第47讲 空间角度关系-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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如图，已知两异面直线经过空间任一点，分别作直线a'//a，b'//b，相交直线a'，b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)．
通关二、直线与平面成的角
(1)直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面内的射影所成的锐角；
(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为；
(3)直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°.
通关三、二面角
二面角；从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形叫作二面角．
二面角的平面角：如图，在二面角
的棱l上任取一点P，以点P为垂足，在半平面
内分别作垂直于棱l的射线PA和PB，则
射线PA和PB构成的∠APB叫作二面角的平面角．
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角的取值范围是．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
【结论第讲】
结论一、线线角
1．过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(空间问题转化为平面问题)．
2．当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点．
3．通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．但应注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．
【例1】如图，在正方体
(1)求AC与所成的角
(2)M，N分别是的中点，求异面直线
AM和CN所成角的余弦值．
【解析】(1)连结所以所成锐角或直角就是异面直线AC与所成的角．连结知是等边三角形，得，故异面直线AC与BC，成60°角．
在平面内作EN//AM交AB于E，则EN与CN所成的锐角
或直角即为AM与CN所成的角，E为AB的四等分点(分析：由于M
为的中点，因此若取AB中点为，有因此，
又N是的中点，所以E为BF中点，为AB的四等分点)．设正方体
的棱长为a，在△CNE中，由余弦定理
得即异面直线AM和所成角的余弦值为
【变式】 如图，在直三棱柱中，，点D，F
分别是的中点，若求AD与成角的余弦值．
【解析】解法一 (构造辅助平面)连结DF，由题意知，
取AB的中点N，连结则FN平行且等于AD，所以FN与所成
的锐角或直角就是异面直线AD与CF所成的角．设，在△CFN中，由余弦定理得即AD与CF所成角的余弦值为
解法二(将线段平移到几何体之外) 过C作CM//AD交的延长线于M，
则四边形ACMD为平行四边形，所以
CM与CF所成的锐角或直角为异面直线AD与CF所成角．设
则中，
由余弦定理得：．
即AD与CF所成角的余弦值为
结论二、线面角
1．作：即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键；
2．证：即证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
3．求：一般来说是借助解三角形的知识求角．
【例2】 如图，在棱长为1的正方体
（1）求与平面所成的角
（2）求与平面所成的角的余弦值
【解析】 (1)连结BD与AC交于O，因为底面ABCD
且底面为正方形，所以，又，
所以BD⊥平面所以斜线在平面内的射影，
所以为与平面所成的角．
在所以
（2）解法一 是正三角形，且，所以棱锥是正三棱维，则在底面的射影为底面的中.过作面垂足为H，
连结是与平面成的角．
因为，得，
故
解法二 连结与交于点E．因为且
所以BC1⊥面又BCC面所以面
且面，所以过作，交A1E于点H，则由面面垂直性质定理可知面所以是与平面所成的角．因为，所以得，故．
【变式】如图，正方体的棱长为1，.
（1）求AO与所成角；
（2）求AO与平面ABCD所成角的正切值．
【解析】（1）因为所以AO与所成角就是∠OAC．
因为AB⊥平面从而有OC⊥AB，又因为OC⊥OB，所以
OC⊥面AOB，所以OC⊥OA．在Rt△AOC中，OC所以∠OAC＝30°
（2）作OE⊥BC，平面平面ABCD，所OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成角．在Rt△OAE中，， ，所以．
结论三、二面角
1．垂面法：由二面角的平面角的定义知，只需作与棱垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角．
2．平移法：先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线，然后平移到一起，两射线的夹角即二面角的平面角．
【例3】如图，正方体的棱长为是AB的中点．
（1）求二面角的大小；
（2）求二面角的大小．
【解析】（1）因为BC⊥面，所以，
所以即为二面角的平面角，所以此二面角
的大小为45°．
（2）过点P作交于F．因为BC⊥面且PFC面所以PF⊥BC，又所以PF⊥面过点F作，于E，连结PE，则∠PEF为二面角的平面角．因为正方体的棱长为1，所以BP=因为所以在等腰中，由可得所以在中，.因为∠FBP=45°，所以在等腰Rt△BPF中所以在Rt△PFE中，所以二面角B的大小为30°
【变式】 长方体，，与平面ABCD成30°角，
与平面成45°角，求二面角的正弦值或余弦值的大小
【解析】解法一作BF⊥AC与AC交于点因为⊥底面ABCD，
且BF⊂底面ABCD，所以，又，且所以BF⊥面作交于E，连结EF，则∠FEB为二面角的平面角，且．因为与平面ABCD成30°角，则与平面成45°角，则．
又因为，所以．．在Rt△ABC中．在Rt△ABE中，．所以．
解法二 作BF⊥AC交AC于点F，因为底面ABCD，且BF⊂底面ABCD，所以，又AC⊥BF，且所以BF⊥面所以面在平面上的射影为．，．根据直角三角形的射影定理，所以，
所以所以所求二面角的余弦值为.