第11讲 对数运算及对数函数-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第11讲 对数运算及对数函数通关一、对数恒等式与对数的杜质对数恒等式：.对数 且 )具有下列性质：（1）零和负数没有对数, 即;（2）1的对数为零, 即;（3）底的对数等于1 , 即.通关二、常用对数与自然对数对数 且 ,(1) 当时, 叫作常用对数,记作 ;(2) 当时, 叫作自然对数,记作为无理数, . 对数式与指数式的关系及相互转换通关三、对数函数的图像和性质函数的图像特征和性质.结论一、对数基本运算当时：(1)；(2)；（3）【例1】求下列各式的值.(1);(2)(3).【答案】 【解析】 原式.(2) 原式 .(3) 原式 .【变式】求下列各式的值.(1).(2) (3)设, 求的值.【答案】【解析】.(2)(3) 设 , 则, 所以结论三、换底公式1. 换底公式: .2. 倒数关系: .【例2】已知 , 则__________.（结果用表示）【答案】【解析】因为 , 所以. 因为, 所以. 所以.【变式】 若, 则 （ ） A.  B. 1 C.  D. 2【答案】【解析】因为 , 所以. 所以. 故选.结论三、对数比大小1．若底数为同一个常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论.2. 若底数不同, 真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.【例3】已知 , 则 的大小关系是（ ）. A.  B.  C.  D. 【答案】 【解析】因为 , 所以. 故选B.【变式】设正数 满足, 给出下列五个结论,其中不中能成立的结论的序号是 (1) ;（3）; (4).【答案】（4）（5）【解析】因为实数 满足 , 即在处的函数值和在处的函数值相等,当时，, 此时(3)成立.作出直线, 由图像知, 此时,得, 由此知(1)成立, (4)不成立.作出直线,由图像知，此时,可得 , 由此知成立，不成立. 综上可知, 不可能成立的结论的序号是(4)(5).结论四、对数函数过定点对数函数且的图像恒过点 ,且函数图像经过第一、四象限.【例4】已知函数且的图像必经过点, 则点坐标是__________.【答案】【解析】令 得, 则. 故函数的图像必过定点 .【变式】 已知, 且, 函数的图像恒过点, 若在幂函数的图像上, 则__________.【答案】【解析】因为，令，即时，，所以点的坐标是.由题意令，由于图像过点，所以，所以，.故答案为.结论五、底数对对数函数图像的影响1.底数与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”: 当时,对数函数的图像“上升”; 当时,对数函数的图像“下降".2.底数的大小决定了图像相对位置的高低: 不论是还是,在第一象限内,自左向右,图像对应的对数函数的底数逐渐变大.3.作直线与所给图像相交,交点的横坐标为该对数函数的底数, 由此可判断多个对数函数底数的大小关系.4. 且在第一象限的图像, 越大,图像越靠近轴; 越小,图像越靠近轴.【例5】如图所示, 曲线是底数分别为的对数函数的图像, 则的可能取值依次为（ ）A.  B.  C.  D.  【答案】B【解析】如图所示,作直线交于点,其横坐标大小为 ,那么所对应的的底数的值可能依次为. 故选B.【变式】已知函数的图像如图所示,则满足的关系是( ). A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】由函数图像可知, 在上单调递增,故. 函数图像与轴的交点坐标,由函数图像可知, 解得 . 综上,有. 故选A. 结论六、对数函数单调性若在上是增函数;若在上是減函数.要点诠释：对数增减有思路, 函数图像看底数,底数只能大于0 ,等于1来也不行.底数若是大于1,图像从下往上增,底数0 到1之间，图像从上往下减.无论函数增和减,图像都过点.【例6】设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. B. 2 C.  D. 4 【答案】D【解析】因为对数函数的底数 , 所以函数在上单调递增, 故, ，即, 解得. 故选D.【变式】函数在上的最大值和是小值之和为，则的值为________.答案 【解析】由题意知函数为单调函数, 所以 .