角形的判定、三角形的外角的性质、直角三角形的定义及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；
B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故错误，是假命题；
C、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；
D、三内角之比为1：2：3的三角形是直角三角形，正确，为真命题.
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等边三角形的判定、三角形的外角的性质、直角三角形的定义及直角三角形的性质，难度不大．
11．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
解：，
由①得x＞﹣2，
由②得x≤1，
不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．【分析】在Rt△ABC中，设BC=a，则AB=2BC=2a，AD=AB=2a．设AH=x，则HC=HD=AD-AH=2a -x．在Rt△ABC中，由勾股定理可求得得AC2=3a 2，在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2=HC2，即x2+3a 2=（2a -x）2．解得x=，即AH=.求得HC的值后，求值．
解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，AD=AB=BD
∵∠CAB=30°，
∴∠CAH=90°.
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a，
∴AB=2BC=2a.
∴AD=AB=2a.
设AH=x，则HC=HD=AD−AH=2a−x，
在Rt△ABC中，AC2=(2a)2−a2=3a2，AC=
在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=(2a−x) 2，
解得x=，即AH=.
∴HC=2a−x=2a−，
.
故选D.
【点评】本题考查勾股定理与折叠问题，求余弦值.需要求某一个角的余弦值时，需找到这个角所在的直角三角形（如果没有就需要构造直角三角形或者找与这个角相等的角所在的直角三角形），求这个角（或对应角）的临边与斜边即可.
13．【分析】根据二次根式以及分式有意义，得出关于的不等式，解出即可得出的取值范围.
解：式子有意义
可得：
解得：且
故答案为：且
【点评】本题考查二次根式以及分式有意义，注意如果两者同时出现的话，则两者必须同时满足，可以列出关于的不等式，取公共部分即可.
14．【分析】原式利用同底数幂的减法法则计算即可得到结果．
解：原式＝
＝1．
故答案为1．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．【分析】所求的式子前三项分解因式，再把已知的式子整体代入计算即可.
解：∵，∴.
故答案为：2019.
【点评】本题考查了代数式求值、分解因式和整体的数学思想，属于常见题型，灵活应用整体的思想是解题关键.
16．【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
解：圆锥的母线长=，
所以这个圆锥的侧面积=×2π×4×5=20π≈63．
故答案为63．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．【分析】利用顺水速＝静水速+水速，逆水速＝静水速﹣水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案．
解：设江水的流速为，根据题意可得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
答：江水的流速为．
故答案为10．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
18．【分析】根据翻折的性质，可得B’E的长，根据勾股定理可得CE的长，然后再根据等腰三角形的判定进行分情况讨论．
解：在正方形ABCD中，DC=16，若恰为等腰三角形，需分三种情况讨论：
（1）若，如图，
则（易知此时点在上且不与点、重合）；
（2）若，如图，
因为，，
所以点、在的垂直平分线上，则垂直平分，由折叠可知点与点重合，不符合题意，则这种情况不成立；
（3）如图，
若，作与交于点，交于点．
因为，
；
，
，
，
，
，
在中， ，
，
在中， ，
综上，或．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题关键．
19．【分析】先用单项式乘多项式，完全平方公式将原式展开，然后去括号，再合并同类项，最后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
解：
=−2ab−1，
当a=−1，b=时，
原式=−2×(−1)×−1=0．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，涉及单项式乘多项式，完全平方公式，去括号，合并同类项等知识点．准确熟练地利用相应的运算法则进行计算是解题的关键．
20．【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠C，再根据AAS证出△ABE≌△DCF．
解：.
理由如下：∵，∴，
在和中，，
∴.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，应熟练掌握．
21．【分析】（1）根据3月份的企业数量和所占百分比即可求出新注册小型企业总数；
（2）求出4、5月份新注册小型企业的数量，再补全统计图即可；
（3）用360°乘以“4月份”所占百分比即可；
（4）用今年1～6月份新注册小型企业数量乘以“1月份新注册小型企业”所占的百分比即可求出答案.
解：（1）20
该社区1～6月新注册小型企业的总数量为3÷15%=20（家）.
（2）5月份新注册小型企业的数量为20×15%=3（家），
则4月份新注册小型企业的数量是20－5－4－3－3－1=4（家），
补全条形图如图所示.

（3）72°
扇形统计图中“4月份”所在扇形的圆心角的度数为=72°.
（4）估计该市今年1月份新注册小型企业的数量为1200×=300（家）
【点评】本题考查了统计的相关知识点，难度较低，熟练掌握相关知识点是解题关键.
22．【分析】（1）由是高，可知即，由等腰三角形的性质可得，可知，可证四边形ADCE是平行四边形，根据，进而可证四边形ADCE是矩形；
（2）如图，连接DE，由矩形的性质可得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，在中，由勾股定理得，求解的值即可．
（1）证明：∵是高
∴即
∵
∴
∵
∴
∵
∴四边形ADCE是平行四边形
∵
∴四边形ADCE是矩形．
（2）解：如图，连接DE
∵四边形ADCE是矩形
∴
∵点F是AB的中点，是直角三角形
∴
在中，由勾股定理得
∴EF的长为．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交BC于点P，点P即为所求；
（2）如图，作射线OA，过C作CD⊥OA于D，在OA上截取DO=DC，连接OC，再分别作线段BO、OC的垂直平分线，交BC于M，N，则△MNO即为所求．
解：（1）如图，点P即为所求．
此时，PA＋PC=PB＋PC=BC；
（2）如图△MNO即为所求．
∵CD⊥OA于D，DO=DC，
∴∠COD=45，
∵线段BO、OC的垂直平分线，交BC于M，N，
∴∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC，BM=MO，NC=NO，
∵∠COD=∠MBO+∠NCO=45，
∴∠MON=180-∠MOB-∠NOC-∠COD=90，
△MNO的周长等于MO+MN+ NO= BM +MN+ NC=BC．
【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，等腰直角三角形，三角形的外角性质等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．【分析】（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，进而可得出反比例函数解析式；
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，交BC于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，则△ACF为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出点C的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式；
解：（1）反比例函数的图象经过点A(2，3)，
∴k=2×3=6．
∴反比例函数的解析式为；
（2）如图，过点A作AD轴于点D，交BC于点F，过点B作BE轴于点E
因为，点A坐标为（2，3)，
因为AF=CF=2，即点C坐标为（0，1)．
又因为BC轴，
所以点B的纵坐标为1．
当y=1时，，解得x=6，点B坐标为（6，1)．
设直线AB的解析式为y=mx+n(m≥0)，
将A(2，3)，B(6，1)代入y=mx+n，
得，
解得：；
∴直线AB的解析式为．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、待定系数法求一次函数解析式、反比例函数系数k的几何意义以及梯形的面积，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式．
25．【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）求出时，的值即可得；
（3）过点作轴，交直线于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可得．
解：（1）解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，
解得或，
则点的坐标为．
（3）解：如图，过点作轴，交直线于点，
对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
，
设点的坐标为，
将代入得：，
即，
，
，
，
，即，
即或，
解得或，
故点的横坐标为或．
【点评】本题考查了求二次函数和一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和相似三角形的性质是解题关键．
26．【分析】（1）做适当的辅助线，过M点作轴于G点．过A点作轴于D点，利用三角形相似的判定定理证明两个三角形相似，根据对应边成比例，从而可得答案；
（2）根据坐标先求解长度，再证明 再利用相似三角形的性质证明 证明四边形为平行四边形，再列面积函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可；
（3）先判断存在，通过观察图形知，当直线l过的对角线交点时，总能平分其面积；再利用平行四边形的性质求解对角线的中点坐标，从而可得答案；
（4）当＜时，证明，利用三角形相似，对应边成比例，求解时间 再利用等面积法求解点到直线的距离即可．当、时，MN与OB是重合的，不合题意，舍去．
解：（1）过M点作轴于G点．过A点作轴于D点．
则

四边形为矩形，
则
，
，

，
∴，即
∴
∴
（2）∵









∴四边形为平行四边形
∵，
＜＜ （当或时，四边形不存在）
而，
当时，取最大值6
∴四边形面积不存在最小值，存在最大值，最大值为
（3）存在．理由如下：
连接 交于
由（2）得：四边形为平行四边形，
过的任意直线都平分的面积，

所以由中点坐标公式可得：，即l过点H，


∴
（4）如图，当＜时，




∵
∴
∴，即，





∴，
经检验；是原方程的根，是增根，舍去，
此时：
如图，过作于


当和t=2时，即 MN与OB是重合的，不符合MN∥OB的前提，
∴、t=2不合题意．
综上，到的距离为