第45讲 空间平行关系-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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自然语言:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
简称:线线平行，则线面平行.图形语言:如图所示.
符号语言:.
要点诠释:
在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.
通关二、直线与平面平行的性质定理
自然语言:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平行.
简称:线面平行，则线线平行.
图形语言:如图所示.
符号语言:.
要点诠释:
（1）的判定定理和性质定理使用的区别:如果结论中有，则要用判定定理，在内找与平行的直线;若条件中有，则要用性质定理，找(或作)过且与相交的平面.
（2）当直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离叫作直线与平面的距离.
（3）一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面.
平面和平面垂直的判定定理的两个条件，缺一不可.
通关三、平面与平面平行的判定定理
自然语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
简称：线面平行，则面面平行.
图形语言：如图所示.
符号语言：
要点诠释:
1.如果一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行，则这两个平面相交或平行.
2.要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终可转化为“线线平行”问题.
通关四、平面与平面平行的性质定理
自然语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
简称:面面平行，则线线平行.图形语言:如图所示.
符号语言: .

要点诠释:
两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.
通关四、平面与平面垂直的性质定理
自然语言:两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
图形语言:如图所示.
符号语言:，=CD，AB，ABCDAB.
结论一、线线平行
思考途径:
1.转化为判定共面二直线无交点;
2.转化为二直线同与第三条直线平行;
3.转化为线面平行;
4.转化为线面垂直;
5.转化为面面平行.
支持定理:
配图助记:
【例1】如图，四边形ABCD是矩形，P面ABCD，过BC作平面BCEF交AP于F，交DP于E，求证:四边形BCEF是梯形.
【解析】证明因为四边形ABCD是矩形，所以BC//AD，又AD平面PAD，所以BC//平面PAD.又因为BC平面BCFE，平面BCFE∩平面PAD =EF，所以BC//EF.又因为BC//AD，所以EF//AD ，显然EF≠AD，又AD = BC，所以EF≠BC，所以四边形 BCEF是梯形.
【变式】 已知E，F，G，H为空间四边形ABCD 的边AB，BC，CD ，DA上的点.
（1）若E，F，G，H都分别是所在边的中点，求证:四边形EFCH为平行四边形;
（2）若EH //FG ，求证:EH //BD.
【解析】证明（1）因为E是AB的中点，H是AD的中点，所以EH// BD且EH=BD，同理有FC//BD ，FG =BD，所以EH//FG且 EH =FG，故四边形EFGH为平行四边形.
因为EH /|FG，EH面BCD ， FG面BCD，所以EH//面BCD.
又因为EH面ABD，面BCD∩面ABD =BD，所以EH//BD.
结论二、线面平行
思考途径:
1.转化为直线与平面无公共点;
2.转化为线线平行;
3.转化为面面平行.
支持定理:
配图助记:
【例2】如图，四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AB，PD的中点.求证:AF//平面PCE.
【解析】证法一(线线平行线面平行)取PC的中点G，连结EG ， FG.由F为PD中点，知FG // CD且FG =CD.又由已知有AECD ，所以FGAE.所以四边形AEGF是平行四边形，所以AF//EC.又AF平面PCE，EG 平面PCE，所以AF//平面PCE.
证法二(面面平行线面平行)取DC中点M ，连结FM ，AF ，AM.因为四边形ABCD是矩形，E，M分别是AB，CD 的中点，所以AM//EC.因为F ，M分别是PD，CD 的中点，所以FM//PC.又FM∩AM = M ，AM面AFM ，FM面AFM ，所以面AFM//面PCE.因为AF平面AFM ，所以AF//平面PCE.
【变式】 如图，三棱柱ABC-A，BC中， D是BC的中点.求证:
A1C//平面AB1D.
【解析】证法一(线线平行线面平行)连结A1B，记A1B∩AB1=E，连接 DE.因为ABC- A1B1C1是三棱柱，所以四边形A1ABB1是平行四边形，所以E是A1B的中点.又D是BC的中点，所以DE//A1C.因为DE平面AB1D ，A1C平面AB1D，所以A1C//平面AB1D.
证法二(面面平行线面平行)取B1C1，中点M，连结A1M ，CM ， DM.因为ABC一A1B1C1是三棱柱，所以MC//B1D.因为M，D分别为B1C1，BC的中点，所以MD// A1A，MD =A1A，所以四边形AA1MD是平行四边形，有A1M //AD.又 A1M∩ MC= M ，且A1M面A1MC，且 MC面A1MC，所以面A1MC//面AB1D.因为A1面A1MC，所以A1C//平面AB1D.
结论三、面面平行
思考途径:
1.转化为判定二平面无公共点;
2.转化为线面平行;
3.转化为线面垂直.支持定理:
配图助记:
【例3】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M ，N ，E，F分别是A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点.求证:平面AMN //平面EFDB.
【解析】证明连结MF，因为M，F是A1B1，C1D1的中点，四边形A1B1C1D1为正方形，所以MFA1D1，又 A1D1AD ，所以MFAD ，所以四边形AMFD是平行四边形，所以AM//DF.因为DF面EFDB，AM面EFDB，所以AM//面EFDB.同理由ANBE，可得AN//面EFDB，又 AM ，AN平面AMN，AM ∩AN =A，所以平面AMN//平面EFDB.
【变式】已知长方体ABCD - A'B'C'D'中，E，F分别是AA'，CC'的中点.求证:平面 BDF//平面B'D'E.
【解析】证明因为BB'// DD'， BB'= DD'，所以四边形BDD'B'为平行四边形，故有BD//B'D'.取BB'的中点G，连结AG，FG.因为AE//B'G ，AE=B'G ，所以四边形AEB'G为平行四边形，故有AG/[B'E.又因为GF//BC// AD ，GF = BC =AD ，所以四边形ADFG为平行四边形，故有AG//DF ，所以B'E//DF，又B'E∩B'D'= B' ，DF∩BD = D ，所以平面BDF//平面B'D'E.