第21讲 角的定义与分类--2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第21讲 角的定义与分类通关一、象限角与轴线角的表示第一象限角的集合为；第二象限角的集合为；第三象限角的集合为；第四象限角的集合为.终边与x轴非负半轴重合的角的集合为终边与x轴非正半轴重合的角的集合为终边与x轴重合的角的集合为终边与y轴非负半轴重合的角的集合为终边与y轴非正半轴重合的角的集合为终边与y轴重合的角的集合为终边与坐标轴重合的角的集合为通关二、弧度制1．角的弧度：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角．规定:正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．2.弧度制：把弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制，比值与所取的大小无关，仅与角的大小有关．3．角度与弧度的换算：，．  4．常见特殊角的角度数与弧度数对照表：角度数弧度数通关三、三角函数线各象限内的三角函数线当角的终边与x轴重合时，正弦线、 正切线都变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，此时角的余弦值为0，正切值不存在.结论一、求角所在象限己知角的终边所在的象限，求或（）的终边所在的象限的方法是：将的范围用不等式（含有）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或（）所在的象限.【例1】若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角.【解析】因为α是第二象限角，所以()，则：(1) ()，所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．(2)()，当 ()时，n（n∈Z），此时是第一象限角；当时，(n∈Z)，此时，是第二象限角；当(n∈Z)，此时是第四象限角.综上，可能是第一象限角 、第二象限角或第四象限角.【变式】若是第一象限角,求(1) 是第几象限角? (2) 不在第几象限?【解析】是第一象限角，故满足的集合为，(1)，当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角．故为第一象限角或第三象限角.(2)，当时，为第一象限角；当时，为第二象限角；当时，为第三象限角．故不在第四象限.结论二、终边相同的角相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.所有与角终边相同的角,可构成一个集合.【例2】(1)若角和的终边关于轴对称,则角和之间的关系为_________.(2)若角与的终边关于轴对称,则角和之间的关系为_________.【答案】(1) (2)【解析】(1)角的终边必在轴上，.(2)角的终边必在轴上，.【变式】 下列说法正确的是( ).A.小于的角是锐角B.钝角是第二象限角C.第二象限的角大于第一象限的角D.若角与角的终边相同，则【答案】【解析】对于选项，负角不是锐角，比如“”的角，故错误;对于选项,钝角范围是“”，是第二象限角，故正确；对于C选项，第二象限角取“”第一象限角取“,故错误;对于选项,当角与角的终边相同,则,.故错误.综上,故选.结论三、扇形的弧长与面积扇形的弧长公式,其中的单位是弧度,与的单位要统一.角度制下的弧长公式为(其中为扇形圆心角的角度数).扇形的面积公式.角度制下的扇形面积公式为:(其中为扇形圆心角的角度数).【例3】已知扇形周长为10cm, 面积为6 ,则扇形中心角对应的弧度数为_______.【答案】3或【解析】设扇形中心角对应的强瓜度数为 ()，弧长为l，半径为r，由题意得，所以或，所以或.【变式】 已知扇形的周长为40cm,当扇形面积最大时，扇形中心角所对应的弧度数是________.【答案】2【解析】设扇形中心角对应的弧度数为,半径为,弧长为,面积为,.所以.当10cm时,扇形的面积最大,此时.结论四、三角函数线设角的顶点与原点重合,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,过作PM垂直于轴于.由三角函数的定义知,点的坐标为,即,其中,单位圆与轴的正半轴交于点,单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点,则.我们把有向线段OM,MP,AT分别叫作的余弦线、正弦线、正切线.各象限内的三角函数线如下：【例4】 已知:,求证:.【解析】证明构造单位圆,如图所示.设角与单位圆交于,则,如图所示,连结AP.扇形POA的面积=,的面积因为,即，所以.【变式】已知为锐角,求证:(1);(2).【解析】证明：构造单位圆,如图所示.设角的终边与单位圆交于点,过作为垂足.(1)因为,在中,,所以.因为,,而,所以,即.故.(2)因为,所以,所以,所以,即.